xinyin025/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2026-06-28 08:34:28 +00:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity
Files
main
hello-algo/ru/docs/chapter_tree/binary_tree.md
T
Yudong Jin 22b3b568ef fix Ru translation (#1894) 
* docs(ru): replace prose quotes with guillemets

* docs(ru): replace prose semicolons with periods

* docs(ru): align animation title forms

* docs(ru): align figure and table references
2026-04-14 18:10:12 +08:00

675 lines
31 KiB
Markdown
Raw Permalink Blame History

# Двоичное дерево
<u>Двоичное дерево (binary tree)</u> - это нелинейная структура данных, представляющая отношения между «предками» и «потомками» и отражающая логику «разделяй и властвуй». Подобно связному списку, базовой единицей двоичного дерева является узел. Каждый узел содержит значение, ссылку на левого дочернего узла и ссылку на правого дочернего узла.
=== "Python"
```python title=""
class TreeNode:
"""Класс узла двоичного дерева"""
def __init__(self, val: int):
self.val: int = val # Значение узла
self.left: TreeNode | None = None # Ссылка на левого дочернего узла
self.right: TreeNode | None = None # Ссылка на правого дочернего узла
```
=== "C++"
```cpp title=""
/* Структура узла двоичного дерева */
struct TreeNode {
int val; // Значение узла
TreeNode *left; // Указатель на левого дочернего узла
TreeNode *right; // Указатель на правого дочернего узла
TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};
```
=== "Java"
```java title=""
/* Класс узла двоичного дерева */
class TreeNode {
int val; // Значение узла
TreeNode left; // Ссылка на левого дочернего узла
TreeNode right; // Ссылка на правого дочернего узла
TreeNode(int x) { val = x; }
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
/* Класс узла двоичного дерева */
class TreeNode(int? x) {
public int? val = x; // Значение узла
public TreeNode? left; // Ссылка на левого дочернего узла
public TreeNode? right; // Ссылка на правого дочернего узла
}
```
=== "Go"
```go title=""
/* Структура узла двоичного дерева */
type TreeNode struct {
Val int
Left *TreeNode
Right *TreeNode
}
/* Конструктор */
func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
return &TreeNode{
Left: nil, // Указатель на левого дочернего узла
Right: nil, // Указатель на правого дочернего узла
Val: v, // Значение узла
}
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
/* Класс узла двоичного дерева */
class TreeNode {
var val: Int // Значение узла
var left: TreeNode? // Ссылка на левого дочернего узла
var right: TreeNode? // Ссылка на правого дочернего узла
init(x: Int) {
val = x
}
}
```
=== "JS"
```javascript title=""
/* Класс узла двоичного дерева */
class TreeNode {
val; // Значение узла
left; // Указатель на левого дочернего узла
right; // Указатель на правого дочернего узла
constructor(val, left, right) {
this.val = val === undefined ? 0 : val;
this.left = left === undefined ? null : left;
this.right = right === undefined ? null : right;
}
}
```
=== "TS"
```typescript title=""
/* Класс узла двоичного дерева */
class TreeNode {
val: number;
left: TreeNode | null;
right: TreeNode | null;
constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
this.val = val === undefined ? 0 : val; // Значение узла
this.left = left === undefined ? null : left; // Ссылка на левого дочернего узла
this.right = right === undefined ? null : right; // Ссылка на правого дочернего узла
}
}
```
=== "Dart"
```dart title=""
/* Класс узла двоичного дерева */
class TreeNode {
int val; // Значение узла
TreeNode? left; // Ссылка на левого дочернего узла
TreeNode? right; // Ссылка на правого дочернего узла
TreeNode(this.val, [this.left, this.right]);
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
use std::rc::Rc;
use std::cell::RefCell;
/* Структура узла двоичного дерева */
struct TreeNode {
val: i32, // Значение узла
left: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>, // Ссылка на левого дочернего узла
right: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>, // Ссылка на правого дочернего узла
}
impl TreeNode {
/* Конструктор */
fn new(val: i32) -> Rc<RefCell<Self>> {
Rc::new(RefCell::new(Self {
val,
left: None,
right: None
}))
}
}
```
=== "C"
```c title=""
/* Структура узла двоичного дерева */
typedef struct TreeNode {
int val; // Значение узла
int height; // Высота узла
struct TreeNode *left; // Указатель на левого дочернего узла
struct TreeNode *right; // Указатель на правого дочернего узла
} TreeNode;
/* Конструктор */
TreeNode *newTreeNode(int val) {
TreeNode *node;
node = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));
node->val = val;
node->height = 0;
node->left = NULL;
node->right = NULL;
return node;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title=""
/* Класс узла двоичного дерева */
class TreeNode(val _val: Int) { // Значение узла
val left: TreeNode? = null // Ссылка на левого дочернего узла
val right: TreeNode? = null // Ссылка на правого дочернего узла
}
```
=== "Ruby"
```ruby title=""
### Класс узла двоичного дерева ###
class TreeNode
attr_accessor :val # Значение узла
attr_accessor :left # Ссылка на левого дочернего узла
attr_accessor :right # Ссылка на правого дочернего узла
def initialize(val)
@val = val
end
end
```
Каждый узел имеет две ссылки (указателя), которые соответственно указывают на <u>левого дочернего узла (left-child node)</u> и <u>правого дочернего узла (right-child node)</u>. Данный узел называется <u>родительским узлом (parent node)</u> для этих двух дочерних узлов. Если задан некоторый узел двоичного дерева, то дерево, образованное его левым дочерним узлом и всеми узлами ниже него, называется <u>левым поддеревом (left subtree)</u> этого узла. Аналогично определяется <u>правое поддерево (right subtree)</u>.
**Узлы, не имеющие дочерних узлов, называют листьями, а все остальные узлы содержат дочерние узлы и непустые поддеревья**. Как показано на рисунке ниже, если рассматривать «узел 2» как родительский, то его левым и правым дочерними узлами будут «узел 4» и «узел 5». Левое поддерево - это «узел 4 и дерево ниже него», а правое поддерево - это «узел 5 и дерево ниже него».
![Родительский узел, дочерние узлы и поддеревья](binary_tree.assets/binary_tree_definition.png)
## Распространенные термины двоичного дерева
Распространенные термины двоичного дерева показаны на рисунке ниже.
- <u>Корневой узел (root node)</u>: узел, расположенный на верхнем уровне двоичного дерева и не имеющий родительского узла.
- <u>Листовой узел (leaf node)</u>: узел без дочерних узлов. Оба его указателя направлены на `None` .
- <u>Ребро (edge)</u>: отрезок, соединяющий два узла, то есть ссылка (указатель) между узлами.
- <u>Уровень (level)</u> узла: увеличивается сверху вниз. Уровень корневого узла равен 1 .
- <u>Степень (degree)</u> узла: число дочерних узлов данного узла. В двоичном дереве возможны степени 0, 1, 2 .
- <u>Высота (height)</u> двоичного дерева: число ребер от корневого узла до самого удаленного листового узла.
- <u>Глубина (depth)</u> узла: число ребер от корневого узла до данного узла.
- <u>Высота (height)</u> узла: число ребер от самого удаленного листового узла до данного узла.
![Распространенные термины двоичного дерева](binary_tree.assets/binary_tree_terminology.png)
!!! tip
Обычно под «высотой» и «глубиной» понимают «число пройденных ребер», но в некоторых задачах или учебниках их могут определять как «число пройденных узлов». В таком случае и высоту, и глубину нужно увеличить на 1 .
## Базовые операции двоичного дерева
### Инициализация двоичного дерева
Как и в связном списке, сначала инициализируются узлы, а затем между ними строятся ссылки (указатели).
=== "Python"
```python title="binary_tree.py"
# Инициализация двоичного дерева
# Инициализация узлов
n1 = TreeNode(val=1)
n2 = TreeNode(val=2)
n3 = TreeNode(val=3)
n4 = TreeNode(val=4)
n5 = TreeNode(val=5)
# Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
```
=== "C++"
```cpp title="binary_tree.cpp"
/* Инициализация двоичного дерева */
// Инициализация узлов
TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1->left = n2;
n1->right = n3;
n2->left = n4;
n2->right = n5;
```
=== "Java"
```java title="binary_tree.java"
// Инициализация узлов
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
TreeNode n4 = new TreeNode(4);
TreeNode n5 = new TreeNode(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```
=== "C#"
```csharp title="binary_tree.cs"
/* Инициализация двоичного дерева */
// Инициализация узлов
TreeNode n1 = new(1);
TreeNode n2 = new(2);
TreeNode n3 = new(3);
TreeNode n4 = new(4);
TreeNode n5 = new(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```
=== "Go"
```go title="binary_tree.go"
/* Инициализация двоичного дерева */
// Инициализация узлов
n1 := NewTreeNode(1)
n2 := NewTreeNode(2)
n3 := NewTreeNode(3)
n4 := NewTreeNode(4)
n5 := NewTreeNode(5)
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.Left = n2
n1.Right = n3
n2.Left = n4
n2.Right = n5
```
=== "Swift"
```swift title="binary_tree.swift"
// Инициализация узлов
let n1 = TreeNode(x: 1)
let n2 = TreeNode(x: 2)
let n3 = TreeNode(x: 3)
let n4 = TreeNode(x: 4)
let n5 = TreeNode(x: 5)
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
```
=== "JS"
```javascript title="binary_tree.js"
/* Инициализация двоичного дерева */
// Инициализация узлов
let n1 = new TreeNode(1),
n2 = new TreeNode(2),
n3 = new TreeNode(3),
n4 = new TreeNode(4),
n5 = new TreeNode(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```
=== "TS"
```typescript title="binary_tree.ts"
/* Инициализация двоичного дерева */
// Инициализация узлов
let n1 = new TreeNode(1),
n2 = new TreeNode(2),
n3 = new TreeNode(3),
n4 = new TreeNode(4),
n5 = new TreeNode(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```
=== "Dart"
```dart title="binary_tree.dart"
/* Инициализация двоичного дерева */
// Инициализация узлов
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
TreeNode n4 = new TreeNode(4);
TreeNode n5 = new TreeNode(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```
=== "Rust"
```rust title="binary_tree.rs"
// Инициализация узлов
let n1 = TreeNode::new(1);
let n2 = TreeNode::new(2);
let n3 = TreeNode::new(3);
let n4 = TreeNode::new(4);
let n5 = TreeNode::new(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
n1.borrow_mut().right = Some(n3);
n2.borrow_mut().left = Some(n4);
n2.borrow_mut().right = Some(n5);
```
=== "C"
```c title="binary_tree.c"
/* Инициализация двоичного дерева */
// Инициализация узлов
TreeNode *n1 = newTreeNode(1);
TreeNode *n2 = newTreeNode(2);
TreeNode *n3 = newTreeNode(3);
TreeNode *n4 = newTreeNode(4);
TreeNode *n5 = newTreeNode(5);
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1->left = n2;
n1->right = n3;
n2->left = n4;
n2->right = n5;
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="binary_tree.kt"
// Инициализация узлов
val n1 = TreeNode(1)
val n2 = TreeNode(2)
val n3 = TreeNode(3)
val n4 = TreeNode(4)
val n5 = TreeNode(5)
// Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
```
=== "Ruby"
```ruby title="binary_tree.rb"
# Инициализация двоичного дерева
# Инициализация узлов
n1 = TreeNode.new(1)
n2 = TreeNode.new(2)
n3 = TreeNode.new(3)
n4 = TreeNode.new(4)
n5 = TreeNode.new(5)
# Построение ссылок (указателей) между узлами
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
```
??? pythontutor "Визуализация выполнения"
https://pythontutor.com/render.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%B0%20%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B0%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%97%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%B0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%D0%A1%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B0%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D0%B9%20%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%D0%A1%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B0%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D1%8B%D0%B9%20%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%98%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE%0A%20%20%20%20%23%20%D0%98%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode%28val%3D1%29%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode%28val%3D2%29%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode%28val%3D3%29%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode%28val%3D4%29%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode%28val%3D5%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D1%81%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B8%20%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D1%83%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%B0%D0%BC%D0%B8%20%28%D1%83%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B8%29%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false
### Вставка и удаление узлов
Как и в связном списке, вставка и удаление узлов в двоичном дереве могут выполняться через изменение указателей. На рисунке ниже приведен пример.
![Вставка и удаление узлов в двоичном дереве](binary_tree.assets/binary_tree_add_remove.png)
=== "Python"
```python title="binary_tree.py"
# Вставка и удаление узлов
p = TreeNode(0)
# Вставить узел P между n1 -> n2
n1.left = p
p.left = n2
# Удалить узел P
n1.left = n2
```
=== "C++"
```cpp title="binary_tree.cpp"
/* Вставка и удаление узлов */
TreeNode* P = new TreeNode(0);
// Вставить узел P между n1 -> n2
n1->left = P;
P->left = n2;
// Удалить узел P
n1->left = n2;
// Освободить память
delete P;
```
=== "Java"
```java title="binary_tree.java"
TreeNode P = new TreeNode(0);
// Вставить узел P между n1 -> n2
n1.left = P;
P.left = n2;
// Удалить узел P
n1.left = n2;
```
=== "C#"
```csharp title="binary_tree.cs"
/* Вставка и удаление узлов */
TreeNode P = new(0);
// Вставить узел P между n1 -> n2
n1.left = P;
P.left = n2;
// Удалить узел P
n1.left = n2;
```
=== "Go"
```go title="binary_tree.go"
/* Вставка и удаление узлов */
// Вставить узел P между n1 -> n2
p := NewTreeNode(0)
n1.Left = p
p.Left = n2
// Удалить узел P
n1.Left = n2
```
=== "Swift"
```swift title="binary_tree.swift"
let P = TreeNode(x: 0)
// Вставить узел P между n1 -> n2
n1.left = P
P.left = n2
// Удалить узел P
n1.left = n2
```
=== "JS"
```javascript title="binary_tree.js"
/* Вставка и удаление узлов */
let P = new TreeNode(0);
// Вставить узел P между n1 -> n2
n1.left = P;
P.left = n2;
// Удалить узел P
n1.left = n2;
```
=== "TS"
```typescript title="binary_tree.ts"
/* Вставка и удаление узлов */
const P = new TreeNode(0);
// Вставить узел P между n1 -> n2
n1.left = P;
P.left = n2;
// Удалить узел P
n1.left = n2;
```
=== "Dart"
```dart title="binary_tree.dart"
/* Вставка и удаление узлов */
TreeNode P = new TreeNode(0);
// Вставить узел P между n1 -> n2
n1.left = P;
P.left = n2;
// Удалить узел P
n1.left = n2;
```
=== "Rust"
```rust title="binary_tree.rs"
let p = TreeNode::new(0);
// Вставить узел P между n1 -> n2
n1.borrow_mut().left = Some(p.clone());
p.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
// Удалить узел p
n1.borrow_mut().left = Some(n2);
```
=== "C"
```c title="binary_tree.c"
/* Вставка и удаление узлов */
TreeNode *P = newTreeNode(0);
// Вставить узел P между n1 -> n2
n1->left = P;
P->left = n2;
// Удалить узел P
n1->left = n2;
// Освободить память
free(P);
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="binary_tree.kt"
val P = TreeNode(0)
// Вставить узел P между n1 -> n2
n1.left = P
P.left = n2
// Удалить узел P
n1.left = n2
```
=== "Ruby"
```ruby title="binary_tree.rb"
# Вставка и удаление узлов
_p = TreeNode.new(0)
# Вставить узел _p между n1 -> n2
n1.left = _p
_p.left = n2
# Удалить узел
n1.left = n2
```
??? pythontutor "Визуализация выполнения"
https://pythontutor.com/render.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%B0%20%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B0%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%97%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%B0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%D0%A1%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B0%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D0%B9%20%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%D0%A1%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B0%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D1%8B%D0%B9%20%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%98%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE%0A%20%20%20%20%23%20%D0%98%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode%28val%3D1%29%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode%28val%3D2%29%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode%28val%3D3%29%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode%28val%3D4%29%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode%28val%3D5%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D1%81%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B8%20%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D1%83%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%B0%D0%BC%D0%B8%20%28%D1%83%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B8%29%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B0%20%D0%B8%20%D1%83%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B2%0A%20%20%20%20p%20%3D%20TreeNode%280%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB%20P%20%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D1%83%20n1%20-%3E%20n2%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20p%0A%20%20%20%20p.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A3%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB%20P%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2&cumulative=false&curInstr=37&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false
!!! tip
Стоит помнить, что вставка узла может изменить исходную логическую структуру двоичного дерева, а удаление узла обычно означает удаление этого узла вместе со всеми его поддеревьями. Поэтому в двоичном дереве операции вставки и удаления обычно являются частью более крупного набора операций, который и реализует осмысленное действие.
## Распространенные типы двоичных деревьев
### Идеальное двоичное дерево
Как показано на рисунке ниже, <u>идеальное двоичное дерево (perfect binary tree)</u> полностью заполнено на всех уровнях. В идеальном двоичном дереве степень листовых узлов равна $0$ , а у всех остальных узлов степень равна $2$. Если высота дерева равна $h$ , то общее число узлов равно $2^{h+1} - 1$ , что образует стандартную экспоненциальную зависимость и отражает часто встречающееся в природе явление клеточного деления.
!!! tip
В китайскоязычном сообществе идеальное двоичное дерево часто называют <u>полностью заполненным двоичным деревом</u>.
![Идеальное двоичное дерево](binary_tree.assets/perfect_binary_tree.png)
### Полное двоичное дерево
Как показано на рисунке ниже, <u>полное двоичное дерево (complete binary tree)</u> допускает неполное заполнение только на самом нижнем уровне, причем узлы этого уровня должны непрерывно заполняться слева направо. Стоит отметить, что идеальное двоичное дерево тоже является полным двоичным деревом.
![Полное двоичное дерево](binary_tree.assets/complete_binary_tree.png)
### Строгое двоичное дерево
Как показано на рисунке ниже, <u>строгое двоичное дерево (full binary tree)</u> имеет у всех нелистовых узлов ровно двух дочерних узлов.
![Строгое двоичное дерево](binary_tree.assets/full_binary_tree.png)
### Сбалансированное двоичное дерево
Как показано на рисунке ниже, в <u>сбалансированном двоичном дереве (balanced binary tree)</u> для любого узла абсолютное значение разности высот левого и правого поддеревьев не превышает 1 .
![Сбалансированное двоичное дерево](binary_tree.assets/balanced_binary_tree.png)
## Вырождение двоичного дерева
На рисунке ниже показаны идеальная структура двоичного дерева и вырожденная структура. Когда каждый уровень двоичного дерева полностью заполнен узлами, мы получаем «идеальное двоичное дерево». Когда же все узлы смещаются к одной стороне, двоичное дерево вырождается в «связный список».
- Идеальное двоичное дерево соответствует лучшему случаю и позволяет в полной мере раскрыть преимущества подхода «разделяй и властвуй».
- Связный список представляет противоположную крайность: все операции становятся линейными, а временная сложность деградирует до $O(n)$ .
![Лучший и худший случаи структуры двоичного дерева](binary_tree.assets/binary_tree_best_worst_cases.png)
Как показано в таблице ниже, в лучшем и худшем случаях число листовых узлов, общее число узлов, высота и другие характеристики двоичного дерева достигают максимума или минимума.
<p align="center"> Таблица <id> &nbsp; Лучший и худший случаи структуры двоичного дерева </p>
| | Идеальное двоичное дерево | Связный список |
| --------------------------- | ------------------------- | -------------- |
| Число узлов на уровне $i$ | $2^{i-1}$ | $1$ |
| Число листьев у дерева высоты $h$ | $2^h$ | $1$ |
| Общее число узлов у дерева высоты $h$ | $2^{h+1} - 1$ | $h + 1$ |
| Высота дерева с $n$ узлами | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$ |
Reference in New Issue View Git Blame Copy Permalink