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グラフ

グラフ（graph）は、頂点（vertex）と辺（edge）からなる非線形データ構造です。グラフ G は、頂点の集合 V と辺の集合 E をまとめたものとして抽象的に表せます。次の例は、5 個の頂点と 7 本の辺を持つグラフです。

\begin{aligned}
V & = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \newline
E & = \{ (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) \} \newline
G & = \{ V, E \} \newline
\end{aligned}

頂点をノード、辺をノード同士をつなぐ参照（ポインタ）と考えると、グラフは連結リストを拡張したデータ構造として捉えられます。下図のように、線形の関係（連結リスト）や分割統治の関係（木）よりも、ネットワークの関係（グラフ）は自由度が高く、その分複雑になります。

グラフの主な種類と用語

辺に向きがあるかどうかによって、下図のように無向グラフ（undirected graph）と有向グラフ（directed graph）に分けられます。

• 無向グラフの辺は、2 頂点間の「双方向」のつながりを表します。WeChat や QQ の「友達関係」がその例です。
• 有向グラフの辺には向きがあります。つまり、A \rightarrow B と A \leftarrow B の二つの向きの辺は互いに独立しています。Weibo や Douyin の「フォローする」「フォローされる」という関係がその例です。

すべての頂点がつながっているかどうかによって、下図のように連結グラフ（connected graph）と非連結グラフ（disconnected graph）に分けられます。

• 連結グラフでは、ある頂点から出発して、ほかのどの頂点にも到達できます。
• 非連結グラフでは、ある頂点から出発したとき、到達できない頂点が少なくとも一つあります。

辺に「重み」という変数を加えると、下図の重み付きグラフ（weighted graph）になります。たとえば『王者荣耀』などのモバイルゲームでは、一緒に遊んだ時間からプレイヤー間の「親密度」を計算します。この親密度のネットワークは、重み付きグラフで表せます。

グラフでは、次の用語をよく使います。

• 隣接（adjacency）：2 頂点の間に辺があるとき、これらの頂点は「隣接している」といいます。上図では、頂点 1 に隣接するのは頂点 2、3、5 です。
• 経路（path）：頂点 A から頂点 B までに通る辺の列を、A から B への「経路」といいます。上図の辺の列 1-5-2-4 は、頂点 1 から頂点 4 への経路の一つです。
• 次数（degree）：ある頂点が持つ辺の本数です。有向グラフでは、入次数（in-degree）はその頂点に入る辺の本数、出次数（out-degree）はその頂点から出る辺の本数を表します。

グラフの表現

グラフの代表的な表現方法には、「隣接行列」と「隣接リスト」があります。以下では無向グラフを例に説明します。

隣接行列

グラフの頂点数を n とします。隣接行列（adjacency matrix）は、n \times n の行列でグラフを表します。各行（列）が一つの頂点に対応し、行列の要素が辺を表します。2 頂点間に辺があるかどうかを 1 または 0 で示します。

下図のように、隣接行列を $M$、頂点のリストを V とすると、行列の要素 M[i, j] = 1 は頂点 V[i] から頂点 V[j] への辺があることを表し、M[i, j] = 0 は辺がないことを表します。

隣接行列には、次の特徴があります。

• 単純グラフでは頂点を自分自身につなげられないため、隣接行列の主対角線上の要素は意味を持ちません。
• 無向グラフでは両方向の辺が同じものを表すため、隣接行列は主対角線について対称です。
• 隣接行列の要素 1 と 0 を重みに置き換えると、重み付きグラフを表せます。

隣接行列でグラフを表すと、行列の要素に直接アクセスして辺を取得できるため、辺の追加・削除・検索・更新は効率が高く、時間計算量はいずれも O(1) です。ただし、行列の空間計算量は O(n^2) で、メモリを多く使います。

隣接リスト

隣接リスト（adjacency list）は、n 個の連結リストでグラフを表し、連結リストのノードが頂点を表します。i 番目の連結リストは頂点 i に対応し、その頂点に隣接するすべての頂点（その頂点につながる頂点）を格納します。下図に、隣接リストで格納したグラフの例を示します。

隣接リストは実際に存在する辺だけを保存します。通常、辺の総数は n^2 よりはるかに少ないため、空間を節約できます。ただし、辺を探すには連結リストを走査する必要があり、時間効率は隣接行列より低くなります。

上図を見ると、隣接リストの構造はハッシュテーブルの「チェイン法」によく似ているため、同じような方法で効率を改善できます。たとえば、連結リストが長い場合は AVL 木や赤黒木に変換し、時間計算量を O(n) から O(\log n) に改善できます。ハッシュテーブルに変換すれば、時間計算量を O(1) にできます。

グラフの主な用途

下表のように、多くの現実のシステムをグラフでモデル化でき、それらに関する問題をグラフ上の計算問題に帰着できます。

表   日常生活に見られるグラフ

	頂点	辺	グラフ上の計算問題
ソーシャルネットワーク	ユーザー	友達関係	友達候補の推薦
地下鉄の路線	駅	駅同士の接続	最短経路の推薦
太陽系	天体	天体間の万有引力	惑星の軌道計算