mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-07-25 04:26:07 +00:00
Review the ru version with Codex. (#1870)
This commit is contained in:
Yudong Jin
@@ -1,6 +1,6 @@
|
||||
# Граф
|
||||
|
||||
<u>Граф (graph)</u> - это нелинейная структура данных, состоящая из <u>вершин (vertex)</u> и <u>ребер (edge)</u>. Мы можем абстрактно представить граф $G$ как множество вершин $V$ и множество ребер $E$ . В примере ниже показан граф, содержащий 5 вершин и 7 ребер.
|
||||
<u>Граф (graph)</u> - это нелинейная структура данных, состоящая из <u>вершин (vertex)</u> и <u>ребер (edge)</u>. Граф $G$ можно абстрактно представить как множество вершин $V$ и множество ребер $E$ . Ниже приведен пример графа, содержащего 5 вершин и 7 ребер.
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
@@ -10,74 +10,74 @@ G & = \{ V, E \} \newline
|
||||
\end{aligned}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Если рассматривать вершины как узлы, а ребра как ссылки (указатели), соединяющие эти узлы, то граф можно считать структурой данных, выросшей из связного списка. Как показано на рисунке ниже, **по сравнению с линейными отношениями (связный список) и отношениями разделения (дерево), сетевые отношения (граф) обладают большей свободой** , а потому и сложнее.
|
||||
Если рассматривать вершины как узлы, а ребра как ссылки, соединяющие узлы, граф можно считать структурой данных, расширяющей связный список. Как показано на рисунке ниже, **по сравнению с линейными отношениями (связный список) и отношениями разделения (дерево), сетевые отношения (граф) обладают большей свободой** и потому являются более сложными.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
## Распространенные типы и термины графов
|
||||
|
||||
В зависимости от того, имеют ли ребра направление, графы делятся на <u>неориентированные графы (undirected graph)</u> и <u>ориентированные графы (directed graph)</u> , как показано на рисунке ниже.
|
||||
В зависимости от наличия направления у ребер графы делятся на <u>неориентированные графы (undirected graph)</u> и <u>ориентированные графы (directed graph)</u> , как показано на рисунке ниже.
|
||||
|
||||
- В неориентированном графе ребро означает "двустороннюю" связь между двумя вершинами, например отношение "друзья" в WeChat или QQ.
|
||||
- В ориентированном графе ребро имеет направление, то есть ребра $A \rightarrow B$ и $A \leftarrow B$ независимы друг от друга, как, например, отношения "подписка" и "подписчик" в Weibo или Douyin.
|
||||
- В неориентированном графе ребро представляет двустороннюю связь между двумя вершинами, например дружеские отношения в социальных сетях.
|
||||
- В ориентированном графе ребро имеет направление, то есть ребра $A \rightarrow B$ и $A \leftarrow B$ независимы друг от друга, например отношения подписки и подписчиков.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
В зависимости от того, достижимы ли все вершины друг из друга, граф делится на <u>связный граф (connected graph)</u> и <u>несвязный граф (disconnected graph)</u> , как показано на рисунке ниже.
|
||||
В зависимости от того, связаны ли все вершины между собой, граф делится на <u>связный граф (connected graph)</u> и <u>несвязный граф (disconnected graph)</u> , как показано на рисунке ниже.
|
||||
|
||||
- В связном графе, начиная из некоторой вершины, можно добраться до любой другой вершины.
|
||||
- В несвязном графе, начиная из некоторой вершины, по крайней мере одна вершина оказывается недостижимой.
|
||||
- В связном графе из любой вершины можно достичь любой другой вершины.
|
||||
- В несвязном графе существует по крайней мере одна вершина, недостижимая из текущей.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Мы также можем добавить к ребрам переменную "вес" и тем самым получить <u>взвешенный граф (weighted graph)</u> , показанный на рисунке ниже. Например, в мобильных играх вроде Honor of Kings система может вычислять "степень близости" между игроками по времени, проведенному в совместных играх; такую сеть близости можно описать взвешенным графом.
|
||||
Мы также можем добавить к ребрам переменную "вес" и получить показанный ниже <u>взвешенный граф (weighted graph)</u>. Например, в мобильных играх вроде Honor of Kings система рассчитывает "близость" между игроками по времени совместной игры, и такую сеть близости можно представить взвешенным графом.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Для структуры данных "граф" используются следующие распространенные термины.
|
||||
Со структурой данных "граф" связаны следующие основные термины.
|
||||
|
||||
- <u>Смежность (adjacency)</u>: если между двумя вершинами существует ребро, то эти вершины называются "смежными". На рисунке выше вершинам 2, 3, 5 смежна вершина 1.
|
||||
- <u>Путь (path)</u>: последовательность ребер, ведущая из вершины A в вершину B, называется "путем" от A до B. На рисунке выше последовательность ребер 1-5-2-4 представляет один из путей от вершины 1 к вершине 4.
|
||||
- <u>Степень (degree)</u>: число ребер, принадлежащих вершине. Для ориентированного графа <u>входящая степень (in-degree)</u> показывает число ребер, ведущих в вершину, а <u>исходящая степень (out-degree)</u> показывает число ребер, исходящих из вершины.
|
||||
- <u>Смежность (adjacency)</u>: если между двумя вершинами существует ребро, то такие вершины называются смежными. На рисунке выше с вершиной 1 смежны вершины 2, 3 и 5.
|
||||
- <u>Путь (path)</u>: последовательность ребер от вершины A до вершины B называется путем из A в B. На рисунке выше последовательность ребер 1-5-2-4 является одним из путей от вершины 1 к вершине 4.
|
||||
- <u>Степень (degree)</u>: количество ребер, принадлежащих вершине. Для ориентированного графа <u>входящая степень (in-degree)</u> показывает, сколько ребер входит в вершину, а <u>исходящая степень (out-degree)</u> показывает, сколько ребер из нее выходит.
|
||||
|
||||
## Представление графа
|
||||
|
||||
Распространенные способы представления графа включают "матрицу смежности" и "список смежности". Ниже в качестве примера используется неориентированный граф.
|
||||
Распространенные способы представления графа включают "матрицу смежности" и "список смежности". Ниже для примера рассматривается неориентированный граф.
|
||||
|
||||
### Матрица смежности
|
||||
|
||||
Пусть число вершин графа равно $n$ ; тогда <u>матрица смежности (adjacency matrix)</u> использует матрицу размера $n \times n$ для представления графа: каждая строка и каждый столбец соответствуют вершине, а элементы матрицы отражают наличие ребра, то есть показывают, существует между двумя вершинами связь или нет.
|
||||
Пусть число вершин графа равно $n$ ; тогда <u>матрица смежности (adjacency matrix)</u> использует матрицу размера $n \times n$ для представления графа, где каждая строка и каждый столбец соответствуют вершине, а элементы матрицы показывают наличие или отсутствие ребра.
|
||||
|
||||
Как показано на рисунке ниже, пусть матрица смежности обозначается как $M$ , а список вершин - как $V$ ; тогда элемент матрицы $M[i, j] = 1$ означает, что между вершинами $V[i]$ и $V[j]$ существует ребро, а элемент $M[i, j] = 0$ означает, что ребра между ними нет.
|
||||
Как показано на рисунке ниже, обозначим матрицу смежности через $M$ , а список вершин через $V$ ; тогда элемент матрицы $M[i, j] = 1$ означает наличие ребра между вершинами $V[i]$ и $V[j]$ , а элемент $M[i, j] = 0$ означает отсутствие ребра.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Матрица смежности обладает следующими особенностями.
|
||||
|
||||
- В простом графе вершина не может соединяться сама с собой, поэтому элементы на главной диагонали матрицы смежности не имеют смысла.
|
||||
- Для неориентированного графа ребра в двух направлениях эквивалентны, поэтому матрица смежности симметрична относительно главной диагонали.
|
||||
- Если заменить в матрице смежности значения $1$ и $0$ на веса, то можно представить и взвешенный граф.
|
||||
- В простом графе вершина не может соединяться сама с собой, поэтому элементы на главной диагонали матрицы смежности не имеют значения.
|
||||
- Для неориентированного графа ребра в обоих направлениях эквивалентны, поэтому матрица смежности симметрична относительно главной диагонали.
|
||||
- Если заменить в матрице смежности значения $1$ и $0$ на веса, то можно представить взвешенный граф.
|
||||
|
||||
При представлении графа матрицей смежности мы можем напрямую обращаться к элементам матрицы, чтобы получить информацию о ребрах, поэтому операции добавления, удаления, поиска и изменения обладают высокой эффективностью, равной $O(1)$ . Однако пространственная сложность матрицы равна $O(n^2)$ , поэтому она занимает заметный объем памяти.
|
||||
При представлении графа матрицей смежности можно напрямую обращаться к элементам матрицы и получать сведения о ребрах, поэтому операции добавления, удаления, поиска и изменения обладают высокой эффективностью и выполняются за $O(1)$ . Однако пространственная сложность матрицы составляет $O(n^2)$ , поэтому она требует значительных затрат памяти.
|
||||
|
||||
### Список смежности
|
||||
|
||||
<u>Список смежности (adjacency list)</u> использует $n$ связанных списков для представления графа, где узлы списка обозначают вершины. $i$-й список соответствует вершине $i$ и хранит все вершины, смежные с ней, то есть все вершины, соединенные с этой вершиной. На рисунке ниже показан пример графа, представленного списком смежности.
|
||||
<u>Список смежности (adjacency list)</u> использует $n$ списков для представления графа, где узлы списка обозначают вершины. $i$-й список соответствует вершине $i$ и хранит все смежные с ней вершины, то есть все вершины, соединенные с данной вершиной. На рисунке ниже показан пример графа, представленного списком смежности.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Список смежности хранит только реально существующие ребра, а общее число ребер обычно значительно меньше $n^2$ , поэтому этот способ существенно экономит пространство. Однако для поиска ребра в списке смежности нужно проходить по списку, поэтому по времени он уступает матрице смежности.
|
||||
Список смежности хранит только реально существующие ребра, а общее число ребер обычно значительно меньше $n^2$ , поэтому он лучше экономит память. Однако для поиска ребра в списке смежности требуется обходить список, поэтому по времени он уступает матрице смежности.
|
||||
|
||||
Если посмотреть на рисунок выше, можно заметить, что **структура списка смежности очень похожа на "метод цепочек" в хеш-таблице, поэтому для оптимизации эффективности здесь можно использовать сходные идеи**. Например, когда список становится слишком длинным, его можно преобразовать в AVL-дерево или красно-черное дерево, чтобы улучшить временную сложность с $O(n)$ до $O(\log n)$ ; можно также превратить его в хеш-таблицу и снизить сложность до $O(1)$ .
|
||||
Если посмотреть на рисунок выше, можно заметить, что **структура списка смежности очень похожа на цепную адресацию в хеш-таблицах, поэтому здесь можно использовать похожие методы оптимизации эффективности**. Например, если список слишком длинный, его можно преобразовать в AVL-дерево или красно-черное дерево, чтобы снизить временную сложность с $O(n)$ до $O(\log n)$ ; также список можно преобразовать в хеш-таблицу, чтобы довести временную сложность до $O(1)$ .
|
||||
|
||||
## Типичные применения графов
|
||||
|
||||
Как показано в таблице ниже, многие реальные системы можно моделировать графами, а соответствующие задачи затем сводить к задачам вычислений на графах.
|
||||
Как показано в таблице ниже, многие реальные системы можно моделировать с помощью графов, а соответствующие задачи затем сводить к задачам вычислений на графах.
|
||||
|
||||
<p align="center"> Таблица <id> Распространенные графы в реальной жизни </p>
|
||||
|
||||
| | Вершина | Ребро | Задача вычислений на графе |
|
||||
| -------- | ------- | -------------------- | -------------------------- |
|
||||
| Социальные сети | Пользователь | Дружеская связь | Рекомендация потенциальных друзей |
|
||||
| Линии метро | Станция | Связность между станциями | Рекомендация кратчайшего маршрута |
|
||||
| Линии метро | Станция | Связь между станциями | Рекомендация кратчайшего маршрута |
|
||||
| Солнечная система | Небесное тело | Гравитационное взаимодействие между телами | Вычисление орбит планет |
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user