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演習

確認問題

10 をヒープへ追加した後の調整

配列 [9, 7, 8, 3, 5] は最大ヒープを表しています。ここに 10 を追加します。

1. まず 10 を配列の末尾に追加すると、その親ノードの値はいくつですか？
2. 新しいノードから下から上へヒープ化し、交換するたびに配列を書いてください。
3. 最終的なヒープ頂点の要素はいくつですか？交換は全部で何回行われますか？

??? success "解答"

1. 10 を追加した後のインデックスは 5 で、その親ノードのインデックスは
    $\lfloor(5-1)/2\rfloor=2$ です。親ノードの値は 8 です。

2. 10 は 8 より大きいため、1 回目の交換後は `[9, 7, 10, 3, 5, 8]` です。
    10 は親ノードの 9 よりも大きいため、2 回目の交換後は `[10, 7, 9, 3, 5, 8]` です。
    これで 10 が根ノードに到達したため、ヒープ化は終了します。

3. 最終的なヒープ頂点は 10 で、交換回数は 2 回です。

最小ヒープの親子関係を確認する

配列 [1, 4, 3, 7, 6, 2] は完全二分木を表しています。最小ヒープでは、すべての親ノードがその子ノード以下でなければなりません。 インデックス i に対して、左右の子ノードのインデックスはそれぞれ 2i+1 と 2i+2 です。

1. インデックス 2 の子ノードのインデックスと値は、それぞれいくつですか？
2. インデックス 2 にあるノードの値は 3 です。子ノードとの間で最小ヒープの条件に反していますか？反している場合、どの 2 要素を交換しますか？
3. 問い 2 の判断に基づき、条件に反している場合は交換後の配列を書き、反していない場合は交換が不要な理由を説明してください。最後に、ほかの親子関係も確認してください。

??? success "解答"

1. インデックス 2 の左子ノードはインデックス 5、値は 2 です。右子ノードのインデックスは 6 ですが、配列の長さは 6 なので、右子ノードは存在しません。

2. 親ノードの値 3 は子ノードの値 2 より大きく、最小ヒープの条件に反しています。そのため、インデックス 2 とインデックス 5 の要素を交換します。

3. 交換後の配列は `[1, 4, 2, 7, 6, 3]` です。順に確認すると、
    `1 ≤ 4`、`1 ≤ 2`、`4 ≤ 7`、`4 ≤ 6`、`2 ≤ 3` です。
    すべての親ノードがその子ノード以下なので、現在は最小ヒープの条件を満たしています。

最小ヒープで最大の 3 つの数を保持する

データストリーム [4, 1, 7, 3, 8] から最大の 3 つの数を保持するために、大きさが 3 以下の最小ヒープを管理します。

まず、最初の 3 つの数を順に最小ヒープへ入れます。ヒープが満杯になった後は、新しい数を 1 つ読み込むたびに、 その数がヒープ頂点より大きければヒープ頂点を削除して新しい数を入れ、そうでなければヒープを変更しません。

各数を読み込んだ後、ヒープに保持されている数とヒープ頂点を書いてください。 保持されている数は集合として書けばよく、ヒープ配列内での並びを書く必要はありません。

??? success "解答"

各数を読み込んだ後の結果は、次のとおりです。

| 読み込んだ数 | 保持されている数 | ヒープ頂点 |
| --- | --- | --- |
| 4 | `{4}` | 4 |
| 1 | `{1, 4}` | 1 |
| 7 | `{1, 4, 7}` | 1 |
| 3 | `{3, 4, 7}` | 3 |
| 8 | `{4, 7, 8}` | 4 |

ヒープが満杯になった後、ヒープ頂点は、現在保持している数のうち最も小さい数です。新しい数がヒープ頂点より大きい場合に限り、
ヒープ頂点を新しい数に置き換えます。最終的に保持される `{4, 7, 8}` は、まさに最大の 3 つの数です。

プログラミング演習

配列内の k 番目に大きい要素

整数配列 nums と整数 k が与えられます。ここで 1 \le k \le n で、n は配列の長さです。配列を大きい順に並べたとき、k 番目にある要素を返してください。

重複する要素は別々に数えます。たとえば、[5, 5, 2] で 2 番目に大きい要素も 5 です。大きさが k 以下の最小ヒープを使って求めてください。

??? tip "解法のヒント"

1. k 番目に大きい要素は、最大の k 個の数のうち最も小さい数です
2. 各数を最小ヒープへ入れ、大きさが k を超えたら最小値を取り出します
3. 走査を終えると、ヒープには最大の k 個の数が残り、ヒープ頂点が答えになります

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