mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-07-05 04:04:22 +00:00
krahets
83 lines
9.1 KiB
Markdown
83 lines
9.1 KiB
Markdown
# Двоичный поиск
|
|
|
|
<u>Двоичный (бинарный) поиск</u> -- это эффективный алгоритм поиска, основанный на стратегии «разделяй и властвуй». Он использует упорядоченность данных, сокращая на каждом шаге область поиска вдвое, пока не будет найден целевой элемент или область поиска не станет пустой.
|
|
|
|
!!! question
|
|
|
|
Дан массив `nums` длиной $n$, элементы которого расположены в порядке возрастания и не повторяются. Необходимо найти и вернуть индекс элемента `target` в этом массиве. Если массив не содержит этот элемент, вернуть $-1$. Пример показан на рисунке ниже.
|
|
|
|
|
|
|
|
Как показано на рисунке ниже, сначала инициализируются указатели $i = 0$ и $j = n - 1$, которые указывают на первый и последний элементы массива и представляют область поиска $[0, n - 1]$. Обратите внимание, что квадратные скобки обозначают замкнутый интервал, включающий граничные значения.
|
|
|
|
Затем в цикле выполняются следующие два шага:
|
|
|
|
1. Вычисляется индекс средней точки $m = \lfloor (i + j)/2 \rfloor$, где $\lfloor \: \rfloor$ обозначает операцию округления вниз.
|
|
2. Определяется соотношение между `nums[m]` и `target`, выделяются три случая:
|
|
1. Если `nums[m] < target`, то `target` находится в интервале $[m + 1, j]$, поэтому выполняется $i = m + 1$.
|
|
2. Если `nums[m] > target`, то `target` находится в интервале $[i, m - 1]$, поэтому выполняется $j = m - 1$.
|
|
3. Если `nums[m] = target`, то `target` найден, и возвращается индекс $m$.
|
|
|
|
Если массив не содержит целевой элемент, область поиска в конечном итоге сократится до пустой. В этом случае возвращается $-1$.
|
|
|
|
=== "<1>"
|
|
|
|
|
|
=== "<2>"
|
|
|
|
|
|
=== "<3>"
|
|
|
|
|
|
=== "<4>"
|
|
|
|
|
|
=== "<5>"
|
|
|
|
|
|
=== "<6>"
|
|
|
|
|
|
=== "<7>"
|
|
|
|
|
|
Следует отметить, что, поскольку $i$ и $j$ имеют тип `int`, **сумма $i + j$ может превысить допустимый диапазон значений типа `int`**. Чтобы избежать переполнения, обычно для вычисления средней точки используется формула $m = \lfloor i + (j - i)/2 \rfloor$.
|
|
|
|
Ниже приведен пример кода.
|
|
|
|
```src
|
|
[file]{binary_search}-[class]{}-[func]{binary_search}
|
|
```
|
|
|
|
**Временная сложность составляет $O(\log n)$**: в цикле двоичного поиска область поиска сокращается вдвое на каждом шаге, поэтому количество итераций равно $\log_2 n$.
|
|
|
|
**Пространственная сложность составляет $O(1)$**: указатели $i$ и $j$ занимают постоянное количество памяти.
|
|
|
|
## Методы представления интервалов
|
|
|
|
Кроме указанного выше двойного замкнутого интервала, существует также левозамкнутый правооткрытый интервал $[0, n)$, т. е. левая граница включается, а правая -- нет. В этом представлении интервал $[i, j)$ пуст, когда $i = j$.
|
|
|
|
На основе этого представления можно реализовать двоичный поиск с аналогичной функциональностью.
|
|
|
|
```src
|
|
[file]{binary_search}-[class]{}-[func]{binary_search_lcro}
|
|
```
|
|
|
|
В двух представлениях интервалов инициализация, условия цикла и операции сокращения интервала в алгоритме двоичного поиска различаются, как показано на рисунке ниже.
|
|
|
|
Поскольку в представлении «двойной замкнутый интервал» обе границы определены как замкнутые, операции сокращения интервала с помощью указателей $i$ и $j$ также симметричны. Это снижает вероятность ошибок, поэтому обычно **рекомендуется использовать запись «двойной замкнутый интервал»**.
|
|
|
|
|
|
|
|
## Преимущества и ограничения
|
|
|
|
Двоичный поиск обладает хорошей производительностью как по времени, так и по пространству.
|
|
|
|
- Двоичный поиск отличается высокой эффективностью по времени. При большом объеме данных логарифмическая временная сложность имеет значительное преимущество. Например, при размере данных $n = 2^{20}$ линейный поиск требует $2^{20} = 1048576$ итераций, тогда как двоичный поиск -- всего $\log_2 2^{20} = 20$ итераций.
|
|
- Двоичный поиск, в отличие от некоторых других алгоритмов поиска (например, хеш-поиска), не требует дополнительного пространства и поэтому более экономичен в плане использования памяти.
|
|
|
|
Тем не менее двоичный поиск не подходит для всех случаев по следующим основным причинам.
|
|
|
|
- Двоичный поиск применим только к упорядоченным данным. Если входные данные неупорядоченные, то их сортировка специально для использования двоичного поиска не оправдана. Это связано с тем, что временная сложность алгоритмов сортировки обычно составляет $O(n \log n)$, что выше, чем у линейного и двоичного поиска. В сценариях с частыми добавлениями элементов для поддержания упорядоченности массива необходимо вставлять элементы в определенные позиции, что имеет временную сложность $O(n)$ и также является весьма затратным.
|
|
- Двоичный поиск применим только к массивам, поскольку требует скачкообразного (непрерывного) доступа к элементам. В связных списках выполнение скачкообразного доступа менее эффективно, поэтому такой поиск не подходит для применения в связных списках и структурах данных, основанных на них.
|
|
- При небольших объемах данных линейный поиск более эффективен. В линейном поиске на каждом этапе требуется только одна операция сравнения; в двоичном поиске требуется одна операция сложения, одна операция деления, от одной до трех операций сравнения и одна операция сложения (вычитания), всего от четырех до шести элементарных операций. Поэтому, когда объем данных $n$ невелик, линейный поиск оказывается быстрее двоичного. |