hello-algo/ru/docs/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur.md

Стратегия поиска «разделяй и властвуй»

Мы уже знаем, что алгоритмы поиска делятся на две большие категории.

• Полный перебор: реализуется путем обхода структуры данных, временная сложность составляет O(n).

• Адаптивный поиск: использует особую организацию данных или априорную информацию, временная сложность может достигать O(log n) или даже O(1).

На практике алгоритмы поиска с временной сложностью O(log n) обычно реализуются на основе стратегии «разделяй и властвуй», например двоичный поиск и деревья.

• Двоичный поиск на каждом шаге разбивает задачу (поиск целевого элемента в массиве) на более мелкую задачу (поиск целевого элемента в половине массива). Этот процесс продолжается до тех пор, пока массив не станет пустым или не будет найден целевой элемент.

• Деревья являются представителями стратегии «разделяй и властвуй». В структурах данных, таких как двоичное дерево поиска, АВЛ-дерево, куча и др., временная сложность различных операций составляет O(log n).

Стратегия «разделяй и властвуй» для двоичного поиска выглядит следующим образом.

• Задачу можно разбить: двоичный поиск рекурсивно разбивает исходную задачу (поиск в массиве) на подзадачи (поиск в половине массива), что достигается сравнением среднего элемента с целевым элементом.

• Подзадачи независимы: в двоичном поиске на каждом этапе обрабатывается только одна подзадача, которая не зависит от других подзадач.

• Решения подзадач не требуют объединения: двоичный поиск направлен на поиск конкретного элемента, поэтому объединять решения подзадач не требуется. Когда подзадача решена, исходная задача также считается решенной.

Стратегия «разделяй и властвуй» повышает эффективность поиска, поскольку при грубом поиске на каждом этапе можно исключить только один вариант, тогда как при поиске «разделяй и властвуй» на каждом этапе можно исключить половину вариантов.

Реализация двоичного поиска на основе стратегии «разделяй и властвуй»

В предыдущих главах двоичный поиск был реализован на основе итераций. Теперь мы реализуем его на основе принципа «разделяй и властвуй» (рекурсии).

!!! question

Дан упорядоченный массив `nums` длиной $n$, в котором все элементы уникальны. Необходимо найти элемент `target`.

Для применения стратегии «разделяй и властвуй» обозначим подзадачу для поискового интервала [i, j] как f(i, j).

Начав с исходной задачи f(0, n - 1), выполняем двоичный поиск по следующему алгоритму:

1. Вычисление средней точки m поискового интервала [i, j] и исключение половины интервала на основе сравнения со средним элементом.
2. Рекурсивное решение подзадачи с уменьшенным вдвое размером, возможны варианты f(i, m - 1) и f(m + 1, j).
3. Повторение шагов 1. и 2. до тех пор, пока не будет найден элемент target или интервал не станет пустым.

На рис. 12.4 иллюстрируется процесс применения стратегии «разделяй и властвуй» при двоичном поиске элемента 6 в массиве.

В коде реализации объявляется рекурсивная функция dfs() для решения задачи f(i, j):

[file]{binary_search_recur}-[class]{}-[func]{binary_search}