hello-algo/ru/docs/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md

comments

comments
true

14.1   Первое знакомство с динамическим программированием

Динамическое программирование (dynamic programming) - это важная алгоритмическая парадигма, которая разбивает задачу на последовательность более мелких подзадач и за счет хранения их решений избегает повторных вычислений, тем самым резко повышая эффективность по времени.

В этом разделе мы начнем с классического примера: сначала представим его грубое решение методом поиска с возвратом, увидим в нем перекрывающиеся подзадачи, а затем постепенно выведем более эффективное решение на основе динамического программирования.

!!! question "Подъем по лестнице"

Дана лестница из $n$ ступеней. За один шаг можно подняться на $1$ или на $2$ ступени. Сколькими способами можно добраться до вершины?

Как показано на рисунке 14-1, для лестницы из 3 ступеней существует 3 способа добраться до вершины.

{ class="animation-figure" }

Рисунок 14-1   Число способов подняться на 3-ю ступень

Цель этой задачи - вычислить количество способов. Поэтому можно попробовать использовать для ее решения метод поиска с возвратом. Если представить подъем по лестнице как последовательность решений, то мы начинаем от земли и на каждом раунде выбираем прыжок на 1 или на 2 ступени. Всякий раз, когда достигаем вершины, увеличиваем число способов на 1 , а если перескакиваем вершину, обрезаем эту ветвь. Код выглядит так:

=== "Python"

```python title="climbing_stairs_backtrack.py"
def backtrack(choices: list[int], state: int, n: int, res: list[int]) -> int:
    """Бэктрекинг"""
    # Когда подъем достигает n-й ступени, число вариантов увеличивается на 1
    if state == n:
        res[0] += 1
    # Перебор всех вариантов выбора
    for choice in choices:
        # Отсечение: нельзя выходить за n-ю ступень
        if state + choice > n:
            continue
        # Попытка: сделать выбор и обновить состояние
        backtrack(choices, state + choice, n, res)
        # Откат

def climbing_stairs_backtrack(n: int) -> int:
    """Подъем по лестнице: бэктрекинг"""
    choices = [1, 2]  # Можно подняться на 1 или 2 ступени
    state = 0  # Начать подъем с 0-й ступени
    res = [0]  # Использовать res[0] для хранения числа решений
    backtrack(choices, state, n, res)
    return res[0]
```

=== "C++"

```cpp title="climbing_stairs_backtrack.cpp"
/* Бэктрекинг */
void backtrack(vector<int> &choices, int state, int n, vector<int> &res) {
    // Когда подъем достигает n-й ступени, число вариантов увеличивается на 1
    if (state == n)
        res[0]++;
    // Перебор всех вариантов выбора
    for (auto &choice : choices) {
        // Отсечение: нельзя выходить за n-ю ступень
        if (state + choice > n)
            continue;
        // Попытка: сделать выбор и обновить состояние
        backtrack(choices, state + choice, n, res);
        // Откат
    }
}

/* Подъем по лестнице: бэктрекинг */
int climbingStairsBacktrack(int n) {
    vector<int> choices = {1, 2}; // Можно подняться на 1 или 2 ступени
    int state = 0;                // Начать подъем с 0-й ступени
    vector<int> res = {0};        // Использовать res[0] для хранения числа решений
    backtrack(choices, state, n, res);
    return res[0];
}
```

=== "Java"

```java title="climbing_stairs_backtrack.java"
/* Бэктрекинг */
void backtrack(List<Integer> choices, int state, int n, List<Integer> res) {
    // Когда подъем достигает n-й ступени, число вариантов увеличивается на 1
    if (state == n)
        res.set(0, res.get(0) + 1);
    // Перебор всех вариантов выбора
    for (Integer choice : choices) {
        // Отсечение: нельзя выходить за n-ю ступень
        if (state + choice > n)
            continue;
        // Попытка: сделать выбор и обновить состояние
        backtrack(choices, state + choice, n, res);
        // Откат
    }
}

/* Подъем по лестнице: бэктрекинг */
int climbingStairsBacktrack(int n) {
    List<Integer> choices = Arrays.asList(1, 2); // Можно подняться на 1 или 2 ступени
    int state = 0; // Начать подъем с 0-й ступени
    List<Integer> res = new ArrayList<>();
    res.add(0); // Использовать res[0] для хранения числа решений
    backtrack(choices, state, n, res);
    return res.get(0);
}
```

=== "C#"

```csharp title="climbing_stairs_backtrack.cs"
/* Бэктрекинг */
void Backtrack(List<int> choices, int state, int n, List<int> res) {
    // Когда подъем достигает n-й ступени, число вариантов увеличивается на 1
    if (state == n)
        res[0]++;
    // Перебор всех вариантов выбора
    foreach (int choice in choices) {
        // Отсечение: нельзя выходить за n-ю ступень
        if (state + choice > n)
            continue;
        // Попытка: сделать выбор и обновить состояние
        Backtrack(choices, state + choice, n, res);
        // Откат
    }
}

/* Подъем по лестнице: бэктрекинг */
int ClimbingStairsBacktrack(int n) {
    List<int> choices = [1, 2]; // Можно подняться на 1 или 2 ступени
    int state = 0; // Начать подъем с 0-й ступени
    List<int> res = [0]; // Использовать res[0] для хранения числа решений
    Backtrack(choices, state, n, res);
    return res[0];
}
```

=== "Go"

```go title="climbing_stairs_backtrack.go"
/* Бэктрекинг */
func backtrack(choices []int, state, n int, res []int) {
    // Когда подъем достигает n-й ступени, число вариантов увеличивается на 1
    if state == n {
        res[0] = res[0] + 1
    }
    // Перебор всех вариантов выбора
    for _, choice := range choices {
        // Отсечение: нельзя выходить за n-ю ступень
        if state+choice > n {
            continue
        }
        // Попытка: сделать выбор и обновить состояние
        backtrack(choices, state+choice, n, res)
        // Откат
    }
}

/* Подъем по лестнице: бэктрекинг */
func climbingStairsBacktrack(n int) int {
    // Можно подняться на 1 или 2 ступени
    choices := []int{1, 2}
    // Начать подъем с 0-й ступени
    state := 0
    res := make([]int, 1)
    // Использовать res[0] для хранения числа решений
    res[0] = 0
    backtrack(choices, state, n, res)
    return res[0]
}
```

=== "Swift"

```swift title="climbing_stairs_backtrack.swift"
/* Бэктрекинг */
func backtrack(choices: [Int], state: Int, n: Int, res: inout [Int]) {
    // Когда подъем достигает n-й ступени, число вариантов увеличивается на 1
    if state == n {
        res[0] += 1
    }
    // Перебор всех вариантов выбора
    for choice in choices {
        // Отсечение: нельзя выходить за n-ю ступень
        if state + choice > n {
            continue
        }
        // Попытка: сделать выбор и обновить состояние
        backtrack(choices: choices, state: state + choice, n: n, res: &res)
        // Откат
    }
}

/* Подъем по лестнице: бэктрекинг */
func climbingStairsBacktrack(n: Int) -> Int {
    let choices = [1, 2] // Можно подняться на 1 или 2 ступени
    let state = 0 // Начать подъем с 0-й ступени
    var res: [Int] = []
    res.append(0) // Использовать res[0] для хранения числа решений
    backtrack(choices: choices, state: state, n: n, res: &res)
    return res[0]
}
```

=== "JS"

```javascript title="climbing_stairs_backtrack.js"
/* Бэктрекинг */
function backtrack(choices, state, n, res) {
    // Когда подъем достигает n-й ступени, число вариантов увеличивается на 1
    if (state === n) res.set(0, res.get(0) + 1);
    // Перебор всех вариантов выбора
    for (const choice of choices) {
        // Отсечение: нельзя выходить за n-ю ступень
        if (state + choice > n) continue;
        // Попытка: сделать выбор и обновить состояние
        backtrack(choices, state + choice, n, res);
        // Откат
    }
}

/* Подъем по лестнице: бэктрекинг */
function climbingStairsBacktrack(n) {
    const choices = [1, 2]; // Можно подняться на 1 или 2 ступени
    const state = 0; // Начать подъем с 0-й ступени
    const res = new Map();
    res.set(0, 0); // Использовать res[0] для хранения числа решений
    backtrack(choices, state, n, res);
    return res.get(0);
}
```

=== "TS"

```typescript title="climbing_stairs_backtrack.ts"
/* Бэктрекинг */
function backtrack(
    choices: number[],
    state: number,
    n: number,
    res: Map<0, any>
): void {
    // Когда подъем достигает n-й ступени, число вариантов увеличивается на 1
    if (state === n) res.set(0, res.get(0) + 1);
    // Перебор всех вариантов выбора
    for (const choice of choices) {
        // Отсечение: нельзя выходить за n-ю ступень
        if (state + choice > n) continue;
        // Попытка: сделать выбор и обновить состояние
        backtrack(choices, state + choice, n, res);
        // Откат
    }
}

/* Подъем по лестнице: бэктрекинг */
function climbingStairsBacktrack(n: number): number {
    const choices = [1, 2]; // Можно подняться на 1 или 2 ступени
    const state = 0; // Начать подъем с 0-й ступени
    const res = new Map();
    res.set(0, 0); // Использовать res[0] для хранения числа решений
    backtrack(choices, state, n, res);
    return res.get(0);
}
```

=== "Dart"

```dart title="climbing_stairs_backtrack.dart"
/* Бэктрекинг */
void backtrack(List<int> choices, int state, int n, List<int> res) {
  // Когда подъем достигает n-й ступени, число вариантов увеличивается на 1
  if (state == n) {
    res[0]++;
  }
  // Перебор всех вариантов выбора
  for (int choice in choices) {
    // Отсечение: нельзя выходить за n-ю ступень
    if (state + choice > n) continue;
    // Попытка: сделать выбор и обновить состояние
    backtrack(choices, state + choice, n, res);
    // Откат
  }
}

/* Подъем по лестнице: бэктрекинг */
int climbingStairsBacktrack(int n) {
  List<int> choices = [1, 2]; // Можно подняться на 1 или 2 ступени
  int state = 0; // Начать подъем с 0-й ступени
  List<int> res = [];
  res.add(0); // Использовать res[0] для хранения числа решений
  backtrack(choices, state, n, res);
  return res[0];
}
```

=== "Rust"

```rust title="climbing_stairs_backtrack.rs"
/* Бэктрекинг */
fn backtrack(choices: &[i32], state: i32, n: i32, res: &mut [i32]) {
    // Когда подъем достигает n-й ступени, число вариантов увеличивается на 1
    if state == n {
        res[0] = res[0] + 1;
    }
    // Перебор всех вариантов выбора
    for &choice in choices {
        // Отсечение: нельзя выходить за n-ю ступень
        if state + choice > n {
            continue;
        }
        // Попытка: сделать выбор и обновить состояние
        backtrack(choices, state + choice, n, res);
        // Откат
    }
}

/* Подъем по лестнице: бэктрекинг */
fn climbing_stairs_backtrack(n: usize) -> i32 {
    let choices = vec![1, 2]; // Можно подняться на 1 или 2 ступени
    let state = 0; // Начать подъем с 0-й ступени
    let mut res = Vec::new();
    res.push(0); // Использовать res[0] для хранения числа решений
    backtrack(&choices, state, n as i32, &mut res);
    res[0]
}
```

=== "C"

```c title="climbing_stairs_backtrack.c"
/* Бэктрекинг */
void backtrack(int *choices, int state, int n, int *res, int len) {
    // Когда подъем достигает n-й ступени, число вариантов увеличивается на 1
    if (state == n)
        res[0]++;
    // Перебор всех вариантов выбора
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        int choice = choices[i];
        // Отсечение: нельзя выходить за n-ю ступень
        if (state + choice > n)
            continue;
        // Попытка: сделать выбор и обновить состояние
        backtrack(choices, state + choice, n, res, len);
        // Откат
    }
}

/* Подъем по лестнице: бэктрекинг */
int climbingStairsBacktrack(int n) {
    int choices[2] = {1, 2}; // Можно подняться на 1 или 2 ступени
    int state = 0;           // Начать подъем с 0-й ступени
    int *res = (int *)malloc(sizeof(int));
    *res = 0; // Использовать res[0] для хранения числа решений
    int len = sizeof(choices) / sizeof(int);
    backtrack(choices, state, n, res, len);
    int result = *res;
    free(res);
    return result;
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="climbing_stairs_backtrack.kt"
/* Бэктрекинг */
fun backtrack(
    choices: MutableList<Int>,
    state: Int,
    n: Int,
    res: MutableList<Int>
) {
    // Когда подъем достигает n-й ступени, число вариантов увеличивается на 1
    if (state == n)
        res[0] = res[0] + 1
    // Перебор всех вариантов выбора
    for (choice in choices) {
        // Отсечение: нельзя выходить за n-ю ступень
        if (state + choice > n) continue
        // Попытка: сделать выбор и обновить состояние
        backtrack(choices, state + choice, n, res)
        // Откат
    }
}

/* Подъем по лестнице: бэктрекинг */
fun climbingStairsBacktrack(n: Int): Int {
    val choices = mutableListOf(1, 2) // Можно подняться на 1 или 2 ступени
    val state = 0 // Начать подъем с 0-й ступени
    val res = mutableListOf<Int>()
    res.add(0) // Использовать res[0] для хранения числа решений
    backtrack(choices, state, n, res)
    return res[0]
}
```

=== "Ruby"

```ruby title="climbing_stairs_backtrack.rb"
### Бэктрекинг ###
def backtrack(choices, state, n, res)
  # Когда подъем достигает n-й ступени, число вариантов увеличивается на 1
  res[0] += 1 if state == n
  # Перебор всех вариантов выбора
  for choice in choices
    # Отсечение: нельзя выходить за n-ю ступень
    next if state + choice > n

    # Попытка: сделать выбор и обновить состояние
    backtrack(choices, state + choice, n, res)
  end
  # Откат
end

### Подъем по лестнице: бэктрекинг ###
def climbing_stairs_backtrack(n)
  choices = [1, 2] # Можно подняться на 1 или 2 ступени
  state = 0 # Начать подъем с 0-й ступени
  res = [0] # Использовать res[0] для хранения числа решений
  backtrack(choices, state, n, res)
  res.first
end
```

??? pythontutor "Визуализация кода"

<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28choices%3A%20list%5Bint%5D%2C%20state%3A%20int%2C%20n%3A%20int%2C%20res%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%91%D1%8D%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B3%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9A%D0%BE%D0%B3%D0%B4%D0%B0%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D0%B5%D0%BC%20%D0%B4%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%B3%D0%B0%D0%B5%D1%82%20n-%D0%B9%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B8%2C%20%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%20%D1%83%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%8F%20%D0%BD%D0%B0%201%0A%20%20%20%20if%20state%20%3D%3D%20n%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res%5B0%5D%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%20%D0%B2%D1%81%D0%B5%D1%85%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%B0%0A%20%20%20%20for%20choice%20in%20choices%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9E%D1%82%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%3A%20%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D1%8F%20%D0%B2%D1%8B%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B7%D0%B0%20n-%D1%8E%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20state%20%2B%20choice%20%3E%20n%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D1%8B%D1%82%D0%BA%D0%B0%3A%20%D1%81%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%20%D0%B8%20%D0%BE%D0%B1%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28choices%2C%20state%20%2B%20choice%2C%20n%2C%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9E%D1%82%D0%BA%D0%B0%D1%82%0A%0A%0Adef%20climbing_stairs_backtrack%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D0%B5%D0%BC%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%3A%20%D0%B1%D1%8D%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B3%22%22%22%0A%20%20%20%20choices%20%3D%20%5B1%2C%202%5D%20%20%23%20%D0%9C%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F%20%D0%BD%D0%B0%201%20%D0%B8%D0%BB%D0%B8%202%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B8%0A%20%20%20%20state%20%3D%200%20%20%23%20%D0%9D%D0%B0%D1%87%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D0%B5%D0%BC%20%D1%81%200-%D0%B9%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B8%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B0%5D%20%20%23%20%D0%98%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D1%8C%20res%5B0%5D%20%D0%B4%D0%BB%D1%8F%20%D1%85%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9%0A%20%20%20%20backtrack%28choices%2C%20state%2C%20n%2C%20res%29%0A%20%20%20%20return%20res%5B0%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_backtrack%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%20%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%20%D0%B8%D0%B7%20%7Bn%7D%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%B9%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28choices%3A%20list%5Bint%5D%2C%20state%3A%20int%2C%20n%3A%20int%2C%20res%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%91%D1%8D%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B3%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9A%D0%BE%D0%B3%D0%B4%D0%B0%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D0%B5%D0%BC%20%D0%B4%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%B3%D0%B0%D0%B5%D1%82%20n-%D0%B9%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B8%2C%20%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%20%D1%83%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%8F%20%D0%BD%D0%B0%201%0A%20%20%20%20if%20state%20%3D%3D%20n%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res%5B0%5D%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%20%D0%B2%D1%81%D0%B5%D1%85%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%B0%0A%20%20%20%20for%20choice%20in%20choices%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9E%D1%82%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%3A%20%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D1%8F%20%D0%B2%D1%8B%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B7%D0%B0%20n-%D1%8E%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20state%20%2B%20choice%20%3E%20n%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D1%8B%D1%82%D0%BA%D0%B0%3A%20%D1%81%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%20%D0%B8%20%D0%BE%D0%B1%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28choices%2C%20state%20%2B%20choice%2C%20n%2C%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9E%D1%82%D0%BA%D0%B0%D1%82%0A%0A%0Adef%20climbing_stairs_backtrack%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D0%B5%D0%BC%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%3A%20%D0%B1%D1%8D%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B3%22%22%22%0A%20%20%20%20choices%20%3D%20%5B1%2C%202%5D%20%20%23%20%D0%9C%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F%20%D0%BD%D0%B0%201%20%D0%B8%D0%BB%D0%B8%202%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B8%0A%20%20%20%20state%20%3D%200%20%20%23%20%D0%9D%D0%B0%D1%87%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D0%B5%D0%BC%20%D1%81%200-%D0%B9%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B8%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B0%5D%20%20%23%20%D0%98%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D1%8C%20res%5B0%5D%20%D0%B4%D0%BB%D1%8F%20%D1%85%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9%0A%20%20%20%20backtrack%28choices%2C%20state%2C%20n%2C%20res%29%0A%20%20%20%20return%20res%5B0%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_backtrack%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%20%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%20%D0%B8%D0%B7%20%7Bn%7D%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%B9%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>

14.1.1   Метод 1: полный перебор

Алгоритм поиска с возвратом обычно не раскладывает задачу явно на подзадачи. Вместо этого он рассматривает решение как последовательность решений, используя попытки и обрезку для поиска всех возможных ответов.

Попробуем посмотреть на задачу именно как на разложение подзадач. Пусть число способов добраться до ступени i равно dp[i]. Тогда dp[i] - это исходная задача, а ее подзадачи включают:

dp[i-1], dp[i-2], \dots, dp[2], dp[1]

Поскольку за один раунд можно подняться только на 1 или на 2 ступени, стоя на ступени i , в предыдущий раунд мы могли находиться только на ступени i - 1 или на ступени i - 2 . Иначе говоря, на ступень i можно попасть только со ступени i -1 или со ступени i - 2 .

Отсюда получается важный вывод: число способов добраться до ступени i - 1 плюс число способов добраться до ступени i - 2 равно числу способов добраться до ступени $i$. Формула имеет вид:

dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

Это означает, что в задаче о подъеме по лестнице между подзадачами существует рекуррентная зависимость, и решение исходной задачи может быть построено на основе решений подзадач. Эта связь показана на рисунке 14-2.

{ class="animation-figure" }

Рисунок 14-2   Рекуррентная связь числа способов

По рекуррентной формуле можно получить решение полного перебора. Начиная с dp[n] , мы рекурсивно разлагаем большую задачу в сумму двух меньших задач , пока не дойдем до наименьших подзадач dp[1] и dp[2] . Их решения уже известны: dp[1] = 1 и dp[2] = 2 , что означает 1 и 2 способа подняться соответственно на $1$-ю и $2$-ю ступени.

Посмотрите на следующий код: как и стандартный поиск с возвратом, он относится к поиску в глубину, но выглядит более компактно:

=== "Python"

```python title="climbing_stairs_dfs.py"
def dfs(i: int) -> int:
    """Поиск"""
    # dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if i == 1 or i == 2:
        return i
    # dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2)
    return count

def climbing_stairs_dfs(n: int) -> int:
    """Подъем по лестнице: поиск"""
    return dfs(n)
```

=== "C++"

```cpp title="climbing_stairs_dfs.cpp"
/* Поиск */
int dfs(int i) {
    // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
    return count;
}

/* Подъем по лестнице: поиск */
int climbingStairsDFS(int n) {
    return dfs(n);
}
```

=== "Java"

```java title="climbing_stairs_dfs.java"
/* Поиск */
int dfs(int i) {
    // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
    return count;
}

/* Подъем по лестнице: поиск */
int climbingStairsDFS(int n) {
    return dfs(n);
}
```

=== "C#"

```csharp title="climbing_stairs_dfs.cs"
/* Поиск */
int DFS(int i) {
    // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = DFS(i - 1) + DFS(i - 2);
    return count;
}

/* Подъем по лестнице: поиск */
int ClimbingStairsDFS(int n) {
    return DFS(n);
}
```

=== "Go"

```go title="climbing_stairs_dfs.go"
/* Поиск */
func dfs(i int) int {
    // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if i == 1 || i == 2 {
        return i
    }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    count := dfs(i-1) + dfs(i-2)
    return count
}

/* Подъем по лестнице: поиск */
func climbingStairsDFS(n int) int {
    return dfs(n)
}
```

=== "Swift"

```swift title="climbing_stairs_dfs.swift"
/* Поиск */
func dfs(i: Int) -> Int {
    // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if i == 1 || i == 2 {
        return i
    }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    let count = dfs(i: i - 1) + dfs(i: i - 2)
    return count
}

/* Подъем по лестнице: поиск */
func climbingStairsDFS(n: Int) -> Int {
    dfs(i: n)
}
```

=== "JS"

```javascript title="climbing_stairs_dfs.js"
/* Поиск */
function dfs(i) {
    // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if (i === 1 || i === 2) return i;
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    const count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
    return count;
}

/* Подъем по лестнице: поиск */
function climbingStairsDFS(n) {
    return dfs(n);
}
```

=== "TS"

```typescript title="climbing_stairs_dfs.ts"
/* Поиск */
function dfs(i: number): number {
    // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if (i === 1 || i === 2) return i;
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    const count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
    return count;
}

/* Подъем по лестнице: поиск */
function climbingStairsDFS(n: number): number {
    return dfs(n);
}
```

=== "Dart"

```dart title="climbing_stairs_dfs.dart"
/* Поиск */
int dfs(int i) {
  // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
  if (i == 1 || i == 2) return i;
  // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
  int count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
  return count;
}

/* Подъем по лестнице: поиск */
int climbingStairsDFS(int n) {
  return dfs(n);
}
```

=== "Rust"

```rust title="climbing_stairs_dfs.rs"
/* Поиск */
fn dfs(i: usize) -> i32 {
    // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if i == 1 || i == 2 {
        return i as i32;
    }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    let count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
    count
}

/* Подъем по лестнице: поиск */
fn climbing_stairs_dfs(n: usize) -> i32 {
    dfs(n)
}
```

=== "C"

```c title="climbing_stairs_dfs.c"
/* Поиск */
int dfs(int i) {
    // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
    return count;
}

/* Подъем по лестнице: поиск */
int climbingStairsDFS(int n) {
    return dfs(n);
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="climbing_stairs_dfs.kt"
/* Поиск */
fun dfs(i: Int): Int {
    // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if (i == 1 || i == 2) return i
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    val count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2)
    return count
}

/* Подъем по лестнице: поиск */
fun climbingStairsDFS(n: Int): Int {
    return dfs(n)
}
```

=== "Ruby"

```ruby title="climbing_stairs_dfs.rb"
### Поиск ###
def dfs(i)
  # dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
  return i if i == 1 || i == 2
  # dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
  dfs(i - 1) + dfs(i - 2)
end

### Подъем по лестнице: поиск ###
def climbing_stairs_dfs(n)
  dfs(n)
end
```

??? pythontutor "Визуализация кода"

<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20dfs%28i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20dp%5B1%5D%20%D0%B8%20dp%5B2%5D%20%D1%83%D0%B6%D0%B5%20%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%2C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D0%B8%D1%85%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%201%20or%20i%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20i%0A%20%20%20%20%23%20dp%5Bi%5D%20%3D%20dp%5Bi-1%5D%20%2B%20dp%5Bi-2%5D%0A%20%20%20%20count%20%3D%20dfs%28i%20-%201%29%20%2B%20dfs%28i%20-%202%29%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%0Adef%20climbing_stairs_dfs%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D0%B5%D0%BC%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%3A%20%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA%22%22%22%0A%20%20%20%20return%20dfs%28n%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dfs%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%20%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%20%D0%B8%D0%B7%20%7Bn%7D%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%B9%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20dfs%28i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20dp%5B1%5D%20%D0%B8%20dp%5B2%5D%20%D1%83%D0%B6%D0%B5%20%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%2C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D0%B8%D1%85%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%201%20or%20i%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20i%0A%20%20%20%20%23%20dp%5Bi%5D%20%3D%20dp%5Bi-1%5D%20%2B%20dp%5Bi-2%5D%0A%20%20%20%20count%20%3D%20dfs%28i%20-%201%29%20%2B%20dfs%28i%20-%202%29%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%0Adef%20climbing_stairs_dfs%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D0%B5%D0%BC%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%3A%20%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA%22%22%22%0A%20%20%20%20return%20dfs%28n%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dfs%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%20%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%20%D0%B8%D0%B7%20%7Bn%7D%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%B9%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>

На рисунке 14-3 показано дерево рекурсии, возникающее при полном переборе. Для задачи dp[n] глубина дерева рекурсии равна n , а временная сложность равна O(2^n) . Экспоненциальный рост взрывообразен: если подать на вход достаточно большое значение n , ожидание станет очень долгим.

{ class="animation-figure" }

Рисунок 14-3   Дерево рекурсии для подъема по лестнице

Как видно на рисунке 14-3, экспоненциальная временная сложность порождается «перекрывающимися подзадачами». Например, dp[9] раскладывается в dp[8] и dp[7] , а dp[8] - в dp[7] и dp[6]. Обе ветви содержат подзадачу dp[7] .

Продолжая это рассуждение, мы видим, что подзадачи порождают все более мелкие перекрывающиеся подзадачи без конца. Подавляющая часть вычислительных ресурсов уходит именно на них.

14.1.2   Метод 2: поиск с мемоизацией

Чтобы ускорить алгоритм, мы хотим, чтобы каждая перекрывающаяся подзадача вычислялась только один раз. Для этого объявим массив mem для хранения решения каждой подзадачи и будем обрезать повторные вычисления в процессе поиска.

1. Когда dp[i] вычисляется впервые, мы сохраняем его в mem[i] для последующего использования.
2. Когда значение dp[i] требуется снова, мы просто берем его напрямую из mem[i] и тем самым избегаем повторного вычисления подзадачи.

Код приведен ниже:

=== "Python"

```python title="climbing_stairs_dfs_mem.py"
def dfs(i: int, mem: list[int]) -> int:
    """Поиск с мемоизацией"""
    # dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if i == 1 or i == 2:
        return i
    # Если запись dp[i] существует, сразу вернуть ее
    if mem[i] != -1:
        return mem[i]
    # dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem)
    # Сохранить dp[i]
    mem[i] = count
    return count

def climbing_stairs_dfs_mem(n: int) -> int:
    """Подъем по лестнице: поиск с мемоизацией"""
    # mem[i] хранит число способов подняться на i-ю ступень, -1 означает отсутствие записи
    mem = [-1] * (n + 1)
    return dfs(n, mem)
```

=== "C++"

```cpp title="climbing_stairs_dfs_mem.cpp"
/* Поиск с мемоизацией */
int dfs(int i, vector<int> &mem) {
    // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // Если запись dp[i] существует, сразу вернуть ее
    if (mem[i] != -1)
        return mem[i];
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
    // Сохранить dp[i]
    mem[i] = count;
    return count;
}

/* Подъем по лестнице: поиск с мемоизацией */
int climbingStairsDFSMem(int n) {
    // mem[i] хранит число способов подняться на i-ю ступень, -1 означает отсутствие записи
    vector<int> mem(n + 1, -1);
    return dfs(n, mem);
}
```

=== "Java"

```java title="climbing_stairs_dfs_mem.java"
/* Поиск с мемоизацией */
int dfs(int i, int[] mem) {
    // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // Если запись dp[i] существует, сразу вернуть ее
    if (mem[i] != -1)
        return mem[i];
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
    // Сохранить dp[i]
    mem[i] = count;
    return count;
}

/* Подъем по лестнице: поиск с мемоизацией */
int climbingStairsDFSMem(int n) {
    // mem[i] хранит число способов подняться на i-ю ступень, -1 означает отсутствие записи
    int[] mem = new int[n + 1];
    Arrays.fill(mem, -1);
    return dfs(n, mem);
}
```

=== "C#"

```csharp title="climbing_stairs_dfs_mem.cs"
/* Поиск с мемоизацией */
int DFS(int i, int[] mem) {
    // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // Если запись dp[i] существует, сразу вернуть ее
    if (mem[i] != -1)
        return mem[i];
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = DFS(i - 1, mem) + DFS(i - 2, mem);
    // Сохранить dp[i]
    mem[i] = count;
    return count;
}

/* Подъем по лестнице: поиск с мемоизацией */
int ClimbingStairsDFSMem(int n) {
    // mem[i] хранит число способов подняться на i-ю ступень, -1 означает отсутствие записи
    int[] mem = new int[n + 1];
    Array.Fill(mem, -1);
    return DFS(n, mem);
}
```

=== "Go"

```go title="climbing_stairs_dfs_mem.go"
/* Поиск с мемоизацией */
func dfsMem(i int, mem []int) int {
    // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if i == 1 || i == 2 {
        return i
    }
    // Если запись dp[i] существует, сразу вернуть ее
    if mem[i] != -1 {
        return mem[i]
    }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    count := dfsMem(i-1, mem) + dfsMem(i-2, mem)
    // Сохранить dp[i]
    mem[i] = count
    return count
}

/* Подъем по лестнице: поиск с мемоизацией */
func climbingStairsDFSMem(n int) int {
    // mem[i] хранит число способов подняться на i-ю ступень, -1 означает отсутствие записи
    mem := make([]int, n+1)
    for i := range mem {
        mem[i] = -1
    }
    return dfsMem(n, mem)
}
```

=== "Swift"

```swift title="climbing_stairs_dfs_mem.swift"
/* Поиск с мемоизацией */
func dfs(i: Int, mem: inout [Int]) -> Int {
    // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if i == 1 || i == 2 {
        return i
    }
    // Если запись dp[i] существует, сразу вернуть ее
    if mem[i] != -1 {
        return mem[i]
    }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    let count = dfs(i: i - 1, mem: &mem) + dfs(i: i - 2, mem: &mem)
    // Сохранить dp[i]
    mem[i] = count
    return count
}

/* Подъем по лестнице: поиск с мемоизацией */
func climbingStairsDFSMem(n: Int) -> Int {
    // mem[i] хранит число способов подняться на i-ю ступень, -1 означает отсутствие записи
    var mem = Array(repeating: -1, count: n + 1)
    return dfs(i: n, mem: &mem)
}
```

=== "JS"

```javascript title="climbing_stairs_dfs_mem.js"
/* Поиск с мемоизацией */
function dfs(i, mem) {
    // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if (i === 1 || i === 2) return i;
    // Если запись dp[i] существует, сразу вернуть ее
    if (mem[i] != -1) return mem[i];
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    const count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
    // Сохранить dp[i]
    mem[i] = count;
    return count;
}

/* Подъем по лестнице: поиск с мемоизацией */
function climbingStairsDFSMem(n) {
    // mem[i] хранит число способов подняться на i-ю ступень, -1 означает отсутствие записи
    const mem = new Array(n + 1).fill(-1);
    return dfs(n, mem);
}
```

=== "TS"

```typescript title="climbing_stairs_dfs_mem.ts"
/* Поиск с мемоизацией */
function dfs(i: number, mem: number[]): number {
    // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if (i === 1 || i === 2) return i;
    // Если запись dp[i] существует, сразу вернуть ее
    if (mem[i] != -1) return mem[i];
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    const count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
    // Сохранить dp[i]
    mem[i] = count;
    return count;
}

/* Подъем по лестнице: поиск с мемоизацией */
function climbingStairsDFSMem(n: number): number {
    // mem[i] хранит число способов подняться на i-ю ступень, -1 означает отсутствие записи
    const mem = new Array(n + 1).fill(-1);
    return dfs(n, mem);
}
```

=== "Dart"

```dart title="climbing_stairs_dfs_mem.dart"
/* Поиск с мемоизацией */
int dfs(int i, List<int> mem) {
  // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
  if (i == 1 || i == 2) return i;
  // Если запись dp[i] существует, сразу вернуть ее
  if (mem[i] != -1) return mem[i];
  // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
  int count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
  // Сохранить dp[i]
  mem[i] = count;
  return count;
}

/* Подъем по лестнице: поиск с мемоизацией */
int climbingStairsDFSMem(int n) {
  // mem[i] хранит число способов подняться на i-ю ступень, -1 означает отсутствие записи
  List<int> mem = List.filled(n + 1, -1);
  return dfs(n, mem);
}
```

=== "Rust"

```rust title="climbing_stairs_dfs_mem.rs"
/* Поиск с мемоизацией */
fn dfs(i: usize, mem: &mut [i32]) -> i32 {
    // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if i == 1 || i == 2 {
        return i as i32;
    }
    // Если запись dp[i] существует, сразу вернуть ее
    if mem[i] != -1 {
        return mem[i];
    }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    let count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
    // Сохранить dp[i]
    mem[i] = count;
    count
}

/* Подъем по лестнице: поиск с мемоизацией */
fn climbing_stairs_dfs_mem(n: usize) -> i32 {
    // mem[i] хранит число способов подняться на i-ю ступень, -1 означает отсутствие записи
    let mut mem = vec![-1; n + 1];
    dfs(n, &mut mem)
}
```

=== "C"

```c title="climbing_stairs_dfs_mem.c"
/* Поиск с мемоизацией */
int dfs(int i, int *mem) {
    // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // Если запись dp[i] существует, сразу вернуть ее
    if (mem[i] != -1)
        return mem[i];
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
    // Сохранить dp[i]
    mem[i] = count;
    return count;
}

/* Подъем по лестнице: поиск с мемоизацией */
int climbingStairsDFSMem(int n) {
    // mem[i] хранит число способов подняться на i-ю ступень, -1 означает отсутствие записи
    int *mem = (int *)malloc((n + 1) * sizeof(int));
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        mem[i] = -1;
    }
    int result = dfs(n, mem);
    free(mem);
    return result;
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="climbing_stairs_dfs_mem.kt"
/* Поиск с мемоизацией */
fun dfs(i: Int, mem: IntArray): Int {
    // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if (i == 1 || i == 2) return i
    // Если запись dp[i] существует, сразу вернуть ее
    if (mem[i] != -1) return mem[i]
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    val count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem)
    // Сохранить dp[i]
    mem[i] = count
    return count
}

/* Подъем по лестнице: поиск с мемоизацией */
fun climbingStairsDFSMem(n: Int): Int {
    // mem[i] хранит число способов подняться на i-ю ступень, -1 означает отсутствие записи
    val mem = IntArray(n + 1)
    mem.fill(-1)
    return dfs(n, mem)
}
```

=== "Ruby"

```ruby title="climbing_stairs_dfs_mem.rb"
### Поиск с мемоизацией ###
def dfs(i, mem)
  # dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
  return i if i == 1 || i == 2
  # Если запись dp[i] существует, сразу вернуть ее
  return mem[i] if mem[i] != -1

  # dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
  count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem)
  # Сохранить dp[i]
  mem[i] = count
end

### Подъем по лестнице: поиск с мемоизацией ###
def climbing_stairs_dfs_mem(n)
  # mem[i] хранит число способов подняться на i-ю ступень, -1 означает отсутствие записи
  mem = Array.new(n + 1, -1)
  dfs(n, mem)
end
```

??? pythontutor "Визуализация кода"

<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20dfs%28i%3A%20int%2C%20mem%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA%20%D1%81%20%D0%BC%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20dp%5B1%5D%20%D0%B8%20dp%5B2%5D%20%D1%83%D0%B6%D0%B5%20%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%2C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D0%B8%D1%85%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%201%20or%20i%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20i%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D1%8C%20dp%5Bi%5D%20%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D1%83%D0%B5%D1%82%2C%20%D1%81%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%83%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D0%B5%D0%B5%0A%20%20%20%20if%20mem%5Bi%5D%20%21%3D%20-1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%0A%20%20%20%20%23%20dp%5Bi%5D%20%3D%20dp%5Bi-1%5D%20%2B%20dp%5Bi-2%5D%0A%20%20%20%20count%20%3D%20dfs%28i%20-%201%2C%20mem%29%20%2B%20dfs%28i%20-%202%2C%20mem%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A1%D0%BE%D1%85%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%82%D1%8C%20dp%5Bi%5D%0A%20%20%20%20mem%5Bi%5D%20%3D%20count%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%0Adef%20climbing_stairs_dfs_mem%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D0%B5%D0%BC%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%3A%20%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA%20%D1%81%20%D0%BC%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20mem%5Bi%5D%20%D1%85%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%82%20%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F%20%D0%BD%D0%B0%20i-%D1%8E%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8C%2C%20-1%20%D0%BE%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%B5%D1%82%20%D0%BE%D1%82%D1%81%D1%83%D1%82%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D0%B5%20%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B8%0A%20%20%20%20mem%20%3D%20%5B-1%5D%20%2A%20%28n%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20return%20dfs%28n%2C%20mem%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dfs_mem%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%20%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%20%D0%B8%D0%B7%20%7Bn%7D%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%B9%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20dfs%28i%3A%20int%2C%20mem%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA%20%D1%81%20%D0%BC%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20dp%5B1%5D%20%D0%B8%20dp%5B2%5D%20%D1%83%D0%B6%D0%B5%20%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%2C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D0%B8%D1%85%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%201%20or%20i%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20i%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D1%8C%20dp%5Bi%5D%20%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D1%83%D0%B5%D1%82%2C%20%D1%81%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%83%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D0%B5%D0%B5%0A%20%20%20%20if%20mem%5Bi%5D%20%21%3D%20-1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%0A%20%20%20%20%23%20dp%5Bi%5D%20%3D%20dp%5Bi-1%5D%20%2B%20dp%5Bi-2%5D%0A%20%20%20%20count%20%3D%20dfs%28i%20-%201%2C%20mem%29%20%2B%20dfs%28i%20-%202%2C%20mem%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A1%D0%BE%D1%85%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%82%D1%8C%20dp%5Bi%5D%0A%20%20%20%20mem%5Bi%5D%20%3D%20count%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%0Adef%20climbing_stairs_dfs_mem%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D0%B5%D0%BC%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%3A%20%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA%20%D1%81%20%D0%BC%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20mem%5Bi%5D%20%D1%85%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%82%20%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F%20%D0%BD%D0%B0%20i-%D1%8E%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8C%2C%20-1%20%D0%BE%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%B5%D1%82%20%D0%BE%D1%82%D1%81%D1%83%D1%82%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D0%B5%20%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B8%0A%20%20%20%20mem%20%3D%20%5B-1%5D%20%2A%20%28n%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20return%20dfs%28n%2C%20mem%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dfs_mem%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%20%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%20%D0%B8%D0%B7%20%7Bn%7D%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%B9%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>

Как показано на рисунке 14-4, после введения мемоизации каждая перекрывающаяся подзадача вычисляется только один раз, и временная сложность оптимизируется до $O(n)$ . Это огромный скачок в эффективности.

{ class="animation-figure" }

Рисунок 14-4   Дерево рекурсии для поиска с мемоизацией

14.1.3   Метод 3: динамическое программирование

Поиск с мемоизацией - это метод «сверху вниз» : мы начинаем с исходной задачи (корня), рекурсивно раскладываем более крупные подзадачи на меньшие, пока не достигнем наименьших подзадач с уже известным ответом (листьев). Затем в процессе возврата постепенно собираем решения подзадач и тем самым получаем решение исходной задачи.

Напротив, динамическое программирование - это метод «снизу вверх» : начиная с решений наименьших подзадач, мы итеративно строим решения для более крупных подзадач, пока не получим ответ на исходную задачу.

Поскольку в динамическом программировании нет этапа возврата, для его реализации достаточно обычных циклов, без рекурсии. В приведенном ниже коде мы инициализируем массив dp для хранения решений подзадач. Он выполняет ту же роль, что и массив mem в мемоизированном поиске:

=== "Python"

```python title="climbing_stairs_dp.py"
def climbing_stairs_dp(n: int) -> int:
    """Подъем по лестнице: динамическое программирование"""
    if n == 1 or n == 2:
        return n
    # Инициализация таблицы dp для хранения решений подзадач
    dp = [0] * (n + 1)
    # Начальное состояние: заранее задать решения наименьших подзадач
    dp[1], dp[2] = 1, 2
    # Переход состояний: постепенное решение больших подзадач через меньшие
    for i in range(3, n + 1):
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    return dp[n]
```

=== "C++"

```cpp title="climbing_stairs_dp.cpp"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование */
int climbingStairsDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    // Инициализация таблицы dp для хранения решений подзадач
    vector<int> dp(n + 1);
    // Начальное состояние: заранее задать решения наименьших подзадач
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // Переход состояний: постепенное решение больших подзадач через меньшие
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}
```

=== "Java"

```java title="climbing_stairs_dp.java"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование */
int climbingStairsDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    // Инициализация таблицы dp для хранения решений подзадач
    int[] dp = new int[n + 1];
    // Начальное состояние: заранее задать решения наименьших подзадач
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // Переход состояний: постепенное решение больших подзадач через меньшие
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}
```

=== "C#"

```csharp title="climbing_stairs_dp.cs"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование */
int ClimbingStairsDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    // Инициализация таблицы dp для хранения решений подзадач
    int[] dp = new int[n + 1];
    // Начальное состояние: заранее задать решения наименьших подзадач
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // Переход состояний: постепенное решение больших подзадач через меньшие
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}
```

=== "Go"

```go title="climbing_stairs_dp.go"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование */
func climbingStairsDP(n int) int {
    if n == 1 || n == 2 {
        return n
    }
    // Инициализация таблицы dp для хранения решений подзадач
    dp := make([]int, n+1)
    // Начальное состояние: заранее задать решения наименьших подзадач
    dp[1] = 1
    dp[2] = 2
    // Переход состояний: постепенное решение больших подзадач через меньшие
    for i := 3; i <= n; i++ {
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    }
    return dp[n]
}
```

=== "Swift"

```swift title="climbing_stairs_dp.swift"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование */
func climbingStairsDP(n: Int) -> Int {
    if n == 1 || n == 2 {
        return n
    }
    // Инициализация таблицы dp для хранения решений подзадач
    var dp = Array(repeating: 0, count: n + 1)
    // Начальное состояние: заранее задать решения наименьших подзадач
    dp[1] = 1
    dp[2] = 2
    // Переход состояний: постепенное решение больших подзадач через меньшие
    for i in 3 ... n {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    }
    return dp[n]
}
```

=== "JS"

```javascript title="climbing_stairs_dp.js"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование */
function climbingStairsDP(n) {
    if (n === 1 || n === 2) return n;
    // Инициализация таблицы dp для хранения решений подзадач
    const dp = new Array(n + 1).fill(-1);
    // Начальное состояние: заранее задать решения наименьших подзадач
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // Переход состояний: постепенное решение больших подзадач через меньшие
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}
```

=== "TS"

```typescript title="climbing_stairs_dp.ts"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование */
function climbingStairsDP(n: number): number {
    if (n === 1 || n === 2) return n;
    // Инициализация таблицы dp для хранения решений подзадач
    const dp = new Array(n + 1).fill(-1);
    // Начальное состояние: заранее задать решения наименьших подзадач
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // Переход состояний: постепенное решение больших подзадач через меньшие
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}
```

=== "Dart"

```dart title="climbing_stairs_dp.dart"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование */
int climbingStairsDP(int n) {
  if (n == 1 || n == 2) return n;
  // Инициализация таблицы dp для хранения решений подзадач
  List<int> dp = List.filled(n + 1, 0);
  // Начальное состояние: заранее задать решения наименьших подзадач
  dp[1] = 1;
  dp[2] = 2;
  // Переход состояний: постепенное решение больших подзадач через меньшие
  for (int i = 3; i <= n; i++) {
    dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
  }
  return dp[n];
}
```

=== "Rust"

```rust title="climbing_stairs_dp.rs"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование */
fn climbing_stairs_dp(n: usize) -> i32 {
    // dp[1] и dp[2] уже известны, вернуть их
    if n == 1 || n == 2 {
        return n as i32;
    }
    // Инициализация таблицы dp для хранения решений подзадач
    let mut dp = vec![-1; n + 1];
    // Начальное состояние: заранее задать решения наименьших подзадач
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // Переход состояний: постепенное решение больших подзадач через меньшие
    for i in 3..=n {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    dp[n]
}
```

=== "C"

```c title="climbing_stairs_dp.c"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование */
int climbingStairsDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    // Инициализация таблицы dp для хранения решений подзадач
    int *dp = (int *)malloc((n + 1) * sizeof(int));
    // Начальное состояние: заранее задать решения наименьших подзадач
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // Переход состояний: постепенное решение больших подзадач через меньшие
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    int result = dp[n];
    free(dp);
    return result;
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="climbing_stairs_dp.kt"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование */
fun climbingStairsDP(n: Int): Int {
    if (n == 1 || n == 2) return n
    // Инициализация таблицы dp для хранения решений подзадач
    val dp = IntArray(n + 1)
    // Начальное состояние: заранее задать решения наименьших подзадач
    dp[1] = 1
    dp[2] = 2
    // Переход состояний: постепенное решение больших подзадач через меньшие
    for (i in 3..n) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    }
    return dp[n]
}
```

=== "Ruby"

```ruby title="climbing_stairs_dp.rb"
### Подъем по лестнице: динамическое программирование ###
def climbing_stairs_dp(n)
  return n  if n == 1 || n == 2

  # Инициализация таблицы dp для хранения решений подзадач
  dp = Array.new(n + 1, 0)
  # Начальное состояние: заранее задать решения наименьших подзадач
  dp[1], dp[2] = 1, 2
  # Переход состояний: постепенное решение больших подзадач через меньшие
  (3...(n + 1)).each { |i| dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] }

  dp[n]
end
```

??? pythontutor "Визуализация кода"

<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_dp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D0%B5%D0%BC%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%3A%20%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20n%0A%20%20%20%20%23%20%D0%98%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%20%D1%82%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8B%20dp%20%D0%B4%D0%BB%D1%8F%20%D1%85%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%20%28n%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9D%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%3A%20%D0%B7%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%B5%20%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BD%D0%B0%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B8%D1%85%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D%2C%20dp%5B2%5D%20%3D%201%2C%202%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B9%3A%20%D0%BF%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B8%D1%85%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%20%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7%20%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B8%D0%B5%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%20%2B%20dp%5Bi%20-%202%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%20%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%20%D0%B8%D0%B7%20%7Bn%7D%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%B9%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_dp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D0%B5%D0%BC%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%3A%20%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20n%0A%20%20%20%20%23%20%D0%98%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%20%D1%82%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8B%20dp%20%D0%B4%D0%BB%D1%8F%20%D1%85%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%20%28n%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9D%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%3A%20%D0%B7%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%B5%20%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BD%D0%B0%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B8%D1%85%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D%2C%20dp%5B2%5D%20%3D%201%2C%202%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B9%3A%20%D0%BF%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B8%D1%85%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%20%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7%20%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B8%D0%B5%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%20%2B%20dp%5Bi%20-%202%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%20%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%20%D0%B8%D0%B7%20%7Bn%7D%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%B9%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>

На рисунке 14-5 смоделирован процесс выполнения этого кода.

{ class="animation-figure" }

Рисунок 14-5   Процесс динамического программирования для подъема по лестнице

Как и в поиске с возвратом, в динамическом программировании используется понятие «состояние» для обозначения некоторого этапа решения задачи. Каждое состояние соответствует одной подзадаче и ее локально оптимальному решению. Например, в задаче о лестнице состояние определяется текущим номером ступени i .

На основе сказанного можно подвести несколько часто используемых терминов динамического программирования.

• Массив dp называют таблицей dp, а dp[i] обозначает решение подзадачи, соответствующей состоянию i .
• Состояния, соответствующие наименьшим подзадачам (первая и вторая ступени), называют начальными состояниями.
• Рекуррентную формулу dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] называют уравнением перехода состояния.

14.1.4   Оптимизация пространства

Внимательный читатель мог заметить, что поскольку dp[i] зависит только от dp[i-1] и dp[i-2] , нам не нужен весь массив dp для хранения ответов всех подзадач. Достаточно двух переменных, которые будут «перекатываться» вперед. Код имеет вид:

=== "Python"

```python title="climbing_stairs_dp.py"
def climbing_stairs_dp_comp(n: int) -> int:
    """Подъем по лестнице: динамическое программирование с оптимизацией памяти"""
    if n == 1 or n == 2:
        return n
    a, b = 1, 2
    for _ in range(3, n + 1):
        a, b = b, a + b
    return b
```

=== "C++"

```cpp title="climbing_stairs_dp.cpp"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
int climbingStairsDPComp(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    int a = 1, b = 2;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    return b;
}
```

=== "Java"

```java title="climbing_stairs_dp.java"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
int climbingStairsDPComp(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    int a = 1, b = 2;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    return b;
}
```

=== "C#"

```csharp title="climbing_stairs_dp.cs"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
int ClimbingStairsDPComp(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    int a = 1, b = 2;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    return b;
}
```

=== "Go"

```go title="climbing_stairs_dp.go"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
func climbingStairsDPComp(n int) int {
    if n == 1 || n == 2 {
        return n
    }
    a, b := 1, 2
    // Переход состояний: постепенное решение больших подзадач через меньшие
    for i := 3; i <= n; i++ {
        a, b = b, a+b
    }
    return b
}
```

=== "Swift"

```swift title="climbing_stairs_dp.swift"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
func climbingStairsDPComp(n: Int) -> Int {
    if n == 1 || n == 2 {
        return n
    }
    var a = 1
    var b = 2
    for _ in 3 ... n {
        (a, b) = (b, a + b)
    }
    return b
}
```

=== "JS"

```javascript title="climbing_stairs_dp.js"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
function climbingStairsDPComp(n) {
    if (n === 1 || n === 2) return n;
    let a = 1,
        b = 2;
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        const tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    return b;
}
```

=== "TS"

```typescript title="climbing_stairs_dp.ts"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
function climbingStairsDPComp(n: number): number {
    if (n === 1 || n === 2) return n;
    let a = 1,
        b = 2;
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        const tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    return b;
}
```

=== "Dart"

```dart title="climbing_stairs_dp.dart"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
int climbingStairsDPComp(int n) {
  if (n == 1 || n == 2) return n;
  int a = 1, b = 2;
  for (int i = 3; i <= n; i++) {
    int tmp = b;
    b = a + b;
    a = tmp;
  }
  return b;
}
```

=== "Rust"

```rust title="climbing_stairs_dp.rs"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
fn climbing_stairs_dp_comp(n: usize) -> i32 {
    if n == 1 || n == 2 {
        return n as i32;
    }
    let (mut a, mut b) = (1, 2);
    for _ in 3..=n {
        let tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    b
}
```

=== "C"

```c title="climbing_stairs_dp.c"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
int climbingStairsDPComp(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    int a = 1, b = 2;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    return b;
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="climbing_stairs_dp.kt"
/* Подъем по лестнице: динамическое программирование с оптимизацией памяти */
fun climbingStairsDPComp(n: Int): Int {
    if (n == 1 || n == 2) return n
    var a = 1
    var b = 2
    for (i in 3..n) {
        val temp = b
        b += a
        a = temp
    }
    return b
}
```

=== "Ruby"

```ruby title="climbing_stairs_dp.rb"
### Подъем по лестнице: динамическое программирование с оптимизацией памяти ###
def climbing_stairs_dp_comp(n)
  return n if n == 1 || n == 2

  a, b = 1, 2
  (3...(n + 1)).each { a, b = b, a + b }

  b
end
```

??? pythontutor "Визуализация кода"

<div style="height: 477px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_dp_comp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D0%B5%D0%BC%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%3A%20%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D1%81%20%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%B9%20%D0%BF%D0%B0%D0%BC%D1%8F%D1%82%D0%B8%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20n%0A%20%20%20%20a%2C%20b%20%3D%201%2C%202%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%283%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a%2C%20b%20%3D%20b%2C%20a%20%2B%20b%0A%20%20%20%20return%20b%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dp_comp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%20%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%20%D0%B8%D0%B7%20%7Bn%7D%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%B9%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_dp_comp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D0%B5%D0%BC%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%3A%20%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D1%81%20%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%B9%20%D0%BF%D0%B0%D0%BC%D1%8F%D1%82%D0%B8%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20n%0A%20%20%20%20a%2C%20b%20%3D%201%2C%202%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%283%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a%2C%20b%20%3D%20b%2C%20a%20%2B%20b%0A%20%20%20%20return%20b%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dp_comp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%20%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%20%D0%B8%D0%B7%20%7Bn%7D%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%B9%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>

Из кода видно, что после отказа от массива dp пространственная сложность уменьшается с O(n) до O(1) .

Во многих задачах динамического программирования текущее состояние зависит лишь от ограниченного числа предыдущих состояний. Тогда можно сохранять только действительно нужные состояния и за счет «уменьшения размерности» экономить память. Этот прием оптимизации памяти называют «скользящими переменными» или «скользящим массивом».