mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-06-29 00:54:26 +00:00
krahets
192 KiB
192 KiB
comments
| comments |
|---|
| true |
2.3 Временная сложность
Время выполнения может наглядно и точно отражать эффективность алгоритма. Если мы хотим точно оценить время работы некоторого фрагмента кода, как это сделать?
- Определить платформу выполнения, включая конфигурацию оборудования, язык программирования, системную среду и т.д., поскольку все эти факторы влияют на эффективность выполнения кода.
- Оценить время выполнения различных вычислительных операций, например операция сложения
+требует 1 нс , операция умножения*требует 10 нс , операция выводаprint()требует 5 нс и т.д. - Подсчитать все вычислительные операции в коде и суммировать время выполнения всех операций, чтобы получить общее время работы.
Например, в следующем коде размер входных данных равен n :
=== "Python"
```python title=""
# На некоторой платформе выполнения
def algorithm(n: int):
a = 2 # 1 нс
a = a + 1 # 1 нс
a = a * 2 # 10 нс
# Цикл выполняется n раз
for _ in range(n): # 1 нс
print(0) # 5 нс
```
=== "C++"
```cpp title=""
// На некоторой платформе выполнения
void algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 нс
a = a + 1; // 1 нс
a = a * 2; // 10 нс
// Цикл выполняется n раз
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 нс
cout << 0 << endl; // 5 нс
}
}
```
=== "Java"
```java title=""
// На некоторой платформе выполнения
void algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 нс
a = a + 1; // 1 нс
a = a * 2; // 10 нс
// Цикл выполняется n раз
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 нс
System.out.println(0); // 5 нс
}
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
// На некоторой платформе выполнения
void Algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 нс
a = a + 1; // 1 нс
a = a * 2; // 10 нс
// Цикл выполняется n раз
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 нс
Console.WriteLine(0); // 5 нс
}
}
```
=== "Go"
```go title=""
// На некоторой платформе выполнения
func algorithm(n int) {
a := 2 // 1 нс
a = a + 1 // 1 нс
a = a * 2 // 10 нс
// Цикл выполняется n раз
for i := 0; i < n; i++ { // 1 нс
fmt.Println(a) // 5 нс
}
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
// На некоторой платформе выполнения
func algorithm(n: Int) {
var a = 2 // 1 нс
a = a + 1 // 1 нс
a = a * 2 // 10 нс
// Цикл выполняется n раз
for _ in 0 ..< n { // 1 нс
print(0) // 5 нс
}
}
```
=== "JS"
```javascript title=""
// На некоторой платформе выполнения
function algorithm(n) {
var a = 2; // 1 нс
a = a + 1; // 1 нс
a = a * 2; // 10 нс
// Цикл выполняется n раз
for(let i = 0; i < n; i++) { // 1 нс
console.log(0); // 5 нс
}
}
```
=== "TS"
```typescript title=""
// На некоторой платформе выполнения
function algorithm(n: number): void {
var a: number = 2; // 1 нс
a = a + 1; // 1 нс
a = a * 2; // 10 нс
// Цикл выполняется n раз
for(let i = 0; i < n; i++) { // 1 нс
console.log(0); // 5 нс
}
}
```
=== "Dart"
```dart title=""
// На некоторой платформе выполнения
void algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 нс
a = a + 1; // 1 нс
a = a * 2; // 10 нс
// Цикл выполняется n раз
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 нс
print(0); // 5 нс
}
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
// На некоторой платформе выполнения
fn algorithm(n: i32) {
let mut a = 2; // 1 нс
a = a + 1; // 1 нс
a = a * 2; // 10 нс
// Цикл выполняется n раз
for _ in 0..n { // 1 нс
println!("{}", 0); // 5 нс
}
}
```
=== "C"
```c title=""
// На некоторой платформе выполнения
void algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 нс
a = a + 1; // 1 нс
a = a * 2; // 10 нс
// Цикл выполняется n раз
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 нс
printf("%d", 0); // 5 нс
}
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title=""
// На некоторой платформе выполнения
fun algorithm(n: Int) {
var a = 2 // 1 нс
a = a + 1 // 1 нс
a = a * 2 // 10 нс
// Цикл выполняется n раз
for (i in 0..<n) { // 1 нс
println(0) // 5 нс
}
}
```
=== "Ruby"
```ruby title=""
# На некоторой платформе выполнения
def algorithm(n)
a = 2 # 1 нс
a = a + 1 # 1 нс
a = a * 2 # 10 нс
# Цикл выполняется n раз
(0...n).each do # 1 нс
puts 0 # 5 нс
end
end
```
Согласно приведенному выше методу, время работы алгоритма равно (6n + 12) нс :
1 + 1 + 10 + (1 + 5) \times n = 6n + 12
Но на практике подсчитывать реальное время выполнения алгоритма и неразумно, и нереалистично. Во-первых, мы не хотим привязывать оценку времени к конкретной платформе, потому что алгоритм должен запускаться на самых разных платформах. Во-вторых, нам трудно узнать время выполнения каждого типа операций, а это сильно усложняет оценку.
2.3.1 Подсчет тенденции роста времени
Анализ временной сложности оценивает не само время выполнения алгоритма, а тенденцию роста этого времени по мере увеличения объема данных.
Понятие "тенденции роста времени" довольно абстрактно, поэтому разберем его на примере. Предположим, размер входных данных равен n , и даны три алгоритма A , B и C :
=== "Python"
```python title=""
# Временная сложность алгоритма A: постоянная
def algorithm_A(n: int):
print(0)
# Временная сложность алгоритма B: линейная
def algorithm_B(n: int):
for _ in range(n):
print(0)
# Временная сложность алгоритма C: постоянная
def algorithm_C(n: int):
for _ in range(1000000):
print(0)
```
=== "C++"
```cpp title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
void algorithm_A(int n) {
cout << 0 << endl;
}
// Временная сложность алгоритма B: линейная
void algorithm_B(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
cout << 0 << endl;
}
}
// Временная сложность алгоритма C: постоянная
void algorithm_C(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
cout << 0 << endl;
}
}
```
=== "Java"
```java title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
void algorithm_A(int n) {
System.out.println(0);
}
// Временная сложность алгоритма B: линейная
void algorithm_B(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
System.out.println(0);
}
}
// Временная сложность алгоритма C: постоянная
void algorithm_C(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
System.out.println(0);
}
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
void AlgorithmA(int n) {
Console.WriteLine(0);
}
// Временная сложность алгоритма B: линейная
void AlgorithmB(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
Console.WriteLine(0);
}
}
// Временная сложность алгоритма C: постоянная
void AlgorithmC(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
Console.WriteLine(0);
}
}
```
=== "Go"
```go title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
func algorithm_A(n int) {
fmt.Println(0)
}
// Временная сложность алгоритма B: линейная
func algorithm_B(n int) {
for i := 0; i < n; i++ {
fmt.Println(0)
}
}
// Временная сложность алгоритма C: постоянная
func algorithm_C(n int) {
for i := 0; i < 1000000; i++ {
fmt.Println(0)
}
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
func algorithmA(n: Int) {
print(0)
}
// Временная сложность алгоритма B: линейная
func algorithmB(n: Int) {
for _ in 0 ..< n {
print(0)
}
}
// Временная сложность алгоритма C: постоянная
func algorithmC(n: Int) {
for _ in 0 ..< 1_000_000 {
print(0)
}
}
```
=== "JS"
```javascript title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
function algorithm_A(n) {
console.log(0);
}
// Временная сложность алгоритма B: линейная
function algorithm_B(n) {
for (let i = 0; i < n; i++) {
console.log(0);
}
}
// Временная сложность алгоритма C: постоянная
function algorithm_C(n) {
for (let i = 0; i < 1000000; i++) {
console.log(0);
}
}
```
=== "TS"
```typescript title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
function algorithm_A(n: number): void {
console.log(0);
}
// Временная сложность алгоритма B: линейная
function algorithm_B(n: number): void {
for (let i = 0; i < n; i++) {
console.log(0);
}
}
// Временная сложность алгоритма C: постоянная
function algorithm_C(n: number): void {
for (let i = 0; i < 1000000; i++) {
console.log(0);
}
}
```
=== "Dart"
```dart title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
void algorithmA(int n) {
print(0);
}
// Временная сложность алгоритма B: линейная
void algorithmB(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
print(0);
}
}
// Временная сложность алгоритма C: постоянная
void algorithmC(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
print(0);
}
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
fn algorithm_A(n: i32) {
println!("{}", 0);
}
// Временная сложность алгоритма B: линейная
fn algorithm_B(n: i32) {
for _ in 0..n {
println!("{}", 0);
}
}
// Временная сложность алгоритма C: постоянная
fn algorithm_C(n: i32) {
for _ in 0..1000000 {
println!("{}", 0);
}
}
```
=== "C"
```c title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
void algorithm_A(int n) {
printf("%d", 0);
}
// Временная сложность алгоритма B: линейная
void algorithm_B(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
printf("%d", 0);
}
}
// Временная сложность алгоритма C: постоянная
void algorithm_C(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
printf("%d", 0);
}
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title=""
// Временная сложность алгоритма A: постоянная
fun algoritm_A(n: Int) {
println(0)
}
// Временная сложность алгоритма B: линейная
fun algorithm_B(n: Int) {
for (i in 0..<n){
println(0)
}
}
// Временная сложность алгоритма C: постоянная
fun algorithm_C(n: Int) {
for (i in 0..<1000000) {
println(0)
}
}
```
=== "Ruby"
```ruby title=""
# Временная сложность алгоритма A: постоянная
def algorithm_A(n)
puts 0
end
# Временная сложность алгоритма B: линейная
def algorithm_B(n)
(0...n).each { puts 0 }
end
# Временная сложность алгоритма C: постоянная
def algorithm_C(n)
(0...1_000_000).each { puts 0 }
end
```
На рисунке 2-7 показана временная сложность трех функций алгоритмов выше.
- У алгоритма
Aесть только 1 операция вывода, и время его работы не растет с увеличениемn. Мы называем такую временную сложность "постоянной". - В алгоритме
Bоперация вывода выполняется в циклеnраз, поэтому время работы растет линейно по мере увеличенияn. Такая временная сложность называется "линейной". - В алгоритме
Cоперация вывода выполняется1000000раз; хотя время работы велико, оно не зависит от размера входных данныхn. Поэтому временная сложностьCтакая же, как уA, и тоже является "постоянной".
{ class="animation-figure" }
Рисунок 2-7 Тенденции роста времени для алгоритмов A, B и C
Какие особенности имеет анализ временной сложности по сравнению с непосредственным измерением времени работы алгоритма?
- Временная сложность позволяет эффективно оценивать эффективность алгоритма. Например, время работы алгоритма
Bрастет линейно: приn > 1он медленнее алгоритмаA, а приn > 1000000медленнее алгоритмаC. На самом деле, если размер входных данныхnдостаточно велик, алгоритм с "постоянной" сложностью обязательно лучше алгоритма с "линейной" сложностью. В этом и состоит смысл тенденции роста времени. - Метод вывода временной сложности проще. Очевидно, что платформа выполнения и тип вычислительных операций не влияют на тенденцию роста времени работы алгоритма. Поэтому в анализе временной сложности мы можем считать время выполнения всех вычислительных операций одинаковым "единичным временем" и тем самым упростить "подсчет времени выполнения операций" до "подсчета количества операций", что существенно снижает сложность оценки.
- У временной сложности есть и определенные ограничения. Например, хотя временная сложность алгоритмов
AиCодинакова, их реальное время выполнения сильно различается. Точно так же, хотя временная сложностьBвыше, чем уC, при малыхnалгоритмBявно лучшеC. В таких случаях нам часто трудно судить об эффективности алгоритма, опираясь только на временную сложность. Тем не менее, несмотря на эти ограничения, анализ сложности все равно остается самым эффективным и самым распространенным способом оценки алгоритмов.
2.3.2 Асимптотическая верхняя граница функции
Для функции с входным размером n :
=== "Python"
```python title=""
def algorithm(n: int):
a = 1 # +1
a = a + 1 # +1
a = a * 2 # +1
# Цикл выполняется n раз
for i in range(n): # +1
print(0) # +1
```
=== "C++"
```cpp title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// Цикл выполняется n раз
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1 (каждый раз выполняется i ++)
cout << 0 << endl; // +1
}
}
```
=== "Java"
```java title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// Цикл выполняется n раз
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1 (каждый раз выполняется i ++)
System.out.println(0); // +1
}
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
void Algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// Цикл выполняется n раз
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1 (каждый раз выполняется i ++)
Console.WriteLine(0); // +1
}
}
```
=== "Go"
```go title=""
func algorithm(n int) {
a := 1 // +1
a = a + 1 // +1
a = a * 2 // +1
// Цикл выполняется n раз
for i := 0; i < n; i++ { // +1
fmt.Println(a) // +1
}
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
func algorithm(n: Int) {
var a = 1 // +1
a = a + 1 // +1
a = a * 2 // +1
// Цикл выполняется n раз
for _ in 0 ..< n { // +1
print(0) // +1
}
}
```
=== "JS"
```javascript title=""
function algorithm(n) {
var a = 1; // +1
a += 1; // +1
a *= 2; // +1
// Цикл выполняется n раз
for(let i = 0; i < n; i++){ // +1 (каждый раз выполняется i ++)
console.log(0); // +1
}
}
```
=== "TS"
```typescript title=""
function algorithm(n: number): void{
var a: number = 1; // +1
a += 1; // +1
a *= 2; // +1
// Цикл выполняется n раз
for(let i = 0; i < n; i++){ // +1 (каждый раз выполняется i ++)
console.log(0); // +1
}
}
```
=== "Dart"
```dart title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// Цикл выполняется n раз
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1 (каждый раз выполняется i ++)
print(0); // +1
}
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
fn algorithm(n: i32) {
let mut a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// Цикл выполняется n раз
for _ in 0..n { // +1 (каждый раз выполняется i ++)
println!("{}", 0); // +1
}
}
```
=== "C"
```c title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// Цикл выполняется n раз
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1 (каждый раз выполняется i ++)
printf("%d", 0); // +1
}
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title=""
fun algorithm(n: Int) {
var a = 1 // +1
a = a + 1 // +1
a = a * 2 // +1
// Цикл выполняется n раз
for (i in 0..<n) { // +1 (каждый раз выполняется i ++)
println(0) // +1
}
}
```
=== "Ruby"
```ruby title=""
def algorithm(n)
a = 1 # +1
a = a + 1 # +1
a = a * 2 # +1
# Цикл выполняется n раз
(0...n).each do # +1
puts 0 # +1
end
end
```
Пусть количество операций алгоритма является функцией от размера входных данных n и обозначается как T(n) ; тогда для приведенной выше функции число операций равно:
T(n) = 3 + 2n
T(n) - линейная функция, а это означает, что тенденция роста времени работы линейна, следовательно, ее временная сложность является линейной.
Линейную временную сложность мы записываем как O(n) ; этот математический символ называется нотацией Big O (big-O notation) и обозначает асимптотическую верхнюю границу (asymptotic upper bound) функции T(n) .
По сути анализ временной сложности - это вычисление асимптотической верхней границы "количества операций $T(n)$", и у него есть строгое математическое определение.
!!! note "Асимптотическая верхняя граница функции"
Если существуют положительное действительное число $c$ и действительное число $n_0$ , такие что для всех $n > n_0$ выполняется $T(n) \leq c \cdot f(n)$ , то можно считать, что $f(n)$ задает асимптотическую верхнюю границу для $T(n)$ ; это записывается как $T(n) = O(f(n))$ .
Как показано на рисунке 2-8, вычислить асимптотическую верхнюю границу - значит найти такую функцию f(n) , что при стремлении n к бесконечности функции T(n) и f(n) имеют один и тот же порядок роста и отличаются только постоянным коэффициентом c.
{ class="animation-figure" }
Рисунок 2-8 Асимптотическая верхняя граница функции
2.3.3 Метод вывода
Математическое определение асимптотической верхней границы выглядит довольно формально, и если ты понял его не до конца, переживать не стоит. Сначала можно освоить сам метод вывода, а в процессе дальнейшей практики постепенно почувствовать его математический смысл.
Согласно определению, после того как мы определили f(n) , мы можем получить временную сложность O(f(n)) . Но как определить саму асимптотическую верхнюю границу f(n) ? В целом процесс состоит из двух шагов: сначала подсчитать количество операций, затем определить асимптотическую верхнюю границу.
1. Шаг 1: подсчет количества операций
Для кода это можно делать построчно сверху вниз. Однако, поскольку в выражении c \cdot f(n) выше постоянный коэффициент c может быть сколь угодно большим, различные коэффициенты и постоянные члены в числе операций T(n) можно игнорировать. Исходя из этого принципа, можно сформулировать следующие упрощающие приемы подсчета.
- Игнорировать константы в $T(n)$. Они не зависят от
n, а значит не влияют на временную сложность. - Опускать все коэффициенты. Например, циклы на
2nраз или5n + 1раз можно упростить доnраз, потому что коэффициент передnне влияет на временную сложность. - При вложенных циклах использовать умножение. Общее число операций равно произведению числа операций внешнего и внутреннего циклов; при этом для каждого уровня цикла по-прежнему можно применять приемы из пунктов
1.и2..
Для заданной функции мы можем использовать перечисленные выше приемы и подсчитать число операций:
=== "Python"
```python title=""
def algorithm(n: int):
a = 1 # +0 (прием 1)
a = a + n # +0 (прием 1)
# +n (прием 2)
for i in range(5 * n + 1):
print(0)
# +n*n (прием 3)
for i in range(2 * n):
for j in range(n + 1):
print(0)
```
=== "C++"
```cpp title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +0 (прием 1)
a = a + n; // +0 (прием 1)
// +n (прием 2)
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
cout << 0 << endl;
}
// +n*n (прием 3)
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
cout << 0 << endl;
}
}
}
```
=== "Java"
```java title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +0 (прием 1)
a = a + n; // +0 (прием 1)
// +n (прием 2)
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
System.out.println(0);
}
// +n*n (прием 3)
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
System.out.println(0);
}
}
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
void Algorithm(int n) {
int a = 1; // +0 (прием 1)
a = a + n; // +0 (прием 1)
// +n (прием 2)
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
Console.WriteLine(0);
}
// +n*n (прием 3)
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
Console.WriteLine(0);
}
}
}
```
=== "Go"
```go title=""
func algorithm(n int) {
a := 1 // +0 (прием 1)
a = a + n // +0 (прием 1)
// +n (прием 2)
for i := 0; i < 5 * n + 1; i++ {
fmt.Println(0)
}
// +n*n (прием 3)
for i := 0; i < 2 * n; i++ {
for j := 0; j < n + 1; j++ {
fmt.Println(0)
}
}
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
func algorithm(n: Int) {
var a = 1 // +0 (прием 1)
a = a + n // +0 (прием 1)
// +n (прием 2)
for _ in 0 ..< (5 * n + 1) {
print(0)
}
// +n*n (прием 3)
for _ in 0 ..< (2 * n) {
for _ in 0 ..< (n + 1) {
print(0)
}
}
}
```
=== "JS"
```javascript title=""
function algorithm(n) {
let a = 1; // +0 (прием 1)
a = a + n; // +0 (прием 1)
// +n (прием 2)
for (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
console.log(0);
}
// +n*n (прием 3)
for (let i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (let j = 0; j < n + 1; j++) {
console.log(0);
}
}
}
```
=== "TS"
```typescript title=""
function algorithm(n: number): void {
let a = 1; // +0 (прием 1)
a = a + n; // +0 (прием 1)
// +n (прием 2)
for (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
console.log(0);
}
// +n*n (прием 3)
for (let i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (let j = 0; j < n + 1; j++) {
console.log(0);
}
}
}
```
=== "Dart"
```dart title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +0 (прием 1)
a = a + n; // +0 (прием 1)
// +n (прием 2)
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
print(0);
}
// +n*n (прием 3)
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
print(0);
}
}
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
fn algorithm(n: i32) {
let mut a = 1; // +0 (прием 1)
a = a + n; // +0 (прием 1)
// +n (прием 2)
for i in 0..(5 * n + 1) {
println!("{}", 0);
}
// +n*n (прием 3)
for i in 0..(2 * n) {
for j in 0..(n + 1) {
println!("{}", 0);
}
}
}
```
=== "C"
```c title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +0 (прием 1)
a = a + n; // +0 (прием 1)
// +n (прием 2)
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
printf("%d", 0);
}
// +n*n (прием 3)
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
printf("%d", 0);
}
}
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title=""
fun algorithm(n: Int) {
var a = 1 // +0 (прием 1)
a = a + n // +0 (прием 1)
// +n (прием 2)
for (i in 0..<5 * n + 1) {
println(0)
}
// +n*n (прием 3)
for (i in 0..<2 * n) {
for (j in 0..<n + 1) {
println(0)
}
}
}
```
=== "Ruby"
```ruby title=""
def algorithm(n)
a = 1 # +0 (прием 1)
a = a + n # +0 (прием 1)
# +n (прием 2)
(0...(5 * n + 1)).each do { puts 0 }
# +n*n (прием 3)
(0...(2 * n)).each do
(0...(n + 1)).each do { puts 0 }
end
end
```
Следующая формула показывает результаты подсчета до и после использования перечисленных выше приемов; в обоих случаях выводимая временная сложность равна O(n^2) .
\begin{aligned}
T(n) & = 2n(n + 1) + (5n + 1) + 2 & \text{полный подсчет (-.-|||)} \newline
& = 2n^2 + 7n + 3 \newline
T(n) & = n^2 + n & \text{ленивый подсчет (o.O)}
\end{aligned}
2. Шаг 2: определение асимптотической верхней границы
**Временная сложность определяется старшим по степени членом в T(n) **. Это связано с тем, что при стремлении n к бесконечности именно старший член начинает доминировать, а влиянием остальных членов можно пренебречь.
В таблице 2-2 приведены несколько примеров. Некоторые значения специально сделаны преувеличенными, чтобы подчеркнуть вывод: "коэффициент не способен изменить порядок". Когда n стремится к бесконечности, эти константы становятся несущественными.
Таблица 2-2 Временная сложность, соответствующая разному количеству операций
Число операций T(n) |
Временная сложность O(f(n)) |
|---|---|
100000 |
O(1) |
3n + 2 |
O(n) |
2n^2 + 3n + 2 |
O(n^2) |
n^3 + 10000n^2 |
O(n^3) |
2^n + 10000n^{10000} |
O(2^n) |
2.3.4 Распространенные типы
Пусть размер входных данных равен n ; распространенные типы временной сложности показаны на рисунке 2-9 (в порядке от меньшей к большей).
\begin{aligned}
O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!) \newline
\text{Постоянная} < \text{Логарифмическая} < \text{Линейная} < \text{Линейно-логарифмическая} < \text{Квадратичная} < \text{Экспоненциальная} < \text{Факториальная}
\end{aligned}
{ class="animation-figure" }
Рисунок 2-9 Распространенные типы временной сложности
1. Постоянная сложность O(1)
Число операций при постоянной сложности не зависит от размера входных данных n , то есть не изменяется вместе с изменением n .
В следующей функции, хотя число операций size может быть большим, оно не зависит от размера входных данных n , поэтому временная сложность по-прежнему равна O(1) :
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def constant(n: int) -> int:
"""Постоянная сложность"""
count = 0
size = 100000
for _ in range(size):
count += 1
return count
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* Постоянная сложность */
int constant(int n) {
int count = 0;
int size = 100000;
for (int i = 0; i < size; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* Постоянная сложность */
int constant(int n) {
int count = 0;
int size = 100000;
for (int i = 0; i < size; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* Постоянная сложность */
int Constant(int n) {
int count = 0;
int size = 100000;
for (int i = 0; i < size; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* Постоянная сложность */
func constant(n int) int {
count := 0
size := 100000
for i := 0; i < size; i++ {
count++
}
return count
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* Постоянная сложность */
func constant(n: Int) -> Int {
var count = 0
let size = 100_000
for _ in 0 ..< size {
count += 1
}
return count
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* Постоянная сложность */
function constant(n) {
let count = 0;
const size = 100000;
for (let i = 0; i < size; i++) count++;
return count;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* Постоянная сложность */
function constant(n: number): number {
let count = 0;
const size = 100000;
for (let i = 0; i < size; i++) count++;
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* Постоянная сложность */
int constant(int n) {
int count = 0;
int size = 100000;
for (var i = 0; i < size; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* Постоянная сложность */
fn constant(n: i32) -> i32 {
_ = n;
let mut count = 0;
let size = 100_000;
for _ in 0..size {
count += 1;
}
count
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* Постоянная сложность */
int constant(int n) {
int count = 0;
int size = 100000;
int i = 0;
for (int i = 0; i < size; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* Постоянная сложность */
fun constant(n: Int): Int {
var count = 0
val size = 100000
for (i in 0..<size)
count++
return count
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
=begin
File: time_complexity.rb
Created Time: 2024-03-30
Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
=end
# ## Постоянная сложность ###
def constant(n)
count = 0
size = 100000
(0...size).each { count += 1 }
count
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 459px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20constant%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20size%20%3D%2010%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28size%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20constant%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20constant%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20size%20%3D%2010%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28size%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20constant%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
2. Линейная сложность O(n)
Число операций при линейной сложности растет линейно относительно размера входных данных n . Линейная сложность обычно встречается в одноуровневых циклах:
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def linear(n: int) -> int:
"""Линейная сложность"""
count = 0
for _ in range(n):
count += 1
return count
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* Линейная сложность */
int linear(int n) {
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* Линейная сложность */
int linear(int n) {
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* Линейная сложность */
int Linear(int n) {
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* Линейная сложность */
func linear(n int) int {
count := 0
for i := 0; i < n; i++ {
count++
}
return count
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* Линейная сложность */
func linear(n: Int) -> Int {
var count = 0
for _ in 0 ..< n {
count += 1
}
return count
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* Линейная сложность */
function linear(n) {
let count = 0;
for (let i = 0; i < n; i++) count++;
return count;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* Линейная сложность */
function linear(n: number): number {
let count = 0;
for (let i = 0; i < n; i++) count++;
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* Линейная сложность */
int linear(int n) {
int count = 0;
for (var i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* Линейная сложность */
fn linear(n: i32) -> i32 {
let mut count = 0;
for _ in 0..n {
count += 1;
}
count
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* Линейная сложность */
int linear(int n) {
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* Линейная сложность */
fun linear(n: Int): Int {
var count = 0
for (i in 0..<n)
count++
return count
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
=begin
File: time_complexity.rb
Created Time: 2024-03-30
Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
=end
# ## Постоянная сложность ###
def constant(n)
count = 0
size = 100000
(0...size).each { count += 1 }
count
end
# ## Линейная сложность ###
def linear(n)
count = 0
(0...n).each { count += 1 }
count
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 441px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20linear%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20linear%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
Операции обхода массива и обхода связного списка имеют временную сложность O(n) , где n - длина массива или списка:
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def array_traversal(nums: list[int]) -> int:
"""Линейная сложность (обход массива)"""
count = 0
# Число итераций пропорционально длине массива
for num in nums:
count += 1
return count
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* Линейная сложность (обход массива) */
int arrayTraversal(vector<int> &nums) {
int count = 0;
// Число итераций пропорционально длине массива
for (int num : nums) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* Линейная сложность (обход массива) */
int arrayTraversal(int[] nums) {
int count = 0;
// Число итераций пропорционально длине массива
for (int num : nums) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* Линейная сложность (обход массива) */
int ArrayTraversal(int[] nums) {
int count = 0;
// Число итераций пропорционально длине массива
foreach (int num in nums) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* Линейная сложность (обход массива) */
func arrayTraversal(nums []int) int {
count := 0
// Число итераций пропорционально длине массива
for range nums {
count++
}
return count
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* Линейная сложность (обход массива) */
func arrayTraversal(nums: [Int]) -> Int {
var count = 0
// Число итераций пропорционально длине массива
for _ in nums {
count += 1
}
return count
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* Линейная сложность (обход массива) */
function arrayTraversal(nums) {
let count = 0;
// Число итераций пропорционально длине массива
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* Линейная сложность (обход массива) */
function arrayTraversal(nums: number[]): number {
let count = 0;
// Число итераций пропорционально длине массива
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* Линейная сложность (обход массива) */
int arrayTraversal(List<int> nums) {
int count = 0;
// Число итераций пропорционально длине массива
for (var _num in nums) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* Линейная сложность (обход массива) */
fn array_traversal(nums: &[i32]) -> i32 {
let mut count = 0;
// Число итераций пропорционально длине массива
for _ in nums {
count += 1;
}
count
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* Линейная сложность (обход массива) */
int arrayTraversal(int *nums, int n) {
int count = 0;
// Число итераций пропорционально длине массива
for (int i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* Линейная сложность (обход массива) */
fun arrayTraversal(nums: IntArray): Int {
var count = 0
// Число итераций пропорционально длине массива
for (num in nums) {
count++
}
return count
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
=begin
File: time_complexity.rb
Created Time: 2024-03-30
Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
=end
# ## Постоянная сложность ###
def constant(n)
count = 0
size = 100000
(0...size).each { count += 1 }
count
end
# ## Линейная сложность ###
def linear(n)
count = 0
(0...n).each { count += 1 }
count
end
# ## Линейная сложность (обход массива) ###
def array_traversal(nums)
count = 0
# Число итераций пропорционально длине массива
for num in nums
count += 1
end
count
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 459px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20array_traversal%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%28%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0%29%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%20%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0%0A%20%20%20%20for%20num%20in%20nums%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20array_traversal%28%5B0%5D%20%2A%20n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%28%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0%29%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20array_traversal%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%28%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0%29%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%20%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0%0A%20%20%20%20for%20num%20in%20nums%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20array_traversal%28%5B0%5D%20%2A%20n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%28%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0%29%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
Стоит отметить, что размер входных данных n нужно определять конкретно в зависимости от типа входа. Например, в первом примере переменная n сама является размером входных данных; во втором примере размером данных служит длина массива n .
3. Квадратичная сложность O(n^2)
Число операций при квадратичной сложности растет квадратично относительно размера входных данных n . Квадратичная сложность обычно встречается во вложенных циклах: временная сложность внешнего и внутреннего циклов равна O(n) , поэтому общая временная сложность составляет O(n^2) :
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def quadratic(n: int) -> int:
"""Квадратичная сложность"""
count = 0
# Число итераций квадратично зависит от размера данных n
for i in range(n):
for j in range(n):
count += 1
return count
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* Квадратичная сложность */
int quadratic(int n) {
int count = 0;
// Число итераций квадратично зависит от размера данных n
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* Квадратичная сложность */
int quadratic(int n) {
int count = 0;
// Число итераций квадратично зависит от размера данных n
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* Квадратичная сложность */
int Quadratic(int n) {
int count = 0;
// Число итераций квадратично зависит от размера данных n
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* Квадратичная сложность */
func quadratic(n int) int {
count := 0
// Число итераций квадратично зависит от размера данных n
for i := 0; i < n; i++ {
for j := 0; j < n; j++ {
count++
}
}
return count
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* Квадратичная сложность */
func quadratic(n: Int) -> Int {
var count = 0
// Число итераций квадратично зависит от размера данных n
for _ in 0 ..< n {
for _ in 0 ..< n {
count += 1
}
}
return count
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* Квадратичная сложность */
function quadratic(n) {
let count = 0;
// Число итераций квадратично зависит от размера данных n
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* Квадратичная сложность */
function quadratic(n: number): number {
let count = 0;
// Число итераций квадратично зависит от размера данных n
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* Квадратичная сложность */
int quadratic(int n) {
int count = 0;
// Число итераций квадратично зависит от размера данных n
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* Квадратичная сложность */
fn quadratic(n: i32) -> i32 {
let mut count = 0;
// Число итераций квадратично зависит от размера данных n
for _ in 0..n {
for _ in 0..n {
count += 1;
}
}
count
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* Квадратичная сложность */
int quadratic(int n) {
int count = 0;
// Число итераций квадратично зависит от размера данных n
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* Квадратичная сложность */
fun quadratic(n: Int): Int {
var count = 0
// Число итераций квадратично зависит от размера данных n
for (i in 0..<n) {
for (j in 0..<n) {
count++
}
}
return count
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
=begin
File: time_complexity.rb
Created Time: 2024-03-30
Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
=end
# ## Постоянная сложность ###
def constant(n)
count = 0
size = 100000
(0...size).each { count += 1 }
count
end
# ## Линейная сложность ###
def linear(n)
count = 0
(0...n).each { count += 1 }
count
end
# ## Линейная сложность (обход массива) ###
def array_traversal(nums)
count = 0
# Число итераций пропорционально длине массива
for num in nums
count += 1
end
count
end
# ## Квадратичная сложность ###
def quadratic(n)
count = 0
# Число итераций квадратично зависит от размера данных n
for i in 0...n
for j in 0...n
count += 1
end
end
count
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 477px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20quadratic%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%20%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D1%82%20%D0%BE%D1%82%20%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B0%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20quadratic%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20quadratic%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%20%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D1%82%20%D0%BE%D1%82%20%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B0%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20quadratic%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
На рисунке 2-10 сравниваются три временные сложности: постоянная, линейная и квадратичная.
{ class="animation-figure" }
Рисунок 2-10 Постоянная, линейная и квадратичная временная сложность
Возьмем в качестве примера пузырьковую сортировку: внешний цикл выполняется n - 1 раз, внутренний цикл выполняется n-1 , n-2 , \dots , 2 , 1 раз, в среднем это n / 2 раз, поэтому временная сложность равна O((n - 1) n / 2) = O(n^2) :
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def bubble_sort(nums: list[int]) -> int:
"""Квадратичная сложность (пузырьковая сортировка)"""
count = 0 # Счетчик
# Внешний цикл: неотсортированный диапазон [0, i]
for i in range(len(nums) - 1, 0, -1):
# Внутренний цикл: переместить максимальный элемент неотсортированного диапазона [0, i] в его правый конец
for j in range(i):
if nums[j] > nums[j + 1]:
# Поменять местами nums[j] и nums[j + 1]
tmp: int = nums[j]
nums[j] = nums[j + 1]
nums[j + 1] = tmp
count += 3 # Обмен элементов включает 3 элементарные операции
return count
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* Квадратичная сложность (пузырьковая сортировка) */
int bubbleSort(vector<int> &nums) {
int count = 0; // Счетчик
// Внешний цикл: неотсортированный диапазон [0, i]
for (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) {
// Внутренний цикл: переместить максимальный элемент неотсортированного диапазона [0, i] в его правый конец
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// Поменять местами nums[j] и nums[j + 1]
int tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // Обмен элементов включает 3 элементарные операции
}
}
}
return count;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* Квадратичная сложность (пузырьковая сортировка) */
int bubbleSort(int[] nums) {
int count = 0; // Счетчик
// Внешний цикл: неотсортированный диапазон [0, i]
for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
// Внутренний цикл: переместить максимальный элемент неотсортированного диапазона [0, i] в его правый конец
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// Поменять местами nums[j] и nums[j + 1]
int tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // Обмен элементов включает 3 элементарные операции
}
}
}
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* Квадратичная сложность (пузырьковая сортировка) */
int BubbleSort(int[] nums) {
int count = 0; // Счетчик
// Внешний цикл: неотсортированный диапазон [0, i]
for (int i = nums.Length - 1; i > 0; i--) {
// Внутренний цикл: переместить максимальный элемент неотсортированного диапазона [0, i] в его правый конец
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// Поменять местами nums[j] и nums[j + 1]
(nums[j + 1], nums[j]) = (nums[j], nums[j + 1]);
count += 3; // Обмен элементов включает 3 элементарные операции
}
}
}
return count;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* Квадратичная сложность (пузырьковая сортировка) */
func bubbleSort(nums []int) int {
count := 0 // Счетчик
// Внешний цикл: неотсортированный диапазон [0, i]
for i := len(nums) - 1; i > 0; i-- {
// Внутренний цикл: переместить максимальный элемент неотсортированного диапазона [0, i] в его правый конец
for j := 0; j < i; j++ {
if nums[j] > nums[j+1] {
// Поменять местами nums[j] и nums[j + 1]
tmp := nums[j]
nums[j] = nums[j+1]
nums[j+1] = tmp
count += 3 // Обмен элементов включает 3 элементарные операции
}
}
}
return count
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* Квадратичная сложность (пузырьковая сортировка) */
func bubbleSort(nums: inout [Int]) -> Int {
var count = 0 // Счетчик
// Внешний цикл: неотсортированный диапазон [0, i]
for i in nums.indices.dropFirst().reversed() {
// Внутренний цикл: переместить максимальный элемент неотсортированного диапазона [0, i] в его правый конец
for j in 0 ..< i {
if nums[j] > nums[j + 1] {
// Поменять местами nums[j] и nums[j + 1]
let tmp = nums[j]
nums[j] = nums[j + 1]
nums[j + 1] = tmp
count += 3 // Обмен элементов включает 3 элементарные операции
}
}
}
return count
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* Квадратичная сложность (пузырьковая сортировка) */
function bubbleSort(nums) {
let count = 0; // Счетчик
// Внешний цикл: неотсортированный диапазон [0, i]
for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
// Внутренний цикл: переместить максимальный элемент неотсортированного диапазона [0, i] в его правый конец
for (let j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// Поменять местами nums[j] и nums[j + 1]
let tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // Обмен элементов включает 3 элементарные операции
}
}
}
return count;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* Квадратичная сложность (пузырьковая сортировка) */
function bubbleSort(nums: number[]): number {
let count = 0; // Счетчик
// Внешний цикл: неотсортированный диапазон [0, i]
for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
// Внутренний цикл: переместить максимальный элемент неотсортированного диапазона [0, i] в его правый конец
for (let j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// Поменять местами nums[j] и nums[j + 1]
let tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // Обмен элементов включает 3 элементарные операции
}
}
}
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* Квадратичная сложность (пузырьковая сортировка) */
int bubbleSort(List<int> nums) {
int count = 0; // Счетчик
// Внешний цикл: неотсортированный диапазон [0, i]
for (var i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
// Внутренний цикл: переместить максимальный элемент неотсортированного диапазона [0, i] в его правый конец
for (var j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// Поменять местами nums[j] и nums[j + 1]
int tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // Обмен элементов включает 3 элементарные операции
}
}
}
return count;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* Квадратичная сложность (пузырьковая сортировка) */
fn bubble_sort(nums: &mut [i32]) -> i32 {
let mut count = 0; // Счетчик
// Внешний цикл: неотсортированный диапазон [0, i]
for i in (1..nums.len()).rev() {
// Внутренний цикл: переместить максимальный элемент неотсортированного диапазона [0, i] в его правый конец
for j in 0..i {
if nums[j] > nums[j + 1] {
// Поменять местами nums[j] и nums[j + 1]
let tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // Обмен элементов включает 3 элементарные операции
}
}
}
count
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* Квадратичная сложность (пузырьковая сортировка) */
int bubbleSort(int *nums, int n) {
int count = 0; // Счетчик
// Внешний цикл: неотсортированный диапазон [0, i]
for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
// Внутренний цикл: переместить максимальный элемент неотсортированного диапазона [0, i] в его правый конец
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// Поменять местами nums[j] и nums[j + 1]
int tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // Обмен элементов включает 3 элементарные операции
}
}
}
return count;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* Квадратичная сложность (пузырьковая сортировка) */
fun bubbleSort(nums: IntArray): Int {
var count = 0 // Счетчик
// Внешний цикл: неотсортированный диапазон [0, i]
for (i in nums.size - 1 downTo 1) {
// Внутренний цикл: переместить максимальный элемент неотсортированного диапазона [0, i] в его правый конец
for (j in 0..<i) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// Поменять местами nums[j] и nums[j + 1]
val temp = nums[j]
nums[j] = nums[j + 1]
nums[j + 1] = temp
count += 3 // Обмен элементов включает 3 элементарные операции
}
}
}
return count
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
=begin
File: time_complexity.rb
Created Time: 2024-03-30
Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
=end
# ## Постоянная сложность ###
def constant(n)
count = 0
size = 100000
(0...size).each { count += 1 }
count
end
# ## Линейная сложность ###
def linear(n)
count = 0
(0...n).each { count += 1 }
count
end
# ## Линейная сложность (обход массива) ###
def array_traversal(nums)
count = 0
# Число итераций пропорционально длине массива
for num in nums
count += 1
end
count
end
# ## Квадратичная сложность ###
def quadratic(n)
count = 0
# Число итераций квадратично зависит от размера данных n
for i in 0...n
for j in 0...n
count += 1
end
end
count
end
# ## Квадратичная сложность (пузырьковая сортировка) ###
def bubble_sort(nums)
count = 0 # Счетчик
# Внешний цикл: неотсортированный диапазон [0, i]
for i in (nums.length - 1).downto(0)
# Внутренний цикл: переместить максимальный элемент неотсортированного диапазона [0, i] в его правый конец
for j in 0...i
if nums[j] > nums[j + 1]
# Поменять местами nums[j] и nums[j + 1]
tmp = nums[j]
nums[j] = nums[j + 1]
nums[j + 1] = tmp
count += 3 # Обмен элементов включает 3 элементарные операции
end
end
end
count
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20bubble_sort%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%28%D0%BF%D1%83%D0%B7%D1%8B%D1%80%D1%8C%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0%29%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%20%20%23%20%D0%A1%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%87%D0%B8%D0%BA%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D0%BD%D0%B5%D1%88%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%3A%20%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%82%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%B4%D0%B8%D0%B0%D0%BF%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%BD%20%5B0%2C%20i%5D%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28len%28nums%29%20-%201%2C%200%2C%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%3A%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%20%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%82%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%B4%D0%B8%D0%B0%D0%BF%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%BD%D0%B0%20%5B0%2C%20i%5D%20%D0%B2%20%D0%B5%D0%B3%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D1%8B%D0%B9%20%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%86%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%28i%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bj%5D%20%3E%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%20%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BC%D0%B8%20nums%5Bj%5D%20%D0%B8%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tmp%20%3D%20nums%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bj%5D%20%3D%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%20%3D%20tmp%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%203%20%20%23%20%D0%9E%D0%B1%D0%BC%D0%B5%D0%BD%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%20%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%8E%D1%87%D0%B0%D0%B5%D1%82%203%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5Bi%20for%20i%20in%20range%28n%2C%200%2C%20-1%29%5D%20%20%23%20%5Bn%2C%20n-1%2C%20...%2C%202%2C%201%5D%0A%20%20%20%20count%20%3D%20bubble_sort%28nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%28%D0%BF%D1%83%D0%B7%D1%8B%D1%80%D1%8C%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0%29%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20bubble_sort%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%28%D0%BF%D1%83%D0%B7%D1%8B%D1%80%D1%8C%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0%29%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%20%20%23%20%D0%A1%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%87%D0%B8%D0%BA%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D0%BD%D0%B5%D1%88%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%3A%20%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%82%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%B4%D0%B8%D0%B0%D0%BF%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%BD%20%5B0%2C%20i%5D%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28len%28nums%29%20-%201%2C%200%2C%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%3A%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%20%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%82%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%B4%D0%B8%D0%B0%D0%BF%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%BD%D0%B0%20%5B0%2C%20i%5D%20%D0%B2%20%D0%B5%D0%B3%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D1%8B%D0%B9%20%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%86%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%28i%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bj%5D%20%3E%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%20%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BC%D0%B8%20nums%5Bj%5D%20%D0%B8%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tmp%20%3D%20nums%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bj%5D%20%3D%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%20%3D%20tmp%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%203%20%20%23%20%D0%9E%D0%B1%D0%BC%D0%B5%D0%BD%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%20%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%8E%D1%87%D0%B0%D0%B5%D1%82%203%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5Bi%20for%20i%20in%20range%28n%2C%200%2C%20-1%29%5D%20%20%23%20%5Bn%2C%20n-1%2C%20...%2C%202%2C%201%5D%0A%20%20%20%20count%20%3D%20bubble_sort%28nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%28%D0%BF%D1%83%D0%B7%D1%8B%D1%80%D1%8C%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0%29%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
4. Экспоненциальная сложность O(2^n)
Типичный пример экспоненциального роста в биологии - "деление клеток": в начальном состоянии есть 1 клетка, после одного деления их становится 2, после двух делений - 4 и так далее; после n раундов деления клеток становится 2^n .
На рисунке 2-11 и в следующем коде моделируется процесс деления клеток; временная сложность равна O(2^n) . Обрати внимание, что входное значение n обозначает число раундов деления, а возвращаемое значение count обозначает общее число делений.
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def exponential(n: int) -> int:
"""Экспоненциальная сложность (итеративная реализация)"""
count = 0
base = 1
# На каждом шаге клетка делится надвое, образуя последовательность 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for _ in range(n):
for _ in range(base):
count += 1
base *= 2
# count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* Экспоненциальная сложность (итеративная реализация) */
int exponential(int n) {
int count = 0, base = 1;
// На каждом шаге клетка делится надвое, образуя последовательность 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < base; j++) {
count++;
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* Экспоненциальная сложность (итеративная реализация) */
int exponential(int n) {
int count = 0, base = 1;
// На каждом шаге клетка делится надвое, образуя последовательность 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < base; j++) {
count++;
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* Экспоненциальная сложность (итеративная реализация) */
int Exponential(int n) {
int count = 0, bas = 1;
// На каждом шаге клетка делится надвое, образуя последовательность 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < bas; j++) {
count++;
}
bas *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* Экспоненциальная сложность (итеративная реализация) */
func exponential(n int) int {
count, base := 0, 1
// На каждом шаге клетка делится надвое, образуя последовательность 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for i := 0; i < n; i++ {
for j := 0; j < base; j++ {
count++
}
base *= 2
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* Экспоненциальная сложность (итеративная реализация) */
func exponential(n: Int) -> Int {
var count = 0
var base = 1
// На каждом шаге клетка делится надвое, образуя последовательность 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for _ in 0 ..< n {
for _ in 0 ..< base {
count += 1
}
base *= 2
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* Экспоненциальная сложность (итеративная реализация) */
function exponential(n) {
let count = 0,
base = 1;
// На каждом шаге клетка делится надвое, образуя последовательность 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = 0; j < base; j++) {
count++;
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* Экспоненциальная сложность (итеративная реализация) */
function exponential(n: number): number {
let count = 0,
base = 1;
// На каждом шаге клетка делится надвое, образуя последовательность 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = 0; j < base; j++) {
count++;
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* Экспоненциальная сложность (итеративная реализация) */
int exponential(int n) {
int count = 0, base = 1;
// На каждом шаге клетка делится надвое, образуя последовательность 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (var i = 0; i < n; i++) {
for (var j = 0; j < base; j++) {
count++;
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* Экспоненциальная сложность (итеративная реализация) */
fn exponential(n: i32) -> i32 {
let mut count = 0;
let mut base = 1;
// На каждом шаге клетка делится надвое, образуя последовательность 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for _ in 0..n {
for _ in 0..base {
count += 1
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
count
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* Экспоненциальная сложность (итеративная реализация) */
int exponential(int n) {
int count = 0;
int bas = 1;
// На каждом шаге клетка делится надвое, образуя последовательность 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < bas; j++) {
count++;
}
bas *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* Экспоненциальная сложность (итеративная реализация) */
fun exponential(n: Int): Int {
var count = 0
var base = 1
// На каждом шаге клетка делится надвое, образуя последовательность 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (i in 0..<n) {
for (j in 0..<base) {
count++
}
base *= 2
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
=begin
File: time_complexity.rb
Created Time: 2024-03-30
Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
=end
# ## Постоянная сложность ###
def constant(n)
count = 0
size = 100000
(0...size).each { count += 1 }
count
end
# ## Линейная сложность ###
def linear(n)
count = 0
(0...n).each { count += 1 }
count
end
# ## Линейная сложность (обход массива) ###
def array_traversal(nums)
count = 0
# Число итераций пропорционально длине массива
for num in nums
count += 1
end
count
end
# ## Квадратичная сложность ###
def quadratic(n)
count = 0
# Число итераций квадратично зависит от размера данных n
for i in 0...n
for j in 0...n
count += 1
end
end
count
end
# ## Квадратичная сложность (пузырьковая сортировка) ###
def bubble_sort(nums)
count = 0 # Счетчик
# Внешний цикл: неотсортированный диапазон [0, i]
for i in (nums.length - 1).downto(0)
# Внутренний цикл: переместить максимальный элемент неотсортированного диапазона [0, i] в его правый конец
for j in 0...i
if nums[j] > nums[j + 1]
# Поменять местами nums[j] и nums[j + 1]
tmp = nums[j]
nums[j] = nums[j + 1]
nums[j + 1] = tmp
count += 3 # Обмен элементов включает 3 элементарные операции
end
end
end
count
end
# ## Экспоненциальная сложность (итеративная реализация) ###
def exponential(n)
count, base = 0, 1
# На каждом шаге клетка делится надвое, образуя последовательность 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
(0...n).each do
(0...base).each { count += 1 }
base *= 2
end
# count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
count
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 531px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20exponential%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%28%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20base%20%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9D%D0%B0%20%D0%BA%D0%B0%D0%B6%D0%B4%D0%BE%D0%BC%20%D1%88%D0%B0%D0%B3%D0%B5%20%D0%BA%D0%BB%D0%B5%D1%82%D0%BA%D0%B0%20%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%81%D1%8F%20%D0%BD%D0%B0%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B5%2C%20%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%83%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%201%2C%202%2C%204%2C%208%2C%20...%2C%202%5E%28n-1%29%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28base%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20base%20%2A%3D%202%0A%20%20%20%20%23%20count%20%3D%201%20%2B%202%20%2B%204%20%2B%208%20%2B%20..%20%2B%202%5E%28n-1%29%20%3D%202%5En%20-%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20exponential%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D1%8D%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%28%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20exponential%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%28%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20base%20%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9D%D0%B0%20%D0%BA%D0%B0%D0%B6%D0%B4%D0%BE%D0%BC%20%D1%88%D0%B0%D0%B3%D0%B5%20%D0%BA%D0%BB%D0%B5%D1%82%D0%BA%D0%B0%20%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%81%D1%8F%20%D0%BD%D0%B0%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B5%2C%20%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%83%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%201%2C%202%2C%204%2C%208%2C%20...%2C%202%5E%28n-1%29%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28base%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20base%20%2A%3D%202%0A%20%20%20%20%23%20count%20%3D%201%20%2B%202%20%2B%204%20%2B%208%20%2B%20..%20%2B%202%5E%28n-1%29%20%3D%202%5En%20-%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20exponential%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D1%8D%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%28%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
{ class="animation-figure" }
Рисунок 2-11 Экспоненциальная временная сложность
В реальных алгоритмах экспоненциальная сложность также часто встречается в рекурсивных функциях. Например, в следующем коде процесс рекурсивно делится надвое и останавливается после n разбиений:
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def exp_recur(n: int) -> int:
"""Экспоненциальная сложность (рекурсивная реализация)"""
if n == 1:
return 1
return exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* Экспоненциальная сложность (рекурсивная реализация) */
int expRecur(int n) {
if (n == 1)
return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* Экспоненциальная сложность (рекурсивная реализация) */
int expRecur(int n) {
if (n == 1)
return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* Экспоненциальная сложность (рекурсивная реализация) */
int ExpRecur(int n) {
if (n == 1) return 1;
return ExpRecur(n - 1) + ExpRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* Экспоненциальная сложность (рекурсивная реализация) */
func expRecur(n int) int {
if n == 1 {
return 1
}
return expRecur(n-1) + expRecur(n-1) + 1
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* Экспоненциальная сложность (рекурсивная реализация) */
func expRecur(n: Int) -> Int {
if n == 1 {
return 1
}
return expRecur(n: n - 1) + expRecur(n: n - 1) + 1
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* Экспоненциальная сложность (рекурсивная реализация) */
function expRecur(n) {
if (n === 1) return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* Экспоненциальная сложность (рекурсивная реализация) */
function expRecur(n: number): number {
if (n === 1) return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* Экспоненциальная сложность (рекурсивная реализация) */
int expRecur(int n) {
if (n == 1) return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* Экспоненциальная сложность (рекурсивная реализация) */
fn exp_recur(n: i32) -> i32 {
if n == 1 {
return 1;
}
exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* Экспоненциальная сложность (рекурсивная реализация) */
int expRecur(int n) {
if (n == 1)
return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* Экспоненциальная сложность (рекурсивная реализация) */
fun expRecur(n: Int): Int {
if (n == 1) {
return 1
}
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
=begin
File: time_complexity.rb
Created Time: 2024-03-30
Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
=end
# ## Постоянная сложность ###
def constant(n)
count = 0
size = 100000
(0...size).each { count += 1 }
count
end
# ## Линейная сложность ###
def linear(n)
count = 0
(0...n).each { count += 1 }
count
end
# ## Линейная сложность (обход массива) ###
def array_traversal(nums)
count = 0
# Число итераций пропорционально длине массива
for num in nums
count += 1
end
count
end
# ## Квадратичная сложность ###
def quadratic(n)
count = 0
# Число итераций квадратично зависит от размера данных n
for i in 0...n
for j in 0...n
count += 1
end
end
count
end
# ## Квадратичная сложность (пузырьковая сортировка) ###
def bubble_sort(nums)
count = 0 # Счетчик
# Внешний цикл: неотсортированный диапазон [0, i]
for i in (nums.length - 1).downto(0)
# Внутренний цикл: переместить максимальный элемент неотсортированного диапазона [0, i] в его правый конец
for j in 0...i
if nums[j] > nums[j + 1]
# Поменять местами nums[j] и nums[j + 1]
tmp = nums[j]
nums[j] = nums[j + 1]
nums[j + 1] = tmp
count += 3 # Обмен элементов включает 3 элементарные операции
end
end
end
count
end
# ## Экспоненциальная сложность (итеративная реализация) ###
def exponential(n)
count, base = 0, 1
# На каждом шаге клетка делится надвое, образуя последовательность 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
(0...n).each do
(0...base).each { count += 1 }
base *= 2
end
# count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
count
end
# ## Экспоненциальная сложность (рекурсивная реализация) ###
def exp_recur(n)
return 1 if n == 1
exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 423px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20exp_recur%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%28%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20return%20exp_recur%28n%20-%201%29%20%2B%20exp_recur%28n%20-%201%29%20%2B%201%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%207%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20exp_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D1%8D%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%28%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20exp_recur%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%28%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20return%20exp_recur%28n%20-%201%29%20%2B%20exp_recur%28n%20-%201%29%20%2B%201%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%207%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20exp_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D1%8D%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%28%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
Экспоненциальный рост происходит очень быстро и часто встречается в переборных методах (грубая сила, backtracking и т.д.). Для задач большого масштаба экспоненциальная сложность неприемлема, и обычно приходится применять динамическое программирование, жадные алгоритмы и другие подходы.
5. Логарифмическая сложность O(\log n)
В противоположность экспоненциальной, логарифмическая сложность описывает ситуацию "каждый раунд уменьшение вдвое". Пусть размер входных данных равен n ; так как на каждом шаге размер уменьшается вдвое, число итераций равно \log_2 n , то есть является обратной функцией к 2^n .
На рисунке 2-12 и в следующем коде моделируется процесс "каждый раунд уменьшение вдвое"; временная сложность равна O(\log_2 n) и кратко записывается как O(\log n) :
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def logarithmic(n: int) -> int:
"""Логарифмическая сложность (итеративная реализация)"""
count = 0
while n > 1:
n = n / 2
count += 1
return count
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* Логарифмическая сложность (итеративная реализация) */
int logarithmic(int n) {
int count = 0;
while (n > 1) {
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* Логарифмическая сложность (итеративная реализация) */
int logarithmic(int n) {
int count = 0;
while (n > 1) {
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* Логарифмическая сложность (итеративная реализация) */
int Logarithmic(int n) {
int count = 0;
while (n > 1) {
n /= 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* Логарифмическая сложность (итеративная реализация) */
func logarithmic(n int) int {
count := 0
for n > 1 {
n = n / 2
count++
}
return count
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* Логарифмическая сложность (итеративная реализация) */
func logarithmic(n: Int) -> Int {
var count = 0
var n = n
while n > 1 {
n = n / 2
count += 1
}
return count
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* Логарифмическая сложность (итеративная реализация) */
function logarithmic(n) {
let count = 0;
while (n > 1) {
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* Логарифмическая сложность (итеративная реализация) */
function logarithmic(n: number): number {
let count = 0;
while (n > 1) {
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* Логарифмическая сложность (итеративная реализация) */
int logarithmic(int n) {
int count = 0;
while (n > 1) {
n = n ~/ 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* Логарифмическая сложность (итеративная реализация) */
fn logarithmic(mut n: i32) -> i32 {
let mut count = 0;
while n > 1 {
n = n / 2;
count += 1;
}
count
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* Логарифмическая сложность (итеративная реализация) */
int logarithmic(int n) {
int count = 0;
while (n > 1) {
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* Логарифмическая сложность (итеративная реализация) */
fun logarithmic(n: Int): Int {
var n1 = n
var count = 0
while (n1 > 1) {
n1 /= 2
count++
}
return count
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
=begin
File: time_complexity.rb
Created Time: 2024-03-30
Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
=end
# ## Постоянная сложность ###
def constant(n)
count = 0
size = 100000
(0...size).each { count += 1 }
count
end
# ## Линейная сложность ###
def linear(n)
count = 0
(0...n).each { count += 1 }
count
end
# ## Линейная сложность (обход массива) ###
def array_traversal(nums)
count = 0
# Число итераций пропорционально длине массива
for num in nums
count += 1
end
count
end
# ## Квадратичная сложность ###
def quadratic(n)
count = 0
# Число итераций квадратично зависит от размера данных n
for i in 0...n
for j in 0...n
count += 1
end
end
count
end
# ## Квадратичная сложность (пузырьковая сортировка) ###
def bubble_sort(nums)
count = 0 # Счетчик
# Внешний цикл: неотсортированный диапазон [0, i]
for i in (nums.length - 1).downto(0)
# Внутренний цикл: переместить максимальный элемент неотсортированного диапазона [0, i] в его правый конец
for j in 0...i
if nums[j] > nums[j + 1]
# Поменять местами nums[j] и nums[j + 1]
tmp = nums[j]
nums[j] = nums[j + 1]
nums[j + 1] = tmp
count += 3 # Обмен элементов включает 3 элементарные операции
end
end
end
count
end
# ## Экспоненциальная сложность (итеративная реализация) ###
def exponential(n)
count, base = 0, 1
# На каждом шаге клетка делится надвое, образуя последовательность 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
(0...n).each do
(0...base).each { count += 1 }
base *= 2
end
# count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
count
end
# ## Экспоненциальная сложность (рекурсивная реализация) ###
def exp_recur(n)
return 1 if n == 1
exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1
end
# ## Логарифмическая сложность (итеративная реализация) ###
def logarithmic(n)
count = 0
while n > 1
n /= 2
count += 1
end
count
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 459px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20logarithmic%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%28%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20while%20n%20%3E%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n%20%3D%20n%20%2F%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20logarithmic%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%28%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20logarithmic%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%28%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20while%20n%20%3E%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n%20%3D%20n%20%2F%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20logarithmic%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%28%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
{ class="animation-figure" }
Рисунок 2-12 Логарифмическая временная сложность
Подобно экспоненциальной сложности, логарифмическая также часто встречается в рекурсивных функциях. Следующий код формирует рекурсивное дерево высотой \log_2 n :
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def log_recur(n: int) -> int:
"""Логарифмическая сложность (рекурсивная реализация)"""
if n <= 1:
return 0
return log_recur(n / 2) + 1
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* Логарифмическая сложность (рекурсивная реализация) */
int logRecur(int n) {
if (n <= 1)
return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* Логарифмическая сложность (рекурсивная реализация) */
int logRecur(int n) {
if (n <= 1)
return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* Логарифмическая сложность (рекурсивная реализация) */
int LogRecur(int n) {
if (n <= 1) return 0;
return LogRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* Логарифмическая сложность (рекурсивная реализация) */
func logRecur(n int) int {
if n <= 1 {
return 0
}
return logRecur(n/2) + 1
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* Логарифмическая сложность (рекурсивная реализация) */
func logRecur(n: Int) -> Int {
if n <= 1 {
return 0
}
return logRecur(n: n / 2) + 1
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* Логарифмическая сложность (рекурсивная реализация) */
function logRecur(n) {
if (n <= 1) return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* Логарифмическая сложность (рекурсивная реализация) */
function logRecur(n: number): number {
if (n <= 1) return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* Логарифмическая сложность (рекурсивная реализация) */
int logRecur(int n) {
if (n <= 1) return 0;
return logRecur(n ~/ 2) + 1;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* Логарифмическая сложность (рекурсивная реализация) */
fn log_recur(n: i32) -> i32 {
if n <= 1 {
return 0;
}
log_recur(n / 2) + 1
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* Логарифмическая сложность (рекурсивная реализация) */
int logRecur(int n) {
if (n <= 1)
return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* Логарифмическая сложность (рекурсивная реализация) */
fun logRecur(n: Int): Int {
if (n <= 1)
return 0
return logRecur(n / 2) + 1
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
=begin
File: time_complexity.rb
Created Time: 2024-03-30
Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
=end
# ## Постоянная сложность ###
def constant(n)
count = 0
size = 100000
(0...size).each { count += 1 }
count
end
# ## Линейная сложность ###
def linear(n)
count = 0
(0...n).each { count += 1 }
count
end
# ## Линейная сложность (обход массива) ###
def array_traversal(nums)
count = 0
# Число итераций пропорционально длине массива
for num in nums
count += 1
end
count
end
# ## Квадратичная сложность ###
def quadratic(n)
count = 0
# Число итераций квадратично зависит от размера данных n
for i in 0...n
for j in 0...n
count += 1
end
end
count
end
# ## Квадратичная сложность (пузырьковая сортировка) ###
def bubble_sort(nums)
count = 0 # Счетчик
# Внешний цикл: неотсортированный диапазон [0, i]
for i in (nums.length - 1).downto(0)
# Внутренний цикл: переместить максимальный элемент неотсортированного диапазона [0, i] в его правый конец
for j in 0...i
if nums[j] > nums[j + 1]
# Поменять местами nums[j] и nums[j + 1]
tmp = nums[j]
nums[j] = nums[j + 1]
nums[j + 1] = tmp
count += 3 # Обмен элементов включает 3 элементарные операции
end
end
end
count
end
# ## Экспоненциальная сложность (итеративная реализация) ###
def exponential(n)
count, base = 0, 1
# На каждом шаге клетка делится надвое, образуя последовательность 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
(0...n).each do
(0...base).each { count += 1 }
base *= 2
end
# count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
count
end
# ## Экспоненциальная сложность (рекурсивная реализация) ###
def exp_recur(n)
return 1 if n == 1
exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1
end
# ## Логарифмическая сложность (итеративная реализация) ###
def logarithmic(n)
count = 0
while n > 1
n /= 2
count += 1
end
count
end
# ## Логарифмическая сложность (рекурсивная реализация) ###
def log_recur(n)
return 0 unless n > 1
log_recur(n / 2) + 1
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 423px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20log_recur%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%28%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3C%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20return%20log_recur%28n%20%2F%202%29%20%2B%201%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20log_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%28%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20log_recur%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%28%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3C%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20return%20log_recur%28n%20%2F%202%29%20%2B%201%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20log_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%28%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
Логарифмическая сложность часто встречается в алгоритмах, основанных на стратегии "разделяй и властвуй", и отражает идеи "разделить одно на много" и "упростить сложное". Она растет медленно и является идеальной временной сложностью, уступающей только постоянной.
!!! tip "Каково основание у O(\log n) ?"
Точнее говоря, "разделение на $m$ частей" соответствует временной сложности $O(\log_m n)$ . А по формуле перехода к другому основанию логарифма мы получаем равные по сложности выражения с разными основаниями:
$$
O(\log_m n) = O(\log_k n / \log_k m) = O(\log_k n)
$$
Иными словами, основание $m$ можно менять без влияния на сложность. Поэтому мы обычно опускаем основание $m$ и напрямую записываем логарифмическую сложность как $O(\log n)$ .
6. Линейно-логарифмическая сложность O(n \log n)
Линейно-логарифмическая сложность часто встречается во вложенных циклах, когда временная сложность двух уровней соответственно равна O(\log n) и O(n) . Соответствующий код выглядит следующим образом:
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def linear_log_recur(n: int) -> int:
"""Линейно-логарифмическая сложность"""
if n <= 1:
return 1
# Разделение надвое: размер подзадачи уменьшается вдвое
count = linear_log_recur(n // 2) + linear_log_recur(n // 2)
# Текущая подзадача содержит n операций
for _ in range(n):
count += 1
return count
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* Линейно-логарифмическая сложность */
int linearLogRecur(int n) {
if (n <= 1)
return 1;
int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
for (int i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* Линейно-логарифмическая сложность */
int linearLogRecur(int n) {
if (n <= 1)
return 1;
int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
for (int i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* Линейно-логарифмическая сложность */
int LinearLogRecur(int n) {
if (n <= 1) return 1;
int count = LinearLogRecur(n / 2) + LinearLogRecur(n / 2);
for (int i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* Линейно-логарифмическая сложность */
func linearLogRecur(n int) int {
if n <= 1 {
return 1
}
count := linearLogRecur(n/2) + linearLogRecur(n/2)
for i := 0; i < n; i++ {
count++
}
return count
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* Линейно-логарифмическая сложность */
func linearLogRecur(n: Int) -> Int {
if n <= 1 {
return 1
}
var count = linearLogRecur(n: n / 2) + linearLogRecur(n: n / 2)
for _ in stride(from: 0, to: n, by: 1) {
count += 1
}
return count
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* Линейно-логарифмическая сложность */
function linearLogRecur(n) {
if (n <= 1) return 1;
let count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
for (let i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* Линейно-логарифмическая сложность */
function linearLogRecur(n: number): number {
if (n <= 1) return 1;
let count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
for (let i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* Линейно-логарифмическая сложность */
int linearLogRecur(int n) {
if (n <= 1) return 1;
int count = linearLogRecur(n ~/ 2) + linearLogRecur(n ~/ 2);
for (var i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* Линейно-логарифмическая сложность */
fn linear_log_recur(n: i32) -> i32 {
if n <= 1 {
return 1;
}
let mut count = linear_log_recur(n / 2) + linear_log_recur(n / 2);
for _ in 0..n {
count += 1;
}
return count;
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* Линейно-логарифмическая сложность */
int linearLogRecur(int n) {
if (n <= 1)
return 1;
int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
for (int i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* Линейно-логарифмическая сложность */
fun linearLogRecur(n: Int): Int {
if (n <= 1)
return 1
var count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2)
for (i in 0..<n) {
count++
}
return count
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
=begin
File: time_complexity.rb
Created Time: 2024-03-30
Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
=end
# ## Постоянная сложность ###
def constant(n)
count = 0
size = 100000
(0...size).each { count += 1 }
count
end
# ## Линейная сложность ###
def linear(n)
count = 0
(0...n).each { count += 1 }
count
end
# ## Линейная сложность (обход массива) ###
def array_traversal(nums)
count = 0
# Число итераций пропорционально длине массива
for num in nums
count += 1
end
count
end
# ## Квадратичная сложность ###
def quadratic(n)
count = 0
# Число итераций квадратично зависит от размера данных n
for i in 0...n
for j in 0...n
count += 1
end
end
count
end
# ## Квадратичная сложность (пузырьковая сортировка) ###
def bubble_sort(nums)
count = 0 # Счетчик
# Внешний цикл: неотсортированный диапазон [0, i]
for i in (nums.length - 1).downto(0)
# Внутренний цикл: переместить максимальный элемент неотсортированного диапазона [0, i] в его правый конец
for j in 0...i
if nums[j] > nums[j + 1]
# Поменять местами nums[j] и nums[j + 1]
tmp = nums[j]
nums[j] = nums[j + 1]
nums[j + 1] = tmp
count += 3 # Обмен элементов включает 3 элементарные операции
end
end
end
count
end
# ## Экспоненциальная сложность (итеративная реализация) ###
def exponential(n)
count, base = 0, 1
# На каждом шаге клетка делится надвое, образуя последовательность 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
(0...n).each do
(0...base).each { count += 1 }
base *= 2
end
# count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
count
end
# ## Экспоненциальная сложность (рекурсивная реализация) ###
def exp_recur(n)
return 1 if n == 1
exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1
end
# ## Логарифмическая сложность (итеративная реализация) ###
def logarithmic(n)
count = 0
while n > 1
n /= 2
count += 1
end
count
end
# ## Логарифмическая сложность (рекурсивная реализация) ###
def log_recur(n)
return 0 unless n > 1
log_recur(n / 2) + 1
end
# ## Линейно-логарифмическая сложность ###
def linear_log_recur(n)
return 1 unless n > 1
count = linear_log_recur(n / 2) + linear_log_recur(n / 2)
(0...n).each { count += 1 }
count
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 477px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20linear_log_recur%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE-%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3C%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear_log_recur%28n%20%2F%2F%202%29%20%2B%20linear_log_recur%28n%20%2F%2F%202%29%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear_log_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE-%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%28%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20linear_log_recur%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE-%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3C%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear_log_recur%28n%20%2F%2F%202%29%20%2B%20linear_log_recur%28n%20%2F%2F%202%29%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear_log_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE-%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%28%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
На рисунке 2-13 показано, как возникает линейно-логарифмическая сложность. Общее число операций на каждом уровне бинарного дерева равно n , а дерево имеет \log_2 n + 1 уровней, поэтому временная сложность равна O(n \log n) .
{ class="animation-figure" }
Рисунок 2-13 Линейно-логарифмическая временная сложность
Временная сложность основных алгоритмов сортировки обычно равна O(n \log n) , например у быстрой сортировки, сортировки слиянием, пирамидальной сортировки и т.д.
7. Факториальная сложность O(n!)
Факториальная сложность соответствует математической задаче "все перестановки". Если даны n попарно различных элементов, то число всех возможных перестановок равно:
n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1
Факториал обычно реализуют через рекурсию. Как показано на рисунке 2-14 и в следующем коде, на первом уровне происходит ветвление на n подзадач, на втором - на n - 1 и так далее, пока на n -м уровне ветвление не прекращается:
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def factorial_recur(n: int) -> int:
"""Факториальная сложность (рекурсивная реализация)"""
if n == 0:
return 1
count = 0
# Из одного получается n
for _ in range(n):
count += factorial_recur(n - 1)
return count
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* Факториальная сложность (рекурсивная реализация) */
int factorialRecur(int n) {
if (n == 0)
return 1;
int count = 0;
// Из одного получается n
for (int i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* Факториальная сложность (рекурсивная реализация) */
int factorialRecur(int n) {
if (n == 0)
return 1;
int count = 0;
// Из одного получается n
for (int i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* Факториальная сложность (рекурсивная реализация) */
int FactorialRecur(int n) {
if (n == 0) return 1;
int count = 0;
// Из одного получается n
for (int i = 0; i < n; i++) {
count += FactorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* Факториальная сложность (рекурсивная реализация) */
func factorialRecur(n int) int {
if n == 0 {
return 1
}
count := 0
// Из одного получается n
for i := 0; i < n; i++ {
count += factorialRecur(n - 1)
}
return count
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* Факториальная сложность (рекурсивная реализация) */
func factorialRecur(n: Int) -> Int {
if n == 0 {
return 1
}
var count = 0
// Из одного получается n
for _ in 0 ..< n {
count += factorialRecur(n: n - 1)
}
return count
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* Факториальная сложность (рекурсивная реализация) */
function factorialRecur(n) {
if (n === 0) return 1;
let count = 0;
// Из одного получается n
for (let i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* Факториальная сложность (рекурсивная реализация) */
function factorialRecur(n: number): number {
if (n === 0) return 1;
let count = 0;
// Из одного получается n
for (let i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* Факториальная сложность (рекурсивная реализация) */
int factorialRecur(int n) {
if (n == 0) return 1;
int count = 0;
// Из одного получается n
for (var i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* Факториальная сложность (рекурсивная реализация) */
fn factorial_recur(n: i32) -> i32 {
if n == 0 {
return 1;
}
let mut count = 0;
// Из одного получается n
for _ in 0..n {
count += factorial_recur(n - 1);
}
count
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* Факториальная сложность (рекурсивная реализация) */
int factorialRecur(int n) {
if (n == 0)
return 1;
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* Факториальная сложность (рекурсивная реализация) */
fun factorialRecur(n: Int): Int {
if (n == 0)
return 1
var count = 0
// Из одного получается n
for (i in 0..<n) {
count += factorialRecur(n - 1)
}
return count
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
=begin
File: time_complexity.rb
Created Time: 2024-03-30
Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
=end
# ## Постоянная сложность ###
def constant(n)
count = 0
size = 100000
(0...size).each { count += 1 }
count
end
# ## Линейная сложность ###
def linear(n)
count = 0
(0...n).each { count += 1 }
count
end
# ## Линейная сложность (обход массива) ###
def array_traversal(nums)
count = 0
# Число итераций пропорционально длине массива
for num in nums
count += 1
end
count
end
# ## Квадратичная сложность ###
def quadratic(n)
count = 0
# Число итераций квадратично зависит от размера данных n
for i in 0...n
for j in 0...n
count += 1
end
end
count
end
# ## Квадратичная сложность (пузырьковая сортировка) ###
def bubble_sort(nums)
count = 0 # Счетчик
# Внешний цикл: неотсортированный диапазон [0, i]
for i in (nums.length - 1).downto(0)
# Внутренний цикл: переместить максимальный элемент неотсортированного диапазона [0, i] в его правый конец
for j in 0...i
if nums[j] > nums[j + 1]
# Поменять местами nums[j] и nums[j + 1]
tmp = nums[j]
nums[j] = nums[j + 1]
nums[j + 1] = tmp
count += 3 # Обмен элементов включает 3 элементарные операции
end
end
end
count
end
# ## Экспоненциальная сложность (итеративная реализация) ###
def exponential(n)
count, base = 0, 1
# На каждом шаге клетка делится надвое, образуя последовательность 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
(0...n).each do
(0...base).each { count += 1 }
base *= 2
end
# count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
count
end
# ## Экспоненциальная сложность (рекурсивная реализация) ###
def exp_recur(n)
return 1 if n == 1
exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1
end
# ## Логарифмическая сложность (итеративная реализация) ###
def logarithmic(n)
count = 0
while n > 1
n /= 2
count += 1
end
count
end
# ## Логарифмическая сложность (рекурсивная реализация) ###
def log_recur(n)
return 0 unless n > 1
log_recur(n / 2) + 1
end
# ## Линейно-логарифмическая сложность ###
def linear_log_recur(n)
return 1 unless n > 1
count = linear_log_recur(n / 2) + linear_log_recur(n / 2)
(0...n).each { count += 1 }
count
end
# ## Факториальная сложность (рекурсивная реализация) ###
def factorial_recur(n)
return 1 if n == 0
count = 0
# Из одного получается n
(0...n).each { count += factorial_recur(n - 1) }
count
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 495px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20factorial_recur%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%28%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%D0%98%D0%B7%20%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%8F%20n%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%20factorial_recur%28n%20-%201%29%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%204%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20factorial_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%28%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20factorial_recur%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%28%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%D0%98%D0%B7%20%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%8F%20n%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%20factorial_recur%28n%20-%201%29%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%204%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20factorial_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%20%D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%28%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%20%3D%22%2C%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
{ class="animation-figure" }
Рисунок 2-14 Факториальная временная сложность
Обрати внимание: поскольку при n \geq 4 всегда выполняется n! > 2^n , факториальная сложность растет еще быстрее, чем экспоненциальная, и при больших n также неприемлема.
2.3.5 Худшая, лучшая и средняя временная сложность
Временная эффективность алгоритма часто не фиксирована, а зависит от распределения входных данных. Предположим, на вход подается массив nums длины n , состоящий из чисел от 1 до n , каждое из которых встречается ровно один раз; при этом порядок элементов случайно перемешан. Задача состоит в том, чтобы вернуть индекс элемента 1 . Тогда можно сделать следующие выводы.
- Когда
nums = [?, ?, ..., 1], то есть когда последний элемент равен1, нужно полностью пройти по массиву, что дает худшую временную сложность $O(n)$ . - Когда
nums = [1, ?, ?, ...], то есть когда первый элемент равен1, независимо от длины массива продолжать обход не нужно, что дает лучшую временную сложность $\Omega(1)$ .
"Худшая временная сложность" соответствует асимптотической верхней границе функции и обозначается нотацией Big O . Соответственно, "лучшая временная сложность" соответствует асимптотической нижней границе функции и обозначается символом \Omega :
=== "Python"
```python title="worst_best_time_complexity.py"
def random_numbers(n: int) -> list[int]:
"""Сгенерировать массив с элементами 1, 2, ..., n в случайном порядке"""
# Создать массив nums =: 1, 2, 3, ..., n
nums = [i for i in range(1, n + 1)]
# Случайно перемешать элементы массива
random.shuffle(nums)
return nums
def find_one(nums: list[int]) -> int:
"""Найти индекс числа 1 в массиве nums"""
for i in range(len(nums)):
# Когда элемент 1 находится в начале массива, достигается лучшая временная сложность O(1)
# Когда элемент 1 находится в конце массива, достигается худшая временная сложность O(n)
if nums[i] == 1:
return i
return -1
```
=== "C++"
```cpp title="worst_best_time_complexity.cpp"
/* Создать массив с элементами { 1, 2, ..., n } в случайном порядке */
vector<int> randomNumbers(int n) {
vector<int> nums(n);
// Создать массив nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// Использовать системное время для генерации случайного seed
unsigned seed = chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count();
// Случайно перемешать элементы массива
shuffle(nums.begin(), nums.end(), default_random_engine(seed));
return nums;
}
/* Найти индекс числа 1 в массиве nums */
int findOne(vector<int> &nums) {
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
// Когда элемент 1 находится в начале массива, достигается лучшая временная сложность O(1)
// Когда элемент 1 находится в конце массива, достигается худшая временная сложность O(n)
if (nums[i] == 1)
return i;
}
return -1;
}
```
=== "Java"
```java title="worst_best_time_complexity.java"
/* Создать массив с элементами { 1, 2, ..., n } в случайном порядке */
int[] randomNumbers(int n) {
Integer[] nums = new Integer[n];
// Создать массив nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// Случайно перемешать элементы массива
Collections.shuffle(Arrays.asList(nums));
// Integer[] -> int[]
int[] res = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
res[i] = nums[i];
}
return res;
}
/* Найти индекс числа 1 в массиве nums */
int findOne(int[] nums) {
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
// Когда элемент 1 находится в начале массива, достигается лучшая временная сложность O(1)
// Когда элемент 1 находится в конце массива, достигается худшая временная сложность O(n)
if (nums[i] == 1)
return i;
}
return -1;
}
```
=== "C#"
```csharp title="worst_best_time_complexity.cs"
/* Создать массив с элементами { 1, 2, ..., n } в случайном порядке */
int[] RandomNumbers(int n) {
int[] nums = new int[n];
// Создать массив nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// Случайно перемешать элементы массива
for (int i = 0; i < nums.Length; i++) {
int index = new Random().Next(i, nums.Length);
(nums[i], nums[index]) = (nums[index], nums[i]);
}
return nums;
}
/* Найти индекс числа 1 в массиве nums */
int FindOne(int[] nums) {
for (int i = 0; i < nums.Length; i++) {
// Когда элемент 1 находится в начале массива, достигается лучшая временная сложность O(1)
// Когда элемент 1 находится в конце массива, достигается худшая временная сложность O(n)
if (nums[i] == 1)
return i;
}
return -1;
}
```
=== "Go"
```go title="worst_best_time_complexity.go"
/* Создать массив с элементами { 1, 2, ..., n } в случайном порядке */
func randomNumbers(n int) []int {
nums := make([]int, n)
// Создать массив nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for i := 0; i < n; i++ {
nums[i] = i + 1
}
// Случайно перемешать элементы массива
rand.Shuffle(len(nums), func(i, j int) {
nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
})
return nums
}
/* Найти индекс числа 1 в массиве nums */
func findOne(nums []int) int {
for i := 0; i < len(nums); i++ {
// Когда элемент 1 находится в начале массива, достигается лучшая временная сложность O(1)
// Когда элемент 1 находится в конце массива, достигается худшая временная сложность O(n)
if nums[i] == 1 {
return i
}
}
return -1
}
```
=== "Swift"
```swift title="worst_best_time_complexity.swift"
/* Создать массив с элементами { 1, 2, ..., n } в случайном порядке */
func randomNumbers(n: Int) -> [Int] {
// Создать массив nums = { 1, 2, 3, ..., n }
var nums = Array(1 ... n)
// Случайно перемешать элементы массива
nums.shuffle()
return nums
}
/* Найти индекс числа 1 в массиве nums */
func findOne(nums: [Int]) -> Int {
for i in nums.indices {
// Когда элемент 1 находится в начале массива, достигается лучшая временная сложность O(1)
// Когда элемент 1 находится в конце массива, достигается худшая временная сложность O(n)
if nums[i] == 1 {
return i
}
}
return -1
}
```
=== "JS"
```javascript title="worst_best_time_complexity.js"
/* Создать массив с элементами { 1, 2, ..., n } в случайном порядке */
function randomNumbers(n) {
const nums = Array(n);
// Создать массив nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (let i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// Случайно перемешать элементы массива
for (let i = 0; i < n; i++) {
const r = Math.floor(Math.random() * (i + 1));
const temp = nums[i];
nums[i] = nums[r];
nums[r] = temp;
}
return nums;
}
/* Найти индекс числа 1 в массиве nums */
function findOne(nums) {
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
// Когда элемент 1 находится в начале массива, достигается лучшая временная сложность O(1)
// Когда элемент 1 находится в конце массива, достигается худшая временная сложность O(n)
if (nums[i] === 1) {
return i;
}
}
return -1;
}
```
=== "TS"
```typescript title="worst_best_time_complexity.ts"
/* Создать массив с элементами { 1, 2, ..., n } в случайном порядке */
function randomNumbers(n: number): number[] {
const nums = Array(n);
// Создать массив nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (let i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// Случайно перемешать элементы массива
for (let i = 0; i < n; i++) {
const r = Math.floor(Math.random() * (i + 1));
const temp = nums[i];
nums[i] = nums[r];
nums[r] = temp;
}
return nums;
}
/* Найти индекс числа 1 в массиве nums */
function findOne(nums: number[]): number {
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
// Когда элемент 1 находится в начале массива, достигается лучшая временная сложность O(1)
// Когда элемент 1 находится в конце массива, достигается худшая временная сложность O(n)
if (nums[i] === 1) {
return i;
}
}
return -1;
}
```
=== "Dart"
```dart title="worst_best_time_complexity.dart"
/* Создать массив с элементами { 1, 2, ..., n } в случайном порядке */
List<int> randomNumbers(int n) {
final nums = List.filled(n, 0);
// Создать массив nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (var i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// Случайно перемешать элементы массива
nums.shuffle();
return nums;
}
/* Найти индекс числа 1 в массиве nums */
int findOne(List<int> nums) {
for (var i = 0; i < nums.length; i++) {
// Когда элемент 1 находится в начале массива, достигается лучшая временная сложность O(1)
// Когда элемент 1 находится в конце массива, достигается худшая временная сложность O(n)
if (nums[i] == 1) return i;
}
return -1;
}
```
=== "Rust"
```rust title="worst_best_time_complexity.rs"
/* Создать массив с элементами { 1, 2, ..., n } в случайном порядке */
fn random_numbers(n: i32) -> Vec<i32> {
// Создать массив nums = { 1, 2, 3, ..., n }
let mut nums = (1..=n).collect::<Vec<i32>>();
// Случайно перемешать элементы массива
nums.shuffle(&mut thread_rng());
nums
}
/* Найти индекс числа 1 в массиве nums */
fn find_one(nums: &[i32]) -> Option<usize> {
for i in 0..nums.len() {
// Когда элемент 1 находится в начале массива, достигается лучшая временная сложность O(1)
// Когда элемент 1 находится в конце массива, достигается худшая временная сложность O(n)
if nums[i] == 1 {
return Some(i);
}
}
None
}
```
=== "C"
```c title="worst_best_time_complexity.c"
/* Создать массив с элементами { 1, 2, ..., n } в случайном порядке */
int *randomNumbers(int n) {
// Выделить память в куче (создать одномерный массив переменной длины: число элементов равно n, тип элементов — int)
int *nums = (int *)malloc(n * sizeof(int));
// Создать массив nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// Случайно перемешать элементы массива
for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
int j = rand() % (i + 1);
int temp = nums[i];
nums[i] = nums[j];
nums[j] = temp;
}
return nums;
}
/* Найти индекс числа 1 в массиве nums */
int findOne(int *nums, int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
// Когда элемент 1 находится в начале массива, достигается лучшая временная сложность O(1)
// Когда элемент 1 находится в конце массива, достигается худшая временная сложность O(n)
if (nums[i] == 1)
return i;
}
return -1;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="worst_best_time_complexity.kt"
/* Создать массив с элементами { 1, 2, ..., n } в случайном порядке */
fun randomNumbers(n: Int): Array<Int?> {
val nums = IntArray(n)
// Создать массив nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (i in 0..<n) {
nums[i] = i + 1
}
// Случайно перемешать элементы массива
nums.shuffle()
val res = arrayOfNulls<Int>(n)
for (i in 0..<n) {
res[i] = nums[i]
}
return res
}
/* Найти индекс числа 1 в массиве nums */
fun findOne(nums: Array<Int?>): Int {
for (i in nums.indices) {
// Когда элемент 1 находится в начале массива, достигается лучшая временная сложность O(1)
// Когда элемент 1 находится в конце массива, достигается худшая временная сложность O(n)
if (nums[i] == 1)
return i
}
return -1
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="worst_best_time_complexity.rb"
=begin
File: worst_best_time_complexity.rb
Created Time: 2024-03-30
Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
=end
# ## Создать массив с элементами: 1, 2, ..., n в случайном порядке ###
def random_numbers(n)
# Создать массив nums =: 1, 2, 3, ..., n
nums = Array.new(n) { |i| i + 1 }
# Случайно перемешать элементы массива
nums.shuffle!
end
=begin
File: worst_best_time_complexity.rb
Created Time: 2024-03-30
Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
=end
# ## Создать массив с элементами: 1, 2, ..., n в случайном порядке ###
def random_numbers(n)
# Создать массив nums =: 1, 2, 3, ..., n
nums = Array.new(n) { |i| i + 1 }
# Случайно перемешать элементы массива
nums.shuffle!
end
# ## Найти индекс числа 1 в массиве nums ###
def find_one(nums)
for i in 0...nums.length
# Когда элемент 1 находится в начале массива, достигается лучшая временная сложность O(1)
# Когда элемент 1 находится в конце массива, достигается худшая временная сложность O(n)
return i if nums[i] == 1
end
-1
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=import%20random%0A%0Adef%20random_numbers%28n%3A%20int%29%20-%3E%20list%5Bint%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%A1%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%20%D1%81%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BC%D0%B8%201%2C%202%2C%20...%2C%20n%20%D0%B2%20%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%BC%20%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B5%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A1%D0%BE%D0%B7%D0%B4%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%20nums%20%3D%3A%201%2C%202%2C%203%2C%20...%2C%20n%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5Bi%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A1%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%88%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0%0A%20%20%20%20random.shuffle%28nums%29%0A%20%20%20%20return%20nums%0A%0Adef%20find_one%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9D%D0%B0%D0%B9%D1%82%D0%B8%20%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D1%81%20%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%201%20%D0%B2%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B5%20nums%22%22%22%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28len%28nums%29%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9A%D0%BE%D0%B3%D0%B4%D0%B0%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%201%20%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%82%D1%81%D1%8F%20%D0%B2%20%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B5%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0%2C%20%D0%B4%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%B3%D0%B0%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%8F%20%D0%BB%D1%83%D1%87%D1%88%D0%B0%D1%8F%20%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20O%281%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9A%D0%BE%D0%B3%D0%B4%D0%B0%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%201%20%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%82%D1%81%D1%8F%20%D0%B2%20%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%86%D0%B5%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0%2C%20%D0%B4%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%B3%D0%B0%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%8F%20%D1%85%D1%83%D0%B4%D1%88%D0%B0%D1%8F%20%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20O%28n%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bi%5D%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20i%0A%20%20%20%20return%20-1%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%2010%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20random_numbers%28n%29%0A%20%20%20%20index%20%3D%20find_one%28nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%5Cn%D0%9C%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%20%5B1%2C%202%2C%20...%2C%20n%5D%20%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%3D%22%2C%20nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%98%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D1%81%20%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%201%20%3D%22%2C%20index%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=25&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=import%20random%0A%0Adef%20random_numbers%28n%3A%20int%29%20-%3E%20list%5Bint%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%A1%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%20%D1%81%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BC%D0%B8%201%2C%202%2C%20...%2C%20n%20%D0%B2%20%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%BC%20%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B5%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A1%D0%BE%D0%B7%D0%B4%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%20nums%20%3D%3A%201%2C%202%2C%203%2C%20...%2C%20n%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5Bi%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A1%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%88%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0%0A%20%20%20%20random.shuffle%28nums%29%0A%20%20%20%20return%20nums%0A%0Adef%20find_one%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9D%D0%B0%D0%B9%D1%82%D0%B8%20%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D1%81%20%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%201%20%D0%B2%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B5%20nums%22%22%22%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28len%28nums%29%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9A%D0%BE%D0%B3%D0%B4%D0%B0%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%201%20%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%82%D1%81%D1%8F%20%D0%B2%20%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B5%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0%2C%20%D0%B4%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%B3%D0%B0%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%8F%20%D0%BB%D1%83%D1%87%D1%88%D0%B0%D1%8F%20%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20O%281%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9A%D0%BE%D0%B3%D0%B4%D0%B0%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%201%20%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%82%D1%81%D1%8F%20%D0%B2%20%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%86%D0%B5%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0%2C%20%D0%B4%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%B3%D0%B0%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%8F%20%D1%85%D1%83%D0%B4%D1%88%D0%B0%D1%8F%20%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20O%28n%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bi%5D%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20i%0A%20%20%20%20return%20-1%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%2010%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20random_numbers%28n%29%0A%20%20%20%20index%20%3D%20find_one%28nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%5Cn%D0%9C%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%20%5B1%2C%202%2C%20...%2C%20n%5D%20%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%3D%22%2C%20nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%98%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D1%81%20%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%201%20%3D%22%2C%20index%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=25&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
Стоит отметить, что на практике мы редко используем лучшую временную сложность, поскольку обычно она достигается лишь с очень малой вероятностью и может вводить в заблуждение. Худшая временная сложность гораздо практичнее, потому что задает безопасную оценку эффективности и позволяет уверенно использовать алгоритм.
Из приведенного выше примера видно, что худшая и лучшая временные сложности возникают только при "особых распределениях данных"; вероятность таких случаев может быть низкой, и они не всегда реально отражают эффективность алгоритма. Напротив, средняя временная сложность способна показать эффективность алгоритма на случайных входных данных и обозначается символом \Theta .
Для некоторых алгоритмов мы можем относительно просто вывести средний случай при случайном распределении данных. Например, в приведенном выше примере входной массив перемешан, а значит вероятность появления элемента 1 на любом индексе одинакова; следовательно, среднее число итераций алгоритма равно половине длины массива, то есть n / 2 , а средняя временная сложность равна \Theta(n / 2) = \Theta(n) .
Но для более сложных алгоритмов вычислить среднюю временную сложность часто непросто, потому что трудно проанализировать полное математическое ожидание на заданном распределении данных. В таких случаях мы обычно используем худшую временную сложность как критерий оценки эффективности алгоритма.
!!! question "Почему символ \Theta встречается так редко?"
Возможно, потому что символ $O$ звучит слишком привычно, и мы часто используем его для обозначения средней временной сложности. Но строго говоря, это некорректно. В этой книге и в других материалах, если встретится выражение вроде "средняя временная сложность $O(n)$", просто понимай его как $\Theta(n)$ .