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演習

確認問題

二分探索で探索区間を狭める方法

ソート済み配列 [2, 5, 8, 12, 16, 23, 38] から 16 を探索します。 両閉区間 [i, j] を使い、中点を $m=i+(j-i)/2$（小数点以下切り捨て）とします。

目的の値が見つかるまで、各回の (i, j, m)、中点の要素、次に区間をどのように狭めるかを書いてください。

??? success "解答"

各回の探索過程は次のとおりです。

| 回 | `(i, j, m)` | 中点の要素 | 次の操作 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | `(0, 6, 3)` | 12 | `12 < 16` なので `i = 4` とする |
| 2 | `(4, 6, 5)` | 23 | `23 > 16` なので `j = 4` とする |
| 3 | `(4, 4, 4)` | 16 | 目的の値を発見し、インデックス 4 を返す |

配列はソート済みなので、中点の値が目的の値より小さければ、中点とその左側を除外できます。
中点の値が目的の値より大きければ、中点とその右側を除外できます。

重複する要素の左右の境界

配列 [1, 2, 2, 2, 4, 6] から数値 2 を探索します。 ある生徒は、二分探索でインデックス 2 に目的の値を見つけるとすぐに返し、次のように言いました。 「インデックス 2 が数値 2 の左端境界です。」

1. この生徒の説明は正しいですか？数値 2 の左端境界と右端境界は、それぞれどこですか？理由も説明してください。
2. 左端境界を探索するとき、中点の要素が目的の値と等しければ、次にどちら側を探索すべきですか？
3. 右端境界を探索するときは、どちら側を探索すべきですか？方向だけを説明し、探索過程をすべて書く必要はありません。

??? success "解答"

1. この生徒の説明は正しくありません。2 を 1 つ見つけてすぐに返す方法では、いずれかの 2 を見つけたことしか保証できず、最も左または最も右の 2 だとは限りません。
    この問題の左端境界はインデックス 1、右端境界はインデックス 3 です。

2. 左端境界を探索するときは、中点の要素が 2 と等しくても、引き続き左側を探索します。
    たとえば、両閉区間を使う場合は `j = m - 1` とします。

3. 右端境界を探索するときは、中点の要素が 2 と等しければ、引き続き右側を探索します。
    たとえば、`i = m + 1` とします。

データに応じた探索方法の選び方

「線形探索、二分探索、ハッシュテーブル」から、次の 3 つの場面に適した方法を選び、理由を説明してください。

1. ソート済みで今後変更されない 10^7 個の整数を繰り返し探索する。ほかのデータ構造は追加で作らない。
2. 挿入と削除が頻繁に行われるデータ集合で、あるキーが存在するかを繰り返し判定する。順序を保つ必要も、範囲探索を行う必要もない。
3. ソートされていない配列から、ある値を 1 回だけ探索する。

??? success "解答"

1. 二分探索です。データがソート済みで変更されないため、追加の空間を使わず $O(\log n)$ で探索できます。
2. ハッシュテーブルです。ハッシュ関数によってキーが各バケットへほぼ均等に分散される場合、挿入、削除、キーによる探索の平均時間計算量はいずれも $O(1)$ です。
3. 先頭から末尾まで直接走査します。1 回しか探索しない場合、ソートやハッシュテーブルの作成でも、最初に配列全体を処理する必要があるため、
    この 1 回の処理に必要な作業の総量は減りません。

    どの方法を選ぶかは、データがソート済みか、追加の構造を作れるか、探索回数、必要な操作の種類によって決まります。

プログラミング演習

ソート済み配列の二分探索

重複なく昇順に並んだ整数配列 nums と目的の値 target が与えられます。二分探索を使って target を見つけてください。存在する場合はその配列インデックスを返し、存在しない場合は -1 を返します。

??? tip "解法のヒント"

1. 最初の区間は left = 0、right = n - 1 で、区間が空でない条件は left <= right です
2. mid = left + (right - left) // 2 で中点を計算します
3. もし `nums[mid]` が `target` より小さければ左端を `mid + 1` へ移し、`nums[mid]` が `target` より大きければ右端を `mid - 1` へ移します。等しければすぐに返します

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ソート済み配列への挿入位置

重複なく昇順に並んだ整数配列 nums と目的の値 target が与えられます。

target がすでに配列にあれば、そのインデックスを返します。なければ、target を挿入した後も重複のない昇順を保てる位置を返します。答えは 0 の場合も、配列の長さと等しい場合もあります。二分探索を使って求めてください。

??? tip "解法のヒント"

1. 答えは 0 の場合も、配列の長さ n の場合もあります
2. 両閉区間を使う場合、`nums[mid]` が `target` 以上なら `right = mid - 1` とし、さらに左の位置を調べます。そうでなければ `left = mid + 1` とします
3. ループが終了した時点で、left が挿入位置です

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