Yudong Jin
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6.2 KiB
順列列挙問題
順列列挙問題は、バックトラッキングの典型的な応用です。配列や文字列などの集合が与えられ、その要素の可能な並べ方をすべて求める問題です。
下表に、入力配列と、それに対応するすべての順列の例を示します。
表 順列列挙の例
| 入力配列 | すべての順列 |
|---|---|
[1] |
[1] |
[1, 2] |
[1, 2], [2, 1] |
[1, 2, 3] |
[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1] |
同じ値の要素がない場合
!!! question
重複した要素を含まない整数配列が与えられます。可能な順列をすべて返してください。
バックトラッキングの観点からは、順列を作る過程を、一連の選択の結果と捉えられます。入力が [1, 2, 3] なら、最初に $1$、次に $3$、最後に 2 を選ぶと、順列 [1, 3, 2] になります。後戻りでは一つの選択を取り消し、ほかの選択肢を試します。
コード上では、候補集合 choices は入力配列の全要素、状態 state は現在までに選んだ要素です。各要素は一度しか選べないため、state 内の要素は重複してはいけません。
下図のように、探索過程を再帰木として展開でき、各ノードが現在の状態 state を表します。根から 3 回選択すると葉に達し、各葉が一つの順列に対応します。
同じ要素を再選択する分岐の枝刈り
各要素を一度だけ選ぶため、ブール配列 selected を使います。selected[i] は choices[i] が選択済みかを表し、次のように枝刈りします。
choices[i]を選んだら、selected[i]を\text{True}にして選択済みとします。- 選択肢
choicesを走査するとき、選択済みのノードをすべて飛ばし、枝刈りします。
下図のように、1 回目に 1、2 回目に 3、3 回目に 2 を選ぶ場合、2 回目には要素 1 の分岐を、3 回目には要素 1 と 3 の分岐を刈り取ります。
この枝刈りにより、探索空間の大きさは O(n^n) から O(n!) に小さくなります。
コードの実装
以上を整理できれば、基本形のコードを「穴埋め」できます。コード全体を短くするため、基本形の各関数を別々には定義せず、backtrack() 内に展開します。
[file]{permutations_i}-[class]{}-[func]{permutations_i}
同じ値の要素がある場合
!!! question
整数配列が与えられます。**配列には重複した要素が含まれる場合があります**。重複しない順列をすべて返してください。
入力が [1, 1, 2] だとします。二つの 1 を区別するため、2 番目の 1 を \hat{1} と書きます。
下図のように、先ほどの方法で生成した順列の半分は重複しています。
重複を除くには、結果をハッシュ集合に入れる方法がすぐに思い浮かびます。しかし、あまり洗練された方法ではありません。同じ順列を生成する分岐は不要なので、事前に見分けて枝刈りすべきです。そうすれば、効率をさらに高められます。
同じ値の要素による分岐の枝刈り
下図では、1 回目に 1 を選ぶ場合と \hat{1} を選ぶ場合は同等で、その下でできるすべての順列が重複します。したがって、\hat{1} の分岐を枝刈りします。
同様に、1 回目に 2 を選んだ場合も、2 回目の 1 と \hat{1} は重複する分岐を作るため、2 回目の \hat{1} を枝刈りします。
本質的な目標は、ある回の選択において、同じ値を持つ複数の要素を一度だけ選ぶようにすることです。
コードの実装
前の問題のコードをもとに、各回の選択でハッシュ集合 duplicated を作ります。その回にすでに試した要素を記録し、重複する要素を枝刈りします。
[file]{permutations_ii}-[class]{}-[func]{permutations_ii}
要素がすべて異なるとすると、n 個の要素には n! 通り（階乗）の順列があります。結果の記録には長さ n のリストのコピーが必要で、O(n) 時間かかります。したがって、時間計算量は O(n!n) です。
最大再帰深度は n で、スタックフレームに O(n) の空間を使います。selected は $O(n)$、同時に最大 n 個存在する duplicated は O(n^2) の空間を使います。したがって、空間計算量は O(n^2) です。
二つの枝刈りの比較
selected と duplicated はどちらも枝刈りに使いますが、目的は異なります。
- 同じ要素の再選択を防ぐ枝刈り：探索全体で
selectedは一つだけです。現在の状態に含まれる要素を記録し、stateに同じ要素が繰り返し入るのを防ぎます。 - 同じ値の要素による分岐を防ぐ枝刈り：各回の選択（各
backtrack呼び出し）が、それぞれduplicatedを持ちます。その回の走査（forループ）ですでに選んだ要素を記録し、同じ値を一度だけ選ぶようにします。
下図に、二つの枝刈り条件の作用範囲を示します。木の各ノードは一つの選択を表し、根から葉までの経路上のノードが一つの順列を構成していることに注意してください。
