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分割統治による探索戦略

すでに学んだように、探索アルゴリズムは大きく二つに分類できます。

• 全探索：データ構造を走査して探索し、時間計算量は O(n) です。
• 適応的探索：データの特有の編成方法や事前情報を利用し、時間計算量を $O(\log n)$、さらには O(1) にできます。

実際、時間計算量が O(\log n) の探索アルゴリズムは、通常、分割統治戦略に基づいています。二分探索や木がその例です。

• 二分探索は各ステップで、問題（配列内で目的の要素を探すこと）を小さな問題（配列の半分で目的の要素を探すこと）に分解します。配列が空になるか、目的の要素が見つかるまで続けます。
• 木は分割統治の代表例です。二分探索木、AVL 木、ヒープなどのデータ構造では、各種操作の時間計算量が O(\log n) になります。

二分探索の分割統治戦略は、次のように整理できます。

• 問題を分解できる：中央の要素と目的の要素を比較することで、元の問題（配列内での探索）を部分問題（配列の半分での探索）に再帰的に分解します。
• 部分問題が独立している：二分探索では各回に一つの部分問題だけを扱い、ほかの部分問題の影響を受けません。
• 部分問題の解を統合する必要がない：二分探索の目的は特定の要素を見つけることなので、部分問題の解を統合する必要はありません。部分問題が解けると、元の問題も同時に解けます。

分割統治によって探索効率が上がる本質的な理由は、全探索では 1 回に一つの候補しか除外できないのに対し、分割統治による探索では 1 回に候補の半分を除外できることです。

分割統治による二分探索の実装

前の章では、二分探索を反復処理（イテレーション）で実装しました。ここでは、分割統治（再帰）で実装します。

!!! question

長さ $n$ のソート済み配列 `nums` が与えられます。すべての要素は互いに異なります。要素 `target` を探してください。

分割統治の観点から、探索区間 [i, j] に対応する部分問題を f(i, j) と表します。

元の問題 f(0, n-1) から始め、次の手順で二分探索を行います。

1. 探索区間 [i, j] の中央 m を求め、それを使って探索区間の半分を除外します。
2. 大きさが半分になった部分問題 f(i, m-1) または f(m+1, j) を再帰的に解きます。
3. 手順 1. と 2. を繰り返し、target が見つかるか、区間が空になったら戻ります。

下図に、配列内の要素 6 を二分探索する際の分割統治の流れを示します。

実装では、問題 f(i, j) を解く再帰関数 dfs() を定義します。

[file]{binary_search_recur}-[class]{}-[func]{binary_search}