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部分集合和問題

重複した要素がない場合

!!! question

正の整数の配列 `nums` と、目標となる正の整数 `target` が与えられます。要素の和が `target` になるすべての組み合わせを求めてください。配列に重複した要素はなく、各要素は何度でも選べます。組み合わせをリストで返し、重複した組み合わせは含めないでください。

たとえば、入力集合が ${3, 4, 5}$、目標が 9 なら、解は \{3, 3, 3\}, \{4, 5\} です。次の 2 点に注意してください。

• 入力集合の要素は、回数の制限なく繰り返し選べます。
• 部分集合では要素の順序を区別しません。たとえば、\{4, 5\} と \{5, 4\} は同じ部分集合です。

順列列挙の解法を参考にする

順列列挙と同様に、部分集合を作る過程を一連の選択と考えられます。選ぶたびに「要素の和」を更新し、target と等しくなったら、その部分集合を結果リストに記録します。

順列列挙と違い、この問題では同じ要素を何度でも選べるため、ブールリスト selected で選択済みかを記録する必要はありません。順列列挙のコードを少し修正すると、まず次の解法が得られます。

[file]{subset_sum_i_naive}-[class]{}-[func]{subset_sum_i_naive}

このコードに配列 [3, 4, 5] と目標 9 を渡すと、結果は [3, 3, 3], [4, 5], [5, 4] になります。和が 9 の部分集合はすべて見つかりましたが、[4, 5] と [5, 4] が重複しています。

探索では選択順を区別する一方、部分集合では区別しないためです。下図のように、4 の後に 5 を選ぶ場合と、5 の後に 4 を選ぶ場合は、探索上は別の分岐でも、同じ部分集合になります。

重複した部分集合を除くため、結果リストから重複を取り除く方法が考えられます。しかし、次の二つの理由で非効率です。

• 配列の要素が多いとき、特に target が大きいときは、探索中に大量の重複した部分集合が生成されます。
• 部分集合（配列）が同じかを比べるには、まずソートし、その後、各要素を比較する必要があり、時間がかかります。

重複する部分集合の枝刈り

探索中の枝刈りで重複を除くことを考えます。下図のように、重複は配列の要素を異なる順で選ぶことで生じます。たとえば、次のような場合です。

1. 1 回目と 2 回目に 3 と 4 を選ぶと、この二つを含むすべての部分集合 [3, 4, \dots] が生成されます。
2. その後、1 回目に 4 を選ぶ場合は、2 回目の 3 を飛ばす必要があります。ここでできる [4, 3, \dots] は、手順 1. で生成した部分集合と完全に重複するためです。

探索では各段階の選択肢を左から右へ順に試すため、右側の分岐ほど多く枝刈りされます。

1. 最初の 2 回で 3 と 5 を選び、部分集合 [3, 5, \dots] を生成します。
2. 最初の 2 回で 4 と 5 を選び、部分集合 [4, 5, \dots] を生成します。
3. 1 回目に 5 を選ぶ場合は、2 回目の 3 と 4 を飛ばす必要があります。[5, 3, \dots] と [5, 4, \dots] は、手順 1. と 2. の部分集合と完全に重複するためです。

まとめると、入力配列を $[x_1, x_2, \dots, x_n]$、選択の列を [x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_m}] としたとき、i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m を満たす必要があります。この条件を満たさない選択の列は重複を生むため、枝刈りすべきです。

コードの実装

この枝刈りのため、走査の開始位置を表す変数 start を用意します。x_{i} を選んだら、次の回はインデックス i から走査を始めます。これで選択の列が i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m を満たし、部分集合の重複を防げます。

さらに、コードに次の二つの改善を加えます。

• 探索前に配列 nums をソートします。選択肢を走査するとき、部分集合の和が target を超えたら、ループをその場で終了します。後ろの要素はさらに大きいため、それらを選んでも和が必ず target を超えるからです。
• 和を表す変数 total をなくし、target から減算することで和を管理します。target が 0 になったら解を記録します。

[file]{subset_sum_i}-[class]{}-[func]{subset_sum_i}

下図に、配列 [3, 4, 5] と目標 9 を入力したときの、バックトラッキング全体の流れを示します。

重複した要素がある場合

!!! question

正の整数の配列 `nums` と、目標となる正の整数 `target` が与えられます。要素の和が `target` になるすべての組み合わせを求めてください。**配列には重複した要素が含まれる場合があり、各要素は一度だけ選べます**。組み合わせをリストで返し、重複した組み合わせは含めないでください。

前の問題と異なり、入力配列に重複した要素が含まれる場合があり、新たな問題が生じます。たとえば配列 [4, \hat{4}, 5] と目標 9 に対し、現在のコードは [4, 5], [\hat{4}, 5] を返し、部分集合が重複します。

この重複は、ある回の選択で同じ値の要素を何度も選ぶことが原因です。下図の 1 回目には三つの選択肢があり、そのうち二つが 4 なので、重複した探索分岐から同じ部分集合が生成されます。同様に、2 回目の二つの 4 も重複を生みます。

同じ値の要素による分岐の枝刈り

これを防ぐには、同じ値の要素を、各回の選択で一度だけ選ぶようにします。配列はソート済みなので、同じ値は隣り合っています。そこで、ある回の選択で現在の要素が左隣と同じなら、その値はすでに選んだとわかるため、現在の要素を飛ばします。

また、この問題では配列の各要素を一度しか選べません。この制約も start で満たせます。x_{i} を選んだら、次の回はインデックス i + 1 から後ろを走査します。これで部分集合の重複を除くと同時に、同じ要素の再選択も防げます。

コードの実装

[file]{subset_sum_ii}-[class]{}-[func]{subset_sum_ii}

下図に、配列 [4, 4, 5] と目標 9 のバックトラッキングを示します。4 種類の枝刈りが含まれています。図とコードの注釈を照らし合わせ、探索全体の流れと、それぞれの枝刈りの働きを理解してください。