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chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem/index.html

@@ -4772,7 +4772,7 @@
 </ul>
 <p>也就是说，我们在字符串 <span class="arithmatex">\(s\)</span> 中进行的每一轮决策（编辑操作），都会使得 <span class="arithmatex">\(s\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(t\)</span> 中剩余的待匹配字符发生变化。因此，状态为当前在 <span class="arithmatex">\(s\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(t\)</span> 中考虑的第 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 和第 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 个字符，记为 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 。</p>
 <p>状态 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 对应的子问题：<strong>将 <span class="arithmatex">\(s\)</span> 的前 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 个字符更改为 <span class="arithmatex">\(t\)</span> 的前 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 个字符所需的最少编辑步数</strong>。</p>
-<p>至此，得到一个尺寸为 <span class="arithmatex">\((i+1) \times (j+1)\)</span> 的二维 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表。</p>
+<p>至此，得到一个尺寸为 <span class="arithmatex">\((n+1) \times (m+1)\)</span> 的二维 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表。</p>
 <p><strong>第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程</strong></p>
 <p>考虑子问题 <span class="arithmatex">\(dp[i, j]\)</span> ，其对应的两个字符串的尾部字符为 <span class="arithmatex">\(s[i-1]\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(t[j-1]\)</span> ，可根据不同编辑操作分为图 14-29 所示的三种情况。</p>
 <ol>

chapter_dynamic_programming/knapsack_problem/index.html

@@ -5781,7 +5781,7 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
 <p align="center"> 图 14-20 &nbsp; 0-1 背包问题的动态规划过程 </p>
 
 <h3 id="4">4. &nbsp; 空间优化<a class="headerlink" href="#4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 降至 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。</p>
+<p>由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 <span class="arithmatex">\(O(n \times cap)\)</span> 降至 <span class="arithmatex">\(O(cap)\)</span> 。</p>
 <p>进一步思考，我们能否仅用一个数组实现空间优化呢？观察可知，每个状态都是由正上方或左上方的格子转移过来的。假设只有一个数组，当开始遍历第 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 行时，该数组存储的仍然是第 <span class="arithmatex">\(i-1\)</span> 行的状态。</p>
 <ul>
 <li>如果采取正序遍历，那么遍历到 <span class="arithmatex">\(dp[i, j]\)</span> 时，左上方 <span class="arithmatex">\(dp[i-1, 1]\)</span> ~ <span class="arithmatex">\(dp[i-1, j-1]\)</span> 值可能已经被覆盖，此时就无法得到正确的状态转移结果。</li>

chapter_dynamic_programming/summary/index.html

@@ -4723,7 +4723,7 @@
 <p><strong>编辑距离问题</strong></p>
 <ul>
 <li>编辑距离（Levenshtein 距离）用于衡量两个字符串之间的相似度，其定义为从一个字符串到另一个字符串的最少编辑步数，编辑操作包括添加、删除、替换。</li>
-<li>编辑距离问题的状态定义为将 <span class="arithmatex">\(s\)</span> 的前 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 个字符更改为 <span class="arithmatex">\(t\)</span> 的前 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 个字符所需的最少编辑步数。当 <span class="arithmatex">\(s[i] \ne t[j]\)</span> 时，具有三种决策：添加、删除、替换，它们都有相应的剩余子问题。据此便可以找出最优子结构与构建状态转移方程。而当 <span class="arithmatex">\(s[i] = t[j]\)</span> 时，无须编辑当前字符。</li>
+<li>编辑距离问题的状态定义为将 <span class="arithmatex">\(s\)</span> 的前 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 个字符更改为 <span class="arithmatex">\(t\)</span> 的前 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 个字符所需的最少编辑步数。当 <span class="arithmatex">\(s[i-1] \ne t[j-1]\)</span> 时，具有三种决策：添加、删除、替换，它们都有相应的剩余子问题。据此便可以找出最优子结构与构建状态转移方程。而当 <span class="arithmatex">\(s[i-1] = t[j-1]\)</span> 时，无须编辑当前字符。</li>
 <li>在编辑距离中，状态依赖其正上方、正左方、左上方的状态，因此空间优化后正序或倒序遍历都无法正确地进行状态转移。为此，我们利用一个变量暂存左上方状态，从而转化到与完全背包问题等价的情况，可以在空间优化后进行正序遍历。</li>
 </ul>