hello-algo/ru/docs/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur.md

Поисковая стратегия "разделяй и властвуй"

Мы уже знаем, что алгоритмы поиска делятся на две большие категории.

• Полный перебор: реализуется через обход структуры данных, временная сложность равна O(n) .
• Адаптивный поиск: использует особую организацию данных или априорную информацию, временная сложность может достигать O(\log n) и даже O(1) .

На практике алгоритмы поиска с временной сложностью O(\log n) обычно реализуются на основе стратегии "разделяй и властвуй", например двоичный поиск и деревья.

• На каждом шаге двоичный поиск раскладывает задачу (поиск целевого элемента в массиве) на более мелкую задачу (поиск целевого элемента в одной половине массива), и этот процесс продолжается, пока массив не станет пустым или пока не будет найден целевой элемент.
• Деревья являются типичными представителями идей "разделяй и властвуй"; в таких структурах данных, как двоичное дерево поиска, AVL-дерево и куча, временная сложность различных операций равна O(\log n) .

Стратегия "разделяй и властвуй" для двоичного поиска выглядит следующим образом.

• Задача раскладывается на части: двоичный поиск рекурсивно разбивает исходную задачу (поиск в массиве) на подзадачу (поиск в одной половине массива), и это достигается сравнением среднего элемента с целевым значением.
• Подзадачи независимы: в двоичном поиске на каждом шаге обрабатывается только одна подзадача, и она не зависит от других подзадач.
• Решения подзадач не нужно объединять: двоичный поиск нацелен на поиск конкретного элемента, поэтому объединять решения подзадач не требуется. Как только подзадача решена, одновременно считается решенной и исходная задача.

Иными словами, стратегия "разделяй и властвуй" повышает эффективность поиска потому, что при полном переборе за один шаг удается исключить только один вариант, тогда как при поиске на основе "разделяй и властвуй" за один шаг можно исключить половину вариантов.

Реализация двоичного поиска на основе "разделяй и властвуй"

В предыдущих главах двоичный поиск реализовывался через итерацию. Теперь реализуем его с помощью стратегии "разделяй и властвуй", то есть через рекурсию.

!!! question

Дан отсортированный массив `nums` длины $n$ , в котором все элементы уникальны. Найдите элемент `target` .

С точки зрения стратегии "разделяй и властвуй" обозначим подзадачу, соответствующую интервалу поиска [i, j] , через f(i, j) .

Начиная с исходной задачи f(0, n-1) , выполняем двоичный поиск по следующим шагам.

1. Вычислить середину m интервала поиска [i, j] и с ее помощью исключить половину интервала.
2. Рекурсивно решить подзадачу вдвое меньшего размера; это может быть либо f(i, m-1) , либо f(m+1, j) .
3. Повторять шаг 1. и шаг 2. , пока не будет найден target или пока интервал не станет пустым.

На рисунке ниже показан процесс применения стратегии "разделяй и властвуй" для поиска элемента 6 в массиве.

В реализации кода мы объявляем рекурсивную функцию dfs() для решения задачи f(i, j) :

[file]{binary_search_recur}-[class]{}-[func]{binary_search}