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Yudong Jin
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ハッシュを使った最適化
アルゴリズムの問題では、線形探索をハッシュ探索に置き換えることで、時間計算量を減らす方法をよく使います。一つの問題を通して理解を深めましょう。
!!! question
整数配列 `nums` と目標要素 `target` が与えられます。配列内から和が `target` になる二つの要素を探し、それぞれのインデックスを返してください。解はいずれか一つでかまいません。
線形探索：時間を使って領域を節約する
すべての組み合わせを直接調べることを考えます。下図のように二重ループを使い、各反復で二つの整数の和が target かどうかを判定し、そうであればインデックスを返します。
コードは次のとおりです。
[file]{two_sum}-[class]{}-[func]{two_sum_brute_force}
この方法の時間計算量は $O(n^2)$、空間計算量は O(1) であり、データが多いと非常に時間がかかります。
ハッシュ探索：領域を使って時間を節約する
配列の要素をキー、そのインデックスを値とするハッシュテーブルを使うことを考えます。配列をループで走査し、各反復で下図の手順を実行します。
- 数値
target - nums[i]がハッシュテーブルにあるか調べ、あれば二つの要素のインデックスをそのまま返します。 nums[i]とインデックスiのペアをハッシュテーブルに追加します。
=== "<1>"
=== "<2>"
=== "<3>"
実装は次のとおりで、一重のループだけで済みます。
[file]{two_sum}-[class]{}-[func]{two_sum_hash_table}
この方法では、ハッシュ探索によって時間計算量を O(n^2) から O(n) に減らし、実行効率を大きく向上させています。
追加のハッシュテーブルを維持する必要があるため、空間計算量は O(n) です。それでも、時間と空間の効率のバランスがよいため、この問題の最適な解法となります。