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二分探索で挿入位置を探す

二分探索は目的の要素を探すだけでなく、その挿入位置を探すなど、多くの派生問題にも利用できます。

重複する要素がない場合

!!! question

長さ $n$ の整列済み配列 `nums` と要素 `target` が与えられます。配列内に重複する要素はありません。整列状態を保ちながら、`target` を配列 `nums` に挿入します。すでに `target` が存在する場合は、その左側に挿入します。挿入後の `target` のインデックスを返してください。例を下図に示します。

前節の二分探索のコードを再利用するには、次の二つの問いに答える必要があります。

問い一：配列に target が含まれる場合、挿入位置のインデックスはその要素のインデックスでしょうか。

問題では、等しい要素の左に target を挿入するよう求めています。つまり、新しく挿入した target が元の target の位置に入ります。したがって、配列に target が含まれる場合、挿入位置はその target のインデックスです。

問い二：配列に target が存在しない場合、挿入位置はどの要素のインデックスでしょうか。

二分探索の過程をさらに考えてみましょう。nums[m] < target のとき i が移動するということは、ポインタ i が target 以上の要素へ近づいているということです。同様に、ポインタ j は常に target 以下の要素へ近づいています。

したがって、二分探索が終わると、i は target より大きい最初の要素を、j は target より小さい最も右の要素を指します。配列に target が含まれない場合、挿入位置のインデックスは i だと分かります。コードは次のとおりです。

[file]{binary_search_insertion}-[class]{}-[func]{binary_search_insertion_simple}

重複する要素がある場合

!!! question

前の問題で、配列に重複する要素が含まれる可能性があるものとし、ほかの条件は変えません。

配列に複数の target があると、通常の二分探索ではそのうち一つのインデックスしか返せず、その左右にいくつの target があるかは分かりません。

問題では同じ要素の最も左に挿入するよう求めているため、配列内で最も左の target のインデックスを探す必要があります。まず、下図の手順を考えてみます。

1. 二分探索でいずれかの target のインデックスを求め、k とします。
2. インデックス k から左へ線形に走査し、最も左の target が見つかったら返します。

この方法でも求められますが、線形探索を含むため時間計算量は O(n) です。配列に target が多数重複している場合、効率が低くなります。

そこで、二分探索のコードを拡張します。下図のように全体の流れは変えず、各反復で中点のインデックス m を計算し、target と nums[m] の大小関係を判定します。次の場合に分かれます。

• nums[m] < target または nums[m] > target の場合、まだ target が見つかっていないので、通常の二分探索と同じ操作で区間を縮めます。これにより、ポインタ i と j が target へ近づきます。
• nums[m] == target の場合、target より小さい要素は区間 [i, m - 1] にあるので、j = m - 1 として区間を縮めます。これにより、ポインタ j が target より小さい要素へ近づきます。

ループが終わると、i は最も左の target を、j は target より小さい最も右の要素を指します。したがって、インデックス i が挿入位置です。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

以下のコードを見ると、条件分岐 nums[m] > target と nums[m] == target では同じ操作を行うため、二つをまとめられます。

それでも、条件を分けたままにしておけば、論理が明確で読みやすくなります。

[file]{binary_search_insertion}-[class]{}-[func]{binary_search_insertion}

!!! tip

この節のコードはすべて両端を含む閉区間で書いています。興味があれば、左閉右開の書き方でも実装してみてください。

全体として見ると、二分探索は、ポインタ i と j にそれぞれ探索目標を定めるものにすぎません。目標は特定の要素（例えば target）である場合も、要素の範囲（例えば target より小さい要素）である場合もあります。

二分を繰り返す中で、ポインタ i と j はあらかじめ定めた目標に近づいていきます。最終的には答えを見つけるか、境界を越えて停止します。