xinyin025/hello-algo
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3.3 &nbsp; 数値エンコーディング *
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<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="m13.13 22.19-1.63-3.83c1.57-.58 3.04-1.36 4.4-2.27zM5.64 12.5l-3.83-1.63 6.1-2.77C7 9.46 6.22 10.93 5.64 12.5M19.22 4c.28 0 .53 0 .74.05.17 1.39-.02 4.25-3.3 7.53-1.7 1.71-3.73 3.02-6.01 3.89l-2.15-2.1c.92-2.31 2.23-4.34 3.92-6.03C15.18 4.58 17.64 4 19.22 4m0-2c-1.98 0-4.98.69-8.22 3.93-2.19 2.19-3.5 4.6-4.35 6.71-.28.75-.09 1.57.46 2.13l2.13 2.12c.38.38.89.61 1.42.61.23 0 .47-.06.7-.15A19.1 19.1 0 0 0 18.07 13c5.66-5.66 3.54-10.61 3.54-10.61S20.7 2 19.22 2m-4.68 7.46c-.78-.78-.78-2.05 0-2.83s2.05-.78 2.83 0c.77.78.78 2.05 0 2.83s-2.05.78-2.83 0m-5.66 7.07-1.41-1.41zM6.24 22l3.64-3.64c-.34-.09-.67-.24-.97-.45L4.83 22zM2 22h1.41l4.77-4.76-1.42-1.41L2 20.59zm0-2.83 4.09-4.08c-.21-.3-.36-.62-.45-.97L2 17.76z"/></svg>
<span class="md-ellipsis">
はじめに
</span>
</a>
</div>
<nav class="md-nav" data-md-level="1" aria-labelledby="__nav_1_label" aria-expanded="false">
<label class="md-nav__title" for="__nav_1">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
はじめに
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
<input class="md-nav__toggle md-toggle " type="checkbox" id="__nav_2" >
<div class="md-nav__link md-nav__container">
<a href="../../chapter_preface/" class="md-nav__link ">
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M21 4H3a2 2 0 0 0-2 2v13a2 2 0 0 0 2 2h18a2 2 0 0 0 2-2V6a2 2 0 0 0-2-2M3 19V6h8v13zm18 0h-8V6h8zm-7-9.5h6V11h-6zm0 2.5h6v1.5h-6zm0 2.5h6V16h-6z"/></svg>
<span class="md-ellipsis">
第 0 章 &nbsp; 前書き
</span>
</a>
<label class="md-nav__link " for="__nav_2" id="__nav_2_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav class="md-nav" data-md-level="1" aria-labelledby="__nav_2_label" aria-expanded="false">
<label class="md-nav__title" for="__nav_2">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 0 章 &nbsp; 前書き
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_preface/about_the_book/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
0.1 &nbsp; 本書について
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_preface/suggestions/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
0.2 &nbsp; 本書の使い方
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_preface/summary/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
0.3 &nbsp; まとめ
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
<input class="md-nav__toggle md-toggle " type="checkbox" id="__nav_3" >
<div class="md-nav__link md-nav__container">
<a href="../../chapter_introduction/" class="md-nav__link ">
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M19 3H5c-1.1 0-2 .9-2 2v14c0 1.1.9 2 2 2h14c1.1 0 2-.9 2-2V5c0-1.1-.9-2-2-2m0 16H5V5h14zM6.2 7.7h5v1.5h-5zm6.8 8.1h5v1.5h-5zm0-2.6h5v1.5h-5zM8 18h1.5v-2h2v-1.5h-2v-2H8v2H6V16h2zm6.1-7.1 1.4-1.4 1.4 1.4 1.1-1-1.4-1.4L18 7.1 16.9 6l-1.4 1.4L14.1 6 13 7.1l1.4 1.4L13 9.9z"/></svg>
<span class="md-ellipsis">
第 1 章 &nbsp; アルゴリズムを知る
</span>
</a>
<label class="md-nav__link " for="__nav_3" id="__nav_3_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav class="md-nav" data-md-level="1" aria-labelledby="__nav_3_label" aria-expanded="false">
<label class="md-nav__title" for="__nav_3">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 1 章 &nbsp; アルゴリズムを知る
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_introduction/algorithms_are_everywhere/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
1.1 &nbsp; アルゴリズムは至るところにある
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_introduction/what_is_dsa/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
1.2 &nbsp; アルゴリズムとは
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_introduction/summary/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
1.3 &nbsp; まとめ
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
<input class="md-nav__toggle md-toggle " type="checkbox" id="__nav_4" >
<div class="md-nav__link md-nav__container">
<a href="../../chapter_computational_complexity/" class="md-nav__link ">
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M6 2h12v6l-4 4 4 4v6H6v-6l4-4-4-4zm10 14.5-4-4-4 4V20h8zm-4-5 4-4V4H8v3.5zM10 6h4v.75l-2 2-2-2z"/></svg>
<span class="md-ellipsis">
第 2 章 &nbsp; 計算量解析
</span>
</a>
<label class="md-nav__link " for="__nav_4" id="__nav_4_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav class="md-nav" data-md-level="1" aria-labelledby="__nav_4_label" aria-expanded="false">
<label class="md-nav__title" for="__nav_4">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 2 章 &nbsp; 計算量解析
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_computational_complexity/performance_evaluation/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
2.1 &nbsp; アルゴリズム効率の評価
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_computational_complexity/iteration_and_recursion/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
2.2 &nbsp; 反復と再帰
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_computational_complexity/time_complexity/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
2.3 &nbsp; 時間計算量
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_computational_complexity/space_complexity/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
2.4 &nbsp; 空間計算量
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_computational_complexity/summary/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
2.5 &nbsp; まとめ
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--active md-nav__item--nested">
<input class="md-nav__toggle md-toggle " type="checkbox" id="__nav_5" checked>
<div class="md-nav__link md-nav__container">
<a href="../" class="md-nav__link ">
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M11 13.5v8H3v-8zm-2 2H5v4h4zM12 2l5.5 9h-11zm0 3.86L10.08 9h3.84zM17.5 13c2.5 0 4.5 2 4.5 4.5S20 22 17.5 22 13 20 13 17.5s2-4.5 4.5-4.5m0 2a2.5 2.5 0 0 0-2.5 2.5 2.5 2.5 0 0 0 2.5 2.5 2.5 2.5 0 0 0 2.5-2.5 2.5 2.5 0 0 0-2.5-2.5"/></svg>
<span class="md-ellipsis">
第 3 章 &nbsp; データ構造
</span>
</a>
<label class="md-nav__link " for="__nav_5" id="__nav_5_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav class="md-nav" data-md-level="1" aria-labelledby="__nav_5_label" aria-expanded="true">
<label class="md-nav__title" for="__nav_5">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 3 章 &nbsp; データ構造
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="../classification_of_data_structure/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
3.1 &nbsp; データ構造の分類
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../basic_data_types/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
3.2 &nbsp; 基本データ型
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--active">
<input class="md-nav__toggle md-toggle" type="checkbox" id="__toc">
<label class="md-nav__link md-nav__link--active" for="__toc">
<span class="md-ellipsis">
3.3 &nbsp; 数値エンコーディング *
</span>
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
<a href="././" class="md-nav__link md-nav__link--active">
<span class="md-ellipsis">
3.3 &nbsp; 数値エンコーディング *
</span>
</a>
<nav class="md-nav md-nav--secondary" aria-label="目次">
<label class="md-nav__title" for="__toc">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
目次
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="#331-1-2" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
3.3.1 &nbsp; 符号付き絶対値表現、1 の補数、2 の補数
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#332" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
3.3.2 &nbsp; 浮動小数点数のエンコーディング
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../character_encoding/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
3.4 &nbsp; 文字エンコーディング *
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../summary/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
3.5 &nbsp; まとめ
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
<input class="md-nav__toggle md-toggle " type="checkbox" id="__nav_6" >
<div class="md-nav__link md-nav__container">
<a href="../../chapter_array_and_linkedlist/" class="md-nav__link ">
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M3 5v14h17V5zm4 2v2H5V7zm-2 6v-2h2v2zm0 2h2v2H5zm13 2H9v-2h9zm0-4H9v-2h9zm0-4H9V7h9z"/></svg>
<span class="md-ellipsis">
第 4 章 &nbsp; 配列と連結リスト
</span>
</a>
<label class="md-nav__link " for="__nav_6" id="__nav_6_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav class="md-nav" data-md-level="1" aria-labelledby="__nav_6_label" aria-expanded="false">
<label class="md-nav__title" for="__nav_6">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 4 章 &nbsp; 配列と連結リスト
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_array_and_linkedlist/array/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
4.1 &nbsp; 配列
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_array_and_linkedlist/linked_list/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
4.2 &nbsp; 連結リスト
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_array_and_linkedlist/list/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
4.3 &nbsp; リスト
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_array_and_linkedlist/ram_and_cache/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
4.4 &nbsp; メモリとキャッシュ *
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_array_and_linkedlist/summary/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
4.5 &nbsp; まとめ
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
<input class="md-nav__toggle md-toggle " type="checkbox" id="__nav_7" >
<div class="md-nav__link md-nav__container">
<a href="../../chapter_stack_and_queue/" class="md-nav__link ">
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M17.36 20.2v-5.38h1.79V22H3v-7.18h1.8v5.38zM6.77 14.32l.37-1.76 8.79 1.85-.37 1.76zm1.16-4.21.76-1.61 8.14 3.78-.76 1.62zm2.26-3.99 1.15-1.38 6.9 5.76-1.15 1.37zm4.45-4.25L20 9.08l-1.44 1.07-5.36-7.21zM6.59 18.41v-1.8h8.98v1.8z"/></svg>
<span class="md-ellipsis">
第 5 章 &nbsp; スタックとキュー
</span>
</a>
<label class="md-nav__link " for="__nav_7" id="__nav_7_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav class="md-nav" data-md-level="1" aria-labelledby="__nav_7_label" aria-expanded="false">
<label class="md-nav__title" for="__nav_7">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 5 章 &nbsp; スタックとキュー
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_stack_and_queue/stack/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
5.1 &nbsp; スタック
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_stack_and_queue/queue/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
5.2 &nbsp; キュー
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_stack_and_queue/deque/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
5.3 &nbsp; 両端キュー
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_stack_and_queue/summary/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
5.4 &nbsp; まとめ
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
<input class="md-nav__toggle md-toggle " type="checkbox" id="__nav_8" >
<div class="md-nav__link md-nav__container">
<a href="../../chapter_hashing/" class="md-nav__link ">
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M19.3 17.89c1.32-2.1.7-4.89-1.41-6.21a4.52 4.52 0 0 0-6.21 1.41C10.36 15.2 11 18 13.09 19.3c1.47.92 3.33.92 4.8 0L21 22.39 22.39 21zm-2-.62c-.98.98-2.56.97-3.54 0-.97-.98-.97-2.56.01-3.54.97-.97 2.55-.97 3.53 0 .96.99.95 2.57-.03 3.54zM19 4H5a2 2 0 0 0-2 2v12a2 2 0 0 0 2 2h5.81a6.3 6.3 0 0 1-1.31-2H5v-4h4.18c.16-.71.43-1.39.82-2H5V8h6v2.81a6.3 6.3 0 0 1 2-1.31V8h6v2a6.499 6.499 0 0 1 2 2V6a2 2 0 0 0-2-2"/></svg>
<span class="md-ellipsis">
第 6 章 &nbsp; ハッシュテーブル
</span>
</a>
<label class="md-nav__link " for="__nav_8" id="__nav_8_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav class="md-nav" data-md-level="1" aria-labelledby="__nav_8_label" aria-expanded="false">
<label class="md-nav__title" for="__nav_8">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 6 章 &nbsp; ハッシュテーブル
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_hashing/hash_map/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
6.1 &nbsp; ハッシュテーブル
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_hashing/hash_collision/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
6.2 &nbsp; ハッシュ衝突
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_hashing/hash_algorithm/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
6.3 &nbsp; ハッシュアルゴリズム
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_hashing/summary/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
6.4 &nbsp; まとめ
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
<input class="md-nav__toggle md-toggle " type="checkbox" id="__nav_9" >
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<span class="md-ellipsis">
第 7 章 &nbsp; 木
</span>
</a>
<label class="md-nav__link " for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
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<label class="md-nav__title" for="__nav_9">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 7 章 &nbsp; 木
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_tree/binary_tree/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
7.1 &nbsp; 二分木
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_tree/binary_tree_traversal/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
7.2 &nbsp; 二分木の走査
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
7.3 &nbsp; 二分木の配列表現
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
7.4 &nbsp; 二分探索木
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
7.5 &nbsp; AVL 木 *
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
7.6 &nbsp; まとめ
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
<input class="md-nav__toggle md-toggle " type="checkbox" id="__nav_10" >
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<span class="md-ellipsis">
第 8 章 &nbsp; ヒープ
</span>
</a>
<label class="md-nav__link " for="__nav_10" id="__nav_10_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav class="md-nav" data-md-level="1" aria-labelledby="__nav_10_label" aria-expanded="false">
<label class="md-nav__title" for="__nav_10">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 8 章 &nbsp; ヒープ
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_heap/heap/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
8.1 &nbsp; ヒープ
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_heap/build_heap/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
8.2 &nbsp; ヒープ構築
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_heap/top_k/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
8.3 &nbsp; Top-k 問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_heap/summary/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
8.4 &nbsp; まとめ
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
<input class="md-nav__toggle md-toggle " type="checkbox" id="__nav_11" >
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<span class="md-ellipsis">
第 9 章 &nbsp; グラフ
</span>
</a>
<label class="md-nav__link " for="__nav_11" id="__nav_11_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav class="md-nav" data-md-level="1" aria-labelledby="__nav_11_label" aria-expanded="false">
<label class="md-nav__title" for="__nav_11">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 9 章 &nbsp; グラフ
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_graph/graph/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
9.1 &nbsp; グラフ
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_graph/graph_operations/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
9.2 &nbsp; グラフの基本操作
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_graph/graph_traversal/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
9.3 &nbsp; グラフの走査
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_graph/summary/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
9.4 &nbsp; まとめ
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
<input class="md-nav__toggle md-toggle " type="checkbox" id="__nav_12" >
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<span class="md-ellipsis">
第 10 章 &nbsp; 探索
</span>
</a>
<label class="md-nav__link " for="__nav_12" id="__nav_12_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
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<label class="md-nav__title" for="__nav_12">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 10 章 &nbsp; 探索
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_searching/binary_search/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
10.1 &nbsp; 二分探索
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_searching/binary_search_insertion/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
10.2 &nbsp; 二分探索の挿入位置
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_searching/binary_search_edge/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
10.3 &nbsp; 二分探索の境界
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_searching/replace_linear_by_hashing/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
10.4 &nbsp; ハッシュによる最適化戦略
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_searching/searching_algorithm_revisited/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
10.5 &nbsp; 探索アルゴリズム再考
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_searching/summary/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
10.6 &nbsp; まとめ
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
<input class="md-nav__toggle md-toggle " type="checkbox" id="__nav_13" >
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<span class="md-ellipsis">
第 11 章 &nbsp; ソート
</span>
</a>
<label class="md-nav__link " for="__nav_13" id="__nav_13_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav class="md-nav" data-md-level="1" aria-labelledby="__nav_13_label" aria-expanded="false">
<label class="md-nav__title" for="__nav_13">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 11 章 &nbsp; ソート
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_sorting/sorting_algorithm/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
11.1 &nbsp; ソートアルゴリズム
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_sorting/selection_sort/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
11.2 &nbsp; 選択ソート
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_sorting/bubble_sort/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
11.3 &nbsp; バブルソート
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_sorting/insertion_sort/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
11.4 &nbsp; 挿入ソート
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_sorting/quick_sort/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
11.5 &nbsp; クイックソート
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_sorting/merge_sort/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
11.6 &nbsp; マージソート
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_sorting/heap_sort/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
11.7 &nbsp; ヒープソート
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_sorting/bucket_sort/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
11.8 &nbsp; バケットソート
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_sorting/counting_sort/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
11.9 &nbsp; 計数ソート
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_sorting/radix_sort/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
11.10 &nbsp; 基数ソート
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_sorting/summary/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
11.11 &nbsp; まとめ
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
<input class="md-nav__toggle md-toggle " type="checkbox" id="__nav_14" >
<div class="md-nav__link md-nav__container">
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<span class="md-ellipsis">
第 12 章 &nbsp; 分割統治
</span>
</a>
<label class="md-nav__link " for="__nav_14" id="__nav_14_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav class="md-nav" data-md-level="1" aria-labelledby="__nav_14_label" aria-expanded="false">
<label class="md-nav__title" for="__nav_14">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 12 章 &nbsp; 分割統治
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
12.1 &nbsp; 分割統治法
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
12.2 &nbsp; 分割統治探索戦略
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
12.3 &nbsp; 二分木の構築問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
12.4 &nbsp; ハノイの塔の問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_divide_and_conquer/summary/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
12.5 &nbsp; まとめ
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
<input class="md-nav__toggle md-toggle " type="checkbox" id="__nav_15" >
<div class="md-nav__link md-nav__container">
<a href="../../chapter_backtracking/" class="md-nav__link ">
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M18 15a3 3 0 0 1 3 3 3 3 0 0 1-3 3 2.99 2.99 0 0 1-2.83-2H14v-2h1.17c.41-1.17 1.52-2 2.83-2m0 2a1 1 0 0 0-1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1-1 1 1 0 0 0-1-1m0-9a1.43 1.43 0 0 0 1.43-1.43 1.43 1.43 0 1 0-2.86 0A1.43 1.43 0 0 0 18 8m0-5.43a4 4 0 0 1 4 4C22 9.56 18 14 18 14s-4-4.44-4-7.43a4 4 0 0 1 4-4M8.83 17H10v2H8.83A2.99 2.99 0 0 1 6 21a3 3 0 0 1-3-3c0-1.31.83-2.42 2-2.83V14h2v1.17c.85.3 1.53.98 1.83 1.83M6 17a1 1 0 0 0-1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1-1 1 1 0 0 0-1-1M6 3a3 3 0 0 1 3 3c0 1.31-.83 2.42-2 2.83V10H5V8.83A2.99 2.99 0 0 1 3 6a3 3 0 0 1 3-3m0 2a1 1 0 0 0-1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1-1 1 1 0 0 0-1-1m5 14v-2h2v2zm-4-6H5v-2h2z"/></svg>
<span class="md-ellipsis">
第 13 章 &nbsp; バックトラッキング
</span>
</a>
<label class="md-nav__link " for="__nav_15" id="__nav_15_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
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<label class="md-nav__title" for="__nav_15">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 13 章 &nbsp; バックトラッキング
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_backtracking/backtracking_algorithm/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
13.1 &nbsp; バックトラッキングアルゴリズム
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_backtracking/permutations_problem/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
13.2 &nbsp; 全順列問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_backtracking/subset_sum_problem/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
13.3 &nbsp; 部分和問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_backtracking/n_queens_problem/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
13.4 &nbsp; n クイーン問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_backtracking/summary/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
13.5 &nbsp; まとめ
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
<input class="md-nav__toggle md-toggle " type="checkbox" id="__nav_16" >
<div class="md-nav__link md-nav__container">
<a href="../../chapter_dynamic_programming/" class="md-nav__link ">
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M22 15h-2v3c0 1.11-.89 2-2 2h-3v2l-3-3 3-3v2h3v-3h-2l3-3zm0-11v4c0 1.1-.9 2-2 2H10v10c0 1.1-.9 2-2 2H4c-1.1 0-2-.9-2-2V4c0-1.1.9-2 2-2h16c1.1 0 2 .9 2 2M4 8h4V4H4zm0 2v4h4v-4zm4 10v-4H4v4zm6-12V4h-4v4zm6-4h-4v4h4z"/></svg>
<span class="md-ellipsis">
第 14 章 &nbsp; 動的計画法
</span>
</a>
<label class="md-nav__link " for="__nav_16" id="__nav_16_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav class="md-nav" data-md-level="1" aria-labelledby="__nav_16_label" aria-expanded="false">
<label class="md-nav__title" for="__nav_16">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 14 章 &nbsp; 動的計画法
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
14.1 &nbsp; 動的計画法入門
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
14.2 &nbsp; 動的計画法の問題特性
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
14.3 &nbsp; 動的計画法の問題解決の考え方
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_dynamic_programming/knapsack_problem/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
14.4 &nbsp; 0-1 ナップサック問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
14.5 &nbsp; 完全ナップサック問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
14.6 &nbsp; 編集距離問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_dynamic_programming/summary/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
14.7 &nbsp; まとめ
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
<input class="md-nav__toggle md-toggle " type="checkbox" id="__nav_17" >
<div class="md-nav__link md-nav__container">
<a href="../../chapter_greedy/" class="md-nav__link ">
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M13 3c3.88 0 7 3.14 7 7 0 2.8-1.63 5.19-4 6.31V21H9v-3H8c-1.11 0-2-.89-2-2v-3H4.5c-.42 0-.66-.5-.42-.81L6 9.66A7.003 7.003 0 0 1 13 3m0-2C8.41 1 4.61 4.42 4.06 8.9L2.5 11h-.03l-.02.03c-.55.76-.62 1.76-.19 2.59.36.69 1 1.17 1.74 1.32V16c0 1.85 1.28 3.42 3 3.87V23h11v-5.5c2.5-1.67 4-4.44 4-7.5 0-4.97-4.04-9-9-9m4 7.83c0 1.54-1.36 2.77-3.42 4.64L13 14l-.58-.53C10.36 11.6 9 10.37 9 8.83c0-1.2.96-2.19 2.16-2.2h.04c.69 0 1.35.31 1.8.83.45-.52 1.11-.83 1.8-.83 1.2-.01 2.2.96 2.2 2.16z"/></svg>
<span class="md-ellipsis">
第 15 章 &nbsp; 貪欲法
</span>
</a>
<label class="md-nav__link " for="__nav_17" id="__nav_17_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
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<label class="md-nav__title" for="__nav_17">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 15 章 &nbsp; 貪欲法
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_greedy/greedy_algorithm/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
15.1 &nbsp; 貪欲法
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_greedy/fractional_knapsack_problem/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
15.2 &nbsp; 分数ナップサック問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_greedy/max_capacity_problem/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
15.3 &nbsp; 最大容量問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_greedy/max_product_cutting_problem/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
15.4 &nbsp; 最大積分割問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_greedy/summary/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
15.5 &nbsp; まとめ
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
<input class="md-nav__toggle md-toggle " type="checkbox" id="__nav_18" >
<div class="md-nav__link md-nav__container">
<a href="../../chapter_appendix/" class="md-nav__link ">
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M11 18h2v-2h-2zm1-16A10 10 0 0 0 2 12a10 10 0 0 0 10 10 10 10 0 0 0 10-10A10 10 0 0 0 12 2m0 18c-4.41 0-8-3.59-8-8s3.59-8 8-8 8 3.59 8 8-3.59 8-8 8m0-14a4 4 0 0 0-4 4h2a2 2 0 0 1 2-2 2 2 0 0 1 2 2c0 2-3 1.75-3 5h2c0-2.25 3-2.5 3-5a4 4 0 0 0-4-4"/></svg>
<span class="md-ellipsis">
第 16 章 &nbsp; 付録
</span>
</a>
<label class="md-nav__link " for="__nav_18" id="__nav_18_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav class="md-nav" data-md-level="1" aria-labelledby="__nav_18_label" aria-expanded="false">
<label class="md-nav__title" for="__nav_18">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 16 章 &nbsp; 付録
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_appendix/installation/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
16.1 &nbsp; プログラミング環境のインストール
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_appendix/contribution/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
16.2 &nbsp; 一緒に制作に参加しましょう
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="../../chapter_appendix/terminology/" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
16.3 &nbsp; 用語集
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
<input class="md-nav__toggle md-toggle " type="checkbox" id="__nav_19" >
<div class="md-nav__link md-nav__container">
<a href="../../chapter_reference/" class="md-nav__link ">
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M9 3v15h3V3zm3 2 4 13 3-1-4-13zM5 5v13h3V5zM3 19v2h18v-2z"/></svg>
<span class="md-ellipsis">
参考文献
</span>
</a>
</div>
<nav class="md-nav" data-md-level="1" aria-labelledby="__nav_19_label" aria-expanded="false">
<label class="md-nav__title" for="__nav_19">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
参考文献
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix>
</ul>
</nav>
</li>
</ul>
</nav>
</div>
</div>
</div>
<div class="md-sidebar md-sidebar--secondary" data-md-component="sidebar" data-md-type="toc" >
<div class="md-sidebar__scrollwrap">
<div class="md-sidebar__inner">
<nav class="md-nav md-nav--secondary" aria-label="目次">
<label class="md-nav__title" for="__toc">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
目次
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="#331-1-2" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
3.3.1 &nbsp; 符号付き絶対値表現、1 の補数、2 の補数
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#332" class="md-nav__link">
<span class="md-ellipsis">
3.3.2 &nbsp; 浮動小数点数のエンコーディング
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</div>
</div>
</div>
<div class="md-content" data-md-component="content">
<article class="md-content__inner md-typeset">
<!-- Tags -->
<!-- Actions -->
<!-- Actions -->
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<a
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<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 512 512"><!--! Font Awesome Free 7.1.0 by @fontawesome - https://fontawesome.com License - https://fontawesome.com/license/free (Icons: CC BY 4.0, Fonts: SIL OFL 1.1, Code: MIT License) Copyright 2025 Fonticons, Inc.--><path fill="currentColor" d="M441 58.9 453.1 71c9.4 9.4 9.4 24.6 0 33.9L424 134.1 377.9 88 407 58.9c9.4-9.4 24.6-9.4 33.9 0zM209.8 256.2 344 121.9l46.1 46.1-134.3 134.2c-2.9 2.9-6.5 5-10.4 6.1L186.9 325l16.7-58.5c1.1-3.9 3.2-7.5 6.1-10.4zM373.1 25 175.8 222.2c-8.7 8.7-15 19.4-18.3 31.1l-28.6 100c-2.4 8.4-.1 17.4 6.1 23.6s15.2 8.5 23.6 6.1l100-28.6c11.8-3.4 22.5-9.7 31.1-18.3L487 138.9c28.1-28.1 28.1-73.7 0-101.8L474.9 25c-28.1-28.1-73.7-28.1-101.8 0M88 64c-48.6 0-88 39.4-88 88v272c0 48.6 39.4 88 88 88h272c48.6 0 88-39.4 88-88V312c0-13.3-10.7-24-24-24s-24 10.7-24 24v112c0 22.1-17.9 40-40 40H88c-22.1 0-40-17.9-40-40V152c0-22.1 17.9-40 40-40h112c13.3 0 24-10.7 24-24s-10.7-24-24-24z"/></svg>
</a>
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<!-- Page content -->
<h1 id="33">3.3 &nbsp; 数値エンコーディング *<a class="headerlink" href="#33" title="Permanent link">&para;</a></h1>
<div class="admonition tip">
<p class="admonition-title">Tip</p>
<p>本書では、タイトルに * 記号が付いている章は選読です。時間が限られている場合や理解が難しいと感じる場合は、いったん読み飛ばし、必読章を終えてから個別に取り組んでください。</p>
</div>
<h2 id="331-1-2">3.3.1 &nbsp; 符号付き絶対値表現、1 の補数、2 の補数<a class="headerlink" href="#331-1-2" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>前節の表を見ると、すべての整数型で表せる負数の個数は正数より 1 つ多く、たとえば <code>byte</code> の値域は <span class="arithmatex">\([-128, 127]\)</span> です。この現象は直感に反するように見えますが、その背景には符号付き絶対値表現、1 の補数、2 の補数に関する知識があります。</p>
<p>まず押さえておくべきなのは、**数値はコンピュータ内で「2 の補数」の形で保存される**ということです。その理由を説明する前に、まずはこの 3 つの定義を示します。</p>
<ul>
<li><strong>符号付き絶対値表現</strong>：数値の二進表現の最上位ビットを符号ビットとみなし、<span class="arithmatex">\(0\)</span> は正数、<span class="arithmatex">\(1\)</span> は負数を表し、残りのビットが数値の値を表します。</li>
<li><strong>1 の補数</strong>：正数の 1 の補数は符号付き絶対値表現と同じで、負数の 1 の補数は符号ビットを除くすべてのビットを反転したものです。</li>
<li><strong>2 の補数</strong>：正数の 2 の補数は符号付き絶対値表現と同じで、負数の 2 の補数は 1 の補数に <span class="arithmatex">\(1\)</span> を加えたものです。</li>
</ul>
<p>下図は、符号付き絶対値表現、1 の補数、2 の補数の変換方法を示しています。</p>
<p><img alt="符号付き絶対値表現、1 の補数、2 の補数の相互変換" class="animation-figure" src="../number_encoding.assets/1s_2s_complement.png" /></p>
<p align="center"> 図 3-4 &nbsp; 符号付き絶対値表現、1 の補数、2 の補数の相互変換 </p>
<p><u>符号付き絶対値表現（sign-magnitude）</u>は最も直感的ですが、いくつかの制約があります。まず、<strong>負数の符号付き絶対値表現はそのまま演算に使えません</strong>。たとえば符号付き絶対値表現で <span class="arithmatex">\(1 + (-2)\)</span> を計算すると、結果は <span class="arithmatex">\(-3\)</span> になってしまい、これは明らかに誤りです。</p>
<div class="arithmatex">\[
\begin{aligned}
&amp; 1 + (-2) \newline
&amp; \rightarrow 0000 \; 0001 + 1000 \; 0010 \newline
&amp; = 1000 \; 0011 \newline
&amp; \rightarrow -3
\end{aligned}
\]</div>
<p>この問題を解決するために、コンピュータには<u>1 の補数（1's complement）</u>が導入されました。まず符号付き絶対値表現を 1 の補数に変換し、1 の補数で <span class="arithmatex">\(1 + (-2)\)</span> を計算してから、結果を 1 の補数から符号付き絶対値表現へ戻すと、正しい結果 <span class="arithmatex">\(-1\)</span> が得られます。</p>
<div class="arithmatex">\[
\begin{aligned}
&amp; 1 + (-2) \newline
&amp; \rightarrow 0000 \; 0001 \; \text{(符号付き絶対値表現)} + 1000 \; 0010 \; \text{(符号付き絶対値表現)} \newline
&amp; = 0000 \; 0001 \; \text{(1 の補数)} + 1111 \; 1101 \; \text{(1 の補数)} \newline
&amp; = 1111 \; 1110 \; \text{(1 の補数)} \newline
&amp; = 1000 \; 0001 \; \text{(符号付き絶対値表現)} \newline
&amp; \rightarrow -1
\end{aligned}
\]</div>
<p>一方、<strong>数値 0 の符号付き絶対値表現には <span class="arithmatex">\(+0\)</span> と <span class="arithmatex">\(-0\)</span> の 2 つの表し方があります</strong>。つまり、数値 0 に対して異なる 2 つの二進コードが対応しており、これは曖昧さの原因になります。たとえば条件判定で正のゼロと負のゼロを区別しないと、誤った判定結果になる可能性があります。また、この曖昧さを解消しようとすると追加の判定処理が必要になり、計算効率が下がるおそれがあります。</p>
<div class="arithmatex">\[
\begin{aligned}
+0 &amp; \rightarrow 0000 \; 0000 \newline
-0 &amp; \rightarrow 1000 \; 0000
\end{aligned}
\]</div>
<p>符号付き絶対値表現と同様に、1 の補数にも正負のゼロの曖昧さがあります。そこでコンピュータはさらに<u>2 の補数（2's complement）</u>を導入しました。まずは負のゼロについて、符号付き絶対値表現、1 の補数、2 の補数の変換を見てみましょう。</p>
<div class="arithmatex">\[
\begin{aligned}
-0 \rightarrow \; &amp; 1000 \; 0000 \; \text{(符号付き絶対値表現)} \newline
= \; &amp; 1111 \; 1111 \; \text{(1 の補数)} \newline
= 1 \; &amp; 0000 \; 0000 \; \text{(2 の補数)} \newline
\end{aligned}
\]</div>
<p>負のゼロの 1 の補数に <span class="arithmatex">\(1\)</span> を加えると桁上がりが発生しますが、<code>byte</code> 型の長さは 8 ビットしかないため、第 9 ビットへあふれた <span class="arithmatex">\(1\)</span> は捨てられます。つまり、<strong>負のゼロの 2 の補数は <span class="arithmatex">\(0000 \; 0000\)</span> であり、正のゼロの 2 の補数と同じです</strong>。そのため、2 の補数表現ではゼロは 1 つしか存在せず、正負のゼロの曖昧さは解消されます。</p>
<p>最後にもう 1 つ疑問が残ります。<code>byte</code> 型の値域は <span class="arithmatex">\([-128, 127]\)</span> ですが、余分にある負数 <span class="arithmatex">\(-128\)</span> はどのように得られるのでしょうか。区間 <span class="arithmatex">\([-127, +127]\)</span> にあるすべての整数には、それぞれ対応する符号付き絶対値表現、1 の補数、2 の補数があり、符号付き絶対値表現と 2 の補数の間は相互に変換できます。</p>
<p>しかし、<strong>2 の補数 <span class="arithmatex">\(1000 \; 0000\)</span> だけは例外で、対応する符号付き絶対値表現を持ちません</strong>。変換規則に従うと、この 2 の補数に対応する符号付き絶対値表現は <span class="arithmatex">\(0000 \; 0000\)</span> になります。これは明らかに矛盾しています。なぜなら、この符号付き絶対値表現は数値 <span class="arithmatex">\(0\)</span> を表し、その 2 の補数は自分自身であるはずだからです。コンピュータでは、この特別な 2 の補数 <span class="arithmatex">\(1000 \; 0000\)</span> を <span class="arithmatex">\(-128\)</span> と定めています。実際、2 の補数での <span class="arithmatex">\((-1) + (-127)\)</span> の計算結果はちょうど <span class="arithmatex">\(-128\)</span> になります。</p>
<div class="arithmatex">\[
\begin{aligned}
&amp; (-127) + (-1) \newline
&amp; \rightarrow 1111 \; 1111 \; \text{(符号付き絶対値表現)} + 1000 \; 0001 \; \text{(符号付き絶対値表現)} \newline
&amp; = 1000 \; 0000 \; \text{(1 の補数)} + 1111 \; 1110 \; \text{(1 の補数)} \newline
&amp; = 1000 \; 0001 \; \text{(2 の補数)} + 1111 \; 1111 \; \text{(2 の補数)} \newline
&amp; = 1000 \; 0000 \; \text{(2 の補数)} \newline
&amp; \rightarrow -128
\end{aligned}
\]</div>
<p>すでにお気づきかもしれませんが、上の計算はすべて加算です。これは重要な事実を示しています。**コンピュータ内部のハードウェア回路は、主として加算を基準に設計されている**のです。なぜなら、加算はほかの演算（乗算、除算、減算など）に比べてハードウェアで実装しやすく、並列化もしやすく、演算速度も速いからです。</p>
<p>ただし、これはコンピュータが加算しかできないという意味ではありません。<strong>加算といくつかの基本的な論理演算を組み合わせることで、コンピュータはさまざまな数学演算を実現できます</strong>。たとえば減算 <span class="arithmatex">\(a - b\)</span> は加算 <span class="arithmatex">\(a + (-b)\)</span> に変換できますし、乗算や除算も繰り返しの加算または減算に変換できます。</p>
<p>これで、コンピュータが 2 の補数を使う理由をまとめられます。2 の補数表現に基づけば、コンピュータは同じ回路と操作で正数と負数の加算を扱うことができ、減算専用の特別なハードウェア回路を設計する必要がなく、正負のゼロの曖昧さも特別に処理しなくて済みます。これにより、ハードウェア設計は大幅に簡略化され、演算効率も向上します。</p>
<p>2 の補数の設計は非常に巧妙ですが、紙幅の都合上ここまでにします。興味のある読者は、さらに深く調べてみてください。</p>
<h2 id="332">3.3.2 &nbsp; 浮動小数点数のエンコーディング<a class="headerlink" href="#332" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>注意深い人なら気づくかもしれません。<code>int</code> と <code>float</code> はどちらも長さが 4 バイトで同じなのに、なぜ <code>float</code> の値域は <code>int</code> よりはるかに広いのでしょうか。これはかなり直感に反します。というのも、<code>float</code> は小数を表す必要があるので、本来なら値域は狭くなるはずだからです。</p>
<p>実際には、<strong>これは浮動小数点数 <code>float</code> が異なる表現方法を採用しているためです</strong>。32 ビット長の二進数を次のように表します。</p>
<div class="arithmatex">\[
b_{31} b_{30} b_{29} \ldots b_2 b_1 b_0
\]</div>
<p>IEEE 754 標準によれば、32-bit 長の <code>float</code> は次の 3 つの部分から構成されます。</p>
<ul>
<li>符号部 <span class="arithmatex">\(\mathrm{S}\)</span> ：1 ビットを占め、<span class="arithmatex">\(b_{31}\)</span> に対応します。</li>
<li>指数部 <span class="arithmatex">\(\mathrm{E}\)</span> ：8 ビットを占め、<span class="arithmatex">\(b_{30} b_{29} \ldots b_{23}\)</span> に対応します。</li>
<li>仮数部 <span class="arithmatex">\(\mathrm{N}\)</span> ：23 ビットを占め、<span class="arithmatex">\(b_{22} b_{21} \ldots b_0\)</span> に対応します。</li>
</ul>
<p>二進数 <code>float</code> に対応する値は次式で計算されます。</p>
<div class="arithmatex">\[
\text {val} = (-1)^{b_{31}} \times 2^{\left(b_{30} b_{29} \ldots b_{23}\right)_2-127} \times\left(1 . b_{22} b_{21} \ldots b_0\right)_2
\]</div>
<p>十進数に直すと、計算式は次のようになります。</p>
<div class="arithmatex">\[
\text {val}=(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{\mathrm{E} -127} \times (1 + \mathrm{N})
\]</div>
<p>各項の取り得る範囲は次のとおりです。</p>
<div class="arithmatex">\[
\begin{aligned}
\mathrm{S} \in &amp; \{ 0, 1\}, \quad \mathrm{E} \in \{ 1, 2, \dots, 254 \} \newline
(1 + \mathrm{N}) = &amp; (1 + \sum_{i=1}^{23} b_{23-i} 2^{-i}) \subset [1, 2 - 2^{-23}]
\end{aligned}
\]</div>
<p><img alt="IEEE 754 標準における float の計算例" class="animation-figure" src="../number_encoding.assets/ieee_754_float.png" /></p>
<p align="center"> 図 3-5 &nbsp; IEEE 754 標準における float の計算例 </p>
<p>上図を見ると、例として <span class="arithmatex">\(\mathrm{S} = 0\)</span> 、 <span class="arithmatex">\(\mathrm{E} = 124\)</span> 、<span class="arithmatex">\(\mathrm{N} = 2^{-2} + 2^{-3} = 0.375\)</span> が与えられた場合、次のようになります。</p>
<div class="arithmatex">\[
\text { val } = (-1)^0 \times 2^{124 - 127} \times (1 + 0.375) = 0.171875
\]</div>
<p>これで最初の疑問に答えられます。**<code>float</code> の表現方法には指数部が含まれているため、その値域は <code>int</code> よりはるかに広い**のです。上の計算より、<code>float</code> が表せる最大の正数は <span class="arithmatex">\(2^{254 - 127} \times (2 - 2^{-23}) \approx 3.4 \times 10^{38}\)</span> であり、符号ビットを切り替えれば最小の負数が得られます。</p>
<p><strong>浮動小数点数 <code>float</code> は値域を広げる一方で、その代償として精度を犠牲にしています</strong>。整数型 <code>int</code> は 32 ビットすべてを数値の表現に使うため、数値は一様に分布します。しかし指数部があるため、浮動小数点数 <code>float</code> は値が大きくなるほど、隣り合う 2 つの数の差も大きくなる傾向があります。</p>
<p>次の表のとおり、指数部 <span class="arithmatex">\(\mathrm{E} = 0\)</span> と <span class="arithmatex">\(\mathrm{E} = 255\)</span> には特別な意味があり、<strong>ゼロ、無限大、<span class="arithmatex">\(\mathrm{NaN}\)</span> などを表すために使われます</strong>。</p>
<p align="center"> 表 3-2 &nbsp; 指数部の意味 </p>
<div class="center-table">
<table>
<thead>
<tr>
<th>指数部 E</th>
<th>仮数部 <span class="arithmatex">\(\mathrm{N} = 0\)</span></th>
<th>仮数部 <span class="arithmatex">\(\mathrm{N} \ne 0\)</span></th>
<th>計算式</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td><span class="arithmatex">\(0\)</span></td>
<td><span class="arithmatex">\(\pm 0\)</span></td>
<td>非正規化数</td>
<td><span class="arithmatex">\((-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{-126} \times (0.\mathrm{N})\)</span></td>
</tr>
<tr>
<td><span class="arithmatex">\(1, 2, \dots, 254\)</span></td>
<td>正規化数</td>
<td>正規化数</td>
<td><span class="arithmatex">\((-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{(\mathrm{E} -127)} \times (1.\mathrm{N})\)</span></td>
</tr>
<tr>
<td><span class="arithmatex">\(255\)</span></td>
<td><span class="arithmatex">\(\pm \infty\)</span></td>
<td><span class="arithmatex">\(\mathrm{NaN}\)</span></td>
<td></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<p>なお、非正規化数によって浮動小数点数の精度は大きく向上します。最小の正の正規化数は <span class="arithmatex">\(2^{-126}\)</span> であり、最小の正の非正規化数は <span class="arithmatex">\(2^{-126} \times 2^{-23}\)</span> です。</p>
<p>倍精度 <code>double</code> も <code>float</code> と同様の表現方法を採用しているため、ここでは詳述しません。</p>
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前
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3.2 &nbsp; 基本データ型
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次
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3.4 &nbsp; 文字エンコーディング *
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/* Register event handlers after documented loaded */
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