hello-algo/ru/docs/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md

comments

comments
true

12.4   Задача о Ханойской башне

В задачах сортировки слиянием и построения двоичного дерева мы делили исходную задачу на две подзадачи, каждая из которых имела размер, равный примерно половине исходной задачи. Однако для задачи о Ханойской башне используется другая стратегия разбиения.

!!! question

Даны три стержня, обозначенные как `A` , `B` и `C` . В начальном состоянии на стержне `A` находятся $n$ дисков, расположенных сверху вниз в порядке от меньшего к большему. Нужно переместить эти $n$ дисков на стержень `C` , сохранив их исходный порядок (как показано на рисунке 12-10). Во время перемещения дисков необходимо соблюдать следующие правила.

1. Диск можно снять только с вершины одного стержня и положить только на вершину другого стержня.
2. За один раз можно перемещать только один диск.
3. Меньший диск всегда должен лежать на большем.

{ class="animation-figure" }

Рисунок 12-10   Пример задачи о Ханойской башне

Обозначим задачу о Ханойской башне размера i как $f(i)$ . Например, f(3) означает задачу перемещения 3 дисков со стержня A на стержень C .

1.   Рассмотрим базовые случаи

Как показано на рисунке 12-11, для задачи f(1) , то есть когда имеется только один диск, достаточно просто переместить его напрямую со стержня A на стержень C .

=== "<1>" { class="animation-figure" }

=== "<2>" { class="animation-figure" }

Рисунок 12-11   Решение задачи размера 1

Как показано на рисунке 12-12, для задачи f(2) , то есть когда есть два диска, поскольку меньший диск все время должен лежать на большем, приходится использовать B как вспомогательный стержень.

1. Сначала переместить верхний маленький диск с A на B .
2. Затем переместить большой диск с A на C .
3. Наконец, переместить маленький диск с B на C .

=== "<1>" { class="animation-figure" }

=== "<2>" { class="animation-figure" }

=== "<3>" { class="animation-figure" }

=== "<4>" { class="animation-figure" }

Рисунок 12-12   Решение задачи размера 2

Процесс решения задачи f(2) можно кратко описать так: переместить два диска с A на C с помощью B . Здесь C называется целевым стержнем, а B - буферным стержнем.

2.   Разбиение на подзадачи

Для задачи f(3) , то есть когда имеется три диска, ситуация становится сложнее.

Поскольку решения f(1) и f(2) уже известны, можно подойти к задаче с точки зрения стратегии «разделяй и властвуй» и рассматривать два верхних диска на A как единое целое, выполняя шаги, показанные на рисунке 12-13. Так три диска успешно перемещаются с A на C .

1. Сделать B целевым стержнем, а C буферным, и переместить два диска с A на B .
2. Переместить оставшийся один диск с A напрямую на C .
3. Сделать C целевым стержнем, а A буферным, и переместить два диска с B на C .

=== "<1>" { class="animation-figure" }

=== "<2>" { class="animation-figure" }

=== "<3>" { class="animation-figure" }

=== "<4>" { class="animation-figure" }

Рисунок 12-13   Решение задачи размера 3

Иначе говоря, мы разбиваем задачу f(3) на две подзадачи f(2) и одну подзадачу $f(1)$ . Если последовательно решить эти три подзадачи, исходная задача тоже будет решена. Это показывает, что подзадачи независимы и что их решения можно объединить.

Таким образом, можно сформулировать показанную на рисунке 12-14 стратегию «разделяй и властвуй» для задачи о Ханойской башне: исходная задача f(n) разбивается на две подзадачи f(n-1) и одну подзадачу f(1) , которые затем решаются в следующем порядке.

1. Переместить n-1 дисков с A на B с помощью C .
2. Переместить оставшийся 1 диск напрямую с A на C .
3. Переместить n-1 дисков с B на C с помощью A .

Для двух подзадач f(n-1) можно применять тот же способ рекурсивного разбиения, пока не будет достигнута наименьшая подзадача f(1) . А решение для f(1) уже известно и требует всего одного перемещения.

{ class="animation-figure" }

Рисунок 12-14   Стратегия разделяй и властвуй для решения задачи о Ханойской башне

3.   Реализация кода

В коде мы объявляем рекурсивную функцию dfs(i, src, buf, tar) , которая перемещает i верхних дисков со стержня src на целевой стержень tar с помощью буферного стержня buf :

=== "Python"

```python title="hanota.py"
def move(src: list[int], tar: list[int]):
    """Переместить один диск"""
    # Снять диск с вершины src
    pan = src.pop()
    # Положить диск на вершину tar
    tar.append(pan)

def dfs(i: int, src: list[int], buf: list[int], tar: list[int]):
    """Решить задачу Ханойской башни f(i)"""
    # Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
    if i == 1:
        move(src, tar)
        return
    # Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
    dfs(i - 1, src, tar, buf)
    # Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
    move(src, tar)
    # Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
    dfs(i - 1, buf, src, tar)

def solve_hanota(A: list[int], B: list[int], C: list[int]):
    """Решить задачу Ханойской башни"""
    n = len(A)
    # Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
    dfs(n, A, B, C)
```

=== "C++"

```cpp title="hanota.cpp"
/* Переместить один диск */
void move(vector<int> &src, vector<int> &tar) {
    // Снять диск с вершины src
    int pan = src.back();
    src.pop_back();
    // Положить диск на вершину tar
    tar.push_back(pan);
}

/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
void dfs(int i, vector<int> &src, vector<int> &buf, vector<int> &tar) {
    // Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
    if (i == 1) {
        move(src, tar);
        return;
    }
    // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
    dfs(i - 1, src, tar, buf);
    // Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
    move(src, tar);
    // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
    dfs(i - 1, buf, src, tar);
}

/* Решить задачу Ханойской башни */
void solveHanota(vector<int> &A, vector<int> &B, vector<int> &C) {
    int n = A.size();
    // Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
    dfs(n, A, B, C);
}
```

=== "Java"

```java title="hanota.java"
/* Переместить один диск */
void move(List<Integer> src, List<Integer> tar) {
    // Снять диск с вершины src
    Integer pan = src.remove(src.size() - 1);
    // Положить диск на вершину tar
    tar.add(pan);
}

/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
void dfs(int i, List<Integer> src, List<Integer> buf, List<Integer> tar) {
    // Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
    if (i == 1) {
        move(src, tar);
        return;
    }
    // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
    dfs(i - 1, src, tar, buf);
    // Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
    move(src, tar);
    // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
    dfs(i - 1, buf, src, tar);
}

/* Решить задачу Ханойской башни */
void solveHanota(List<Integer> A, List<Integer> B, List<Integer> C) {
    int n = A.size();
    // Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
    dfs(n, A, B, C);
}
```

=== "C#"

```csharp title="hanota.cs"
/* Переместить один диск */
void Move(List<int> src, List<int> tar) {
    // Снять диск с вершины src
    int pan = src[^1];
    src.RemoveAt(src.Count - 1);
    // Положить диск на вершину tar
    tar.Add(pan);
}

/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
void DFS(int i, List<int> src, List<int> buf, List<int> tar) {
    // Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
    if (i == 1) {
        Move(src, tar);
        return;
    }
    // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
    DFS(i - 1, src, tar, buf);
    // Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
    Move(src, tar);
    // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
    DFS(i - 1, buf, src, tar);
}

/* Решить задачу Ханойской башни */
void SolveHanota(List<int> A, List<int> B, List<int> C) {
    int n = A.Count;
    // Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
    DFS(n, A, B, C);
}
```

=== "Go"

```go title="hanota.go"
/* Переместить один диск */
func move(src, tar *list.List) {
    // Снять диск с вершины src
    pan := src.Back()
    // Положить диск на вершину tar
    tar.PushBack(pan.Value)
    // Убрать верхний диск из src
    src.Remove(pan)
}

/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
func dfsHanota(i int, src, buf, tar *list.List) {
    // Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
    if i == 1 {
        move(src, tar)
        return
    }
    // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
    dfsHanota(i-1, src, tar, buf)
    // Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
    move(src, tar)
    // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
    dfsHanota(i-1, buf, src, tar)
}

/* Решить задачу Ханойской башни */
func solveHanota(A, B, C *list.List) {
    n := A.Len()
    // Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
    dfsHanota(n, A, B, C)
}
```

=== "Swift"

```swift title="hanota.swift"
/* Переместить один диск */
func move(src: inout [Int], tar: inout [Int]) {
    // Снять диск с вершины src
    let pan = src.popLast()!
    // Положить диск на вершину tar
    tar.append(pan)
}

/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
func dfs(i: Int, src: inout [Int], buf: inout [Int], tar: inout [Int]) {
    // Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
    if i == 1 {
        move(src: &src, tar: &tar)
        return
    }
    // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
    dfs(i: i - 1, src: &src, buf: &tar, tar: &buf)
    // Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
    move(src: &src, tar: &tar)
    // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
    dfs(i: i - 1, src: &buf, buf: &src, tar: &tar)
}

/* Решить задачу Ханойской башни */
func solveHanota(A: inout [Int], B: inout [Int], C: inout [Int]) {
    let n = A.count
    // Хвост списка соответствует вершине столбца
    // Переместить верхние n дисков из src в C с помощью B
    dfs(i: n, src: &A, buf: &B, tar: &C)
}
```

=== "JS"

```javascript title="hanota.js"
/* Переместить один диск */
function move(src, tar) {
    // Снять диск с вершины src
    const pan = src.pop();
    // Положить диск на вершину tar
    tar.push(pan);
}

/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
function dfs(i, src, buf, tar) {
    // Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
    if (i === 1) {
        move(src, tar);
        return;
    }
    // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
    dfs(i - 1, src, tar, buf);
    // Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
    move(src, tar);
    // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
    dfs(i - 1, buf, src, tar);
}

/* Решить задачу Ханойской башни */
function solveHanota(A, B, C) {
    const n = A.length;
    // Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
    dfs(n, A, B, C);
}
```

=== "TS"

```typescript title="hanota.ts"
/* Переместить один диск */
function move(src: number[], tar: number[]): void {
    // Снять диск с вершины src
    const pan = src.pop();
    // Положить диск на вершину tar
    tar.push(pan);
}

/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
function dfs(i: number, src: number[], buf: number[], tar: number[]): void {
    // Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
    if (i === 1) {
        move(src, tar);
        return;
    }
    // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
    dfs(i - 1, src, tar, buf);
    // Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
    move(src, tar);
    // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
    dfs(i - 1, buf, src, tar);
}

/* Решить задачу Ханойской башни */
function solveHanota(A: number[], B: number[], C: number[]): void {
    const n = A.length;
    // Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
    dfs(n, A, B, C);
}
```

=== "Dart"

```dart title="hanota.dart"
/* Переместить один диск */
void move(List<int> src, List<int> tar) {
  // Снять диск с вершины src
  int pan = src.removeLast();
  // Положить диск на вершину tar
  tar.add(pan);
}

/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
void dfs(int i, List<int> src, List<int> buf, List<int> tar) {
  // Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
  if (i == 1) {
    move(src, tar);
    return;
  }
  // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
  dfs(i - 1, src, tar, buf);
  // Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
  move(src, tar);
  // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
  dfs(i - 1, buf, src, tar);
}

/* Решить задачу Ханойской башни */
void solveHanota(List<int> A, List<int> B, List<int> C) {
  int n = A.length;
  // Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
  dfs(n, A, B, C);
}
```

=== "Rust"

```rust title="hanota.rs"
/* Переместить один диск */
fn move_pan(src: &mut Vec<i32>, tar: &mut Vec<i32>) {
    // Снять диск с вершины src
    let pan = src.pop().unwrap();
    // Положить диск на вершину tar
    tar.push(pan);
}

/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
fn dfs(i: i32, src: &mut Vec<i32>, buf: &mut Vec<i32>, tar: &mut Vec<i32>) {
    // Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
    if i == 1 {
        move_pan(src, tar);
        return;
    }
    // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
    dfs(i - 1, src, tar, buf);
    // Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
    move_pan(src, tar);
    // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
    dfs(i - 1, buf, src, tar);
}

/* Решить задачу Ханойской башни */
fn solve_hanota(A: &mut Vec<i32>, B: &mut Vec<i32>, C: &mut Vec<i32>) {
    let n = A.len() as i32;
    // Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
    dfs(n, A, B, C);
}
```

=== "C"

```c title="hanota.c"
/* Переместить один диск */
void move(int *src, int *srcSize, int *tar, int *tarSize) {
    // Снять диск с вершины src
    int pan = src[*srcSize - 1];
    src[*srcSize - 1] = 0;
    (*srcSize)--;
    // Положить диск на вершину tar
    tar[*tarSize] = pan;
    (*tarSize)++;
}

/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
void dfs(int i, int *src, int *srcSize, int *buf, int *bufSize, int *tar, int *tarSize) {
    // Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
    if (i == 1) {
        move(src, srcSize, tar, tarSize);
        return;
    }
    // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
    dfs(i - 1, src, srcSize, tar, tarSize, buf, bufSize);
    // Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
    move(src, srcSize, tar, tarSize);
    // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
    dfs(i - 1, buf, bufSize, src, srcSize, tar, tarSize);
}

/* Решить задачу Ханойской башни */
void solveHanota(int *A, int *ASize, int *B, int *BSize, int *C, int *CSize) {
    // Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
    dfs(*ASize, A, ASize, B, BSize, C, CSize);
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="hanota.kt"
/* Переместить один диск */
fun move(src: MutableList<Int>, tar: MutableList<Int>) {
    // Снять диск с вершины src
    val pan = src.removeAt(src.size - 1)
    // Положить диск на вершину tar
    tar.add(pan)
}

/* Решить задачу Ханойской башни f(i) */
fun dfs(i: Int, src: MutableList<Int>, buf: MutableList<Int>, tar: MutableList<Int>) {
    // Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
    if (i == 1) {
        move(src, tar)
        return
    }
    // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
    dfs(i - 1, src, tar, buf)
    // Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
    move(src, tar)
    // Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
    dfs(i - 1, buf, src, tar)
}

/* Решить задачу Ханойской башни */
fun solveHanota(A: MutableList<Int>, B: MutableList<Int>, C: MutableList<Int>) {
    val n = A.size
    // Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
    dfs(n, A, B, C)
}
```

=== "Ruby"

```ruby title="hanota.rb"
### Переместить один диск ###
def move(src, tar)
  # Снять диск с вершины src
  pan = src.pop
  # Положить диск на вершину tar
  tar << pan
end

### Решить задачу Ханойской башни f(i) ###
def dfs(i, src, buf, tar)
  # Если в src остался только один диск, сразу переместить его в tar
  if i == 1
    move(src, tar)
    return
  end

  # Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из src в buf с помощью tar
  dfs(i - 1, src, tar, buf)
  # Подзадача f(1): переместить оставшийся один диск из src в tar
  move(src, tar)
  # Подзадача f(i-1): переместить верхние i-1 дисков из buf в tar с помощью src
  dfs(i - 1, buf, src, tar)
end

### Решить задачу Ханойской башни ###
def solve_hanota(_A, _B, _C)
  n = _A.length
  # Переместить верхние n дисков из A в C с помощью B
  dfs(n, _A, _B, _C)
end
```

??? pythontutor "Визуализация кода"

<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20move%28src%3A%20list%5Bint%5D%2C%20tar%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A1%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%20%D1%81%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D1%8B%20src%0A%20%20%20%20pan%20%3D%20src.pop%28%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D1%83%20tar%0A%20%20%20%20tar.append%28pan%29%0A%0A%0Adef%20dfs%28i%3A%20int%2C%20src%3A%20list%5Bint%5D%2C%20buf%3A%20list%5Bint%5D%2C%20tar%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D1%83%20%D0%A5%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B9%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9%20%D0%B1%D0%B0%D1%88%D0%BD%D0%B8%20f%28i%29%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%20src%20%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%81%D1%8F%20%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%BE%20%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%2C%20%D1%81%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%83%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B5%D0%B3%D0%BE%20%D0%B2%20tar%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20move%28src%2C%20tar%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%20f%28i-1%29%3A%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20i-1%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%B8%D0%B7%20src%20%D0%B2%20buf%20%D1%81%20%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E%20tar%0A%20%20%20%20dfs%28i%20-%201%2C%20src%2C%20tar%2C%20buf%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%20f%281%29%3A%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D1%88%D0%B8%D0%B9%D1%81%D1%8F%20%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%20%D0%B8%D0%B7%20src%20%D0%B2%20tar%0A%20%20%20%20move%28src%2C%20tar%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%20f%28i-1%29%3A%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20i-1%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%B8%D0%B7%20buf%20%D0%B2%20tar%20%D1%81%20%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E%20src%0A%20%20%20%20dfs%28i%20-%201%2C%20buf%2C%20src%2C%20tar%29%0A%0A%0Adef%20solve_hanota%28A%3A%20list%5Bint%5D%2C%20B%3A%20list%5Bint%5D%2C%20C%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D1%83%20%D0%A5%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B9%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9%20%D0%B1%D0%B0%D1%88%D0%BD%D0%B8%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28A%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20n%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%B8%D0%B7%20A%20%D0%B2%20C%20%D1%81%20%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E%20B%0A%20%20%20%20dfs%28n%2C%20A%2C%20B%2C%20C%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A5%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%20%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0%20%D1%81%D0%BE%D0%BE%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%82%D0%B2%D1%83%D0%B5%D1%82%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%B5%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B1%D1%86%D0%B0%0A%20%20%20%20A%20%3D%20%5B5%2C%204%2C%203%2C%202%2C%201%5D%0A%20%20%20%20B%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20C%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%98%D1%81%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%3A%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22A%20%3D%20%7BA%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22B%20%3D%20%7BB%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22C%20%3D%20%7BC%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20solve_hanota%28A%2C%20B%2C%20C%29%0A%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%20%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B2%3A%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22A%20%3D%20%7BA%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22B%20%3D%20%7BB%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22C%20%3D%20%7BC%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=12&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20move%28src%3A%20list%5Bint%5D%2C%20tar%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A1%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%20%D1%81%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D1%8B%20src%0A%20%20%20%20pan%20%3D%20src.pop%28%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D1%83%20tar%0A%20%20%20%20tar.append%28pan%29%0A%0A%0Adef%20dfs%28i%3A%20int%2C%20src%3A%20list%5Bint%5D%2C%20buf%3A%20list%5Bint%5D%2C%20tar%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D1%83%20%D0%A5%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B9%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9%20%D0%B1%D0%B0%D1%88%D0%BD%D0%B8%20f%28i%29%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%20src%20%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%81%D1%8F%20%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%BE%20%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%2C%20%D1%81%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%83%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B5%D0%B3%D0%BE%20%D0%B2%20tar%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20move%28src%2C%20tar%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%20f%28i-1%29%3A%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20i-1%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%B8%D0%B7%20src%20%D0%B2%20buf%20%D1%81%20%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E%20tar%0A%20%20%20%20dfs%28i%20-%201%2C%20src%2C%20tar%2C%20buf%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%20f%281%29%3A%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D1%88%D0%B8%D0%B9%D1%81%D1%8F%20%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%20%D0%B8%D0%B7%20src%20%D0%B2%20tar%0A%20%20%20%20move%28src%2C%20tar%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%20f%28i-1%29%3A%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20i-1%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%B8%D0%B7%20buf%20%D0%B2%20tar%20%D1%81%20%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E%20src%0A%20%20%20%20dfs%28i%20-%201%2C%20buf%2C%20src%2C%20tar%29%0A%0A%0Adef%20solve_hanota%28A%3A%20list%5Bint%5D%2C%20B%3A%20list%5Bint%5D%2C%20C%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D1%83%20%D0%A5%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B9%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9%20%D0%B1%D0%B0%D1%88%D0%BD%D0%B8%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28A%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20n%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B2%20%D0%B8%D0%B7%20A%20%D0%B2%20C%20%D1%81%20%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E%20B%0A%20%20%20%20dfs%28n%2C%20A%2C%20B%2C%20C%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A5%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%20%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0%20%D1%81%D0%BE%D0%BE%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%82%D0%B2%D1%83%D0%B5%D1%82%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%B5%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B1%D1%86%D0%B0%0A%20%20%20%20A%20%3D%20%5B5%2C%204%2C%203%2C%202%2C%201%5D%0A%20%20%20%20B%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20C%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%98%D1%81%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%3A%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22A%20%3D%20%7BA%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22B%20%3D%20%7BB%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22C%20%3D%20%7BC%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20solve_hanota%28A%2C%20B%2C%20C%29%0A%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%20%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B2%3A%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22A%20%3D%20%7BA%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22B%20%3D%20%7BB%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22C%20%3D%20%7BC%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=12&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>

Как показано на рисунке 12-15, задача о Ханойской башне формирует дерево рекурсии высоты n , в котором каждый узел представляет подзадачу и соответствует одному открытому вызову dfs(). Поэтому временная сложность равна O(2^n) , а пространственная сложность равна $O(n)$ .

{ class="animation-figure" }

Рисунок 12-15   Дерево рекурсии задачи о Ханойской башне

!!! quote

Задача о Ханойской башне происходит из древней легенды. В одном из храмов древней Индии монахи имели три высоких алмазных стержня и $64$ золотых диска разного размера. Монахи непрерывно перекладывали диски и верили, что в тот момент, когда последний диск будет правильно перенесен, мир подойдет к концу.

Однако даже если бы монахи перемещали по одному диску в секунду, им понадобилось бы примерно $2^{64} \approx 1.84×10^{19}$ секунд, то есть около $585$ миллиардов лет, что намного превышает текущую оценку возраста Вселенной. Поэтому, если легенда и верна, нам, вероятно, пока не о чем беспокоиться.