mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-07-23 03:46:05 +00:00
krahets
103 lines
7.8 KiB
Markdown
103 lines
7.8 KiB
Markdown
---
|
||
comments: true
|
||
---
|
||
|
||
<!-- Автоматически создано utils/exercises/publish_exercises.py; не редактируйте напрямую. -->
|
||
|
||
# 12.6 Упражнения
|
||
|
||
## 12.6.1 Вопросы для самопроверки
|
||
|
||
### 1. Какие задачи подходят для метода «разделяй и властвуй»
|
||
|
||
Ученик хочет решить следующие задачи способом «разделить на две половины, решить каждую отдельно, затем объединить результаты».
|
||
Для каждой задачи выберите одно из утверждений: «подходит для метода “разделяй и властвуй”», «разделение возможно, но не уменьшает общий объем работы» или «половины нельзя решить независимо». Объясните свой выбор.
|
||
|
||
<!-- numbered-subquestions -->
|
||
|
||
1. Отсортировать неупорядоченный массив;
|
||
2. найти максимальный элемент массива;
|
||
3. последовательно выполнить набор операций стека `push(x)` и `pop()`, выводя элемент, полученный при каждой операции `pop()`.
|
||
|
||
??? success "Ответ"
|
||
|
||
1. Подходит: массив делится пополам, обе половины независимо сортируются, а затем сливаются за $O(n)$ — именно так работает сортировка слиянием.
|
||
2. Разделение возможно, но оно не уменьшит общий объем работы: в обеих половинах в сумме все равно нужно проверить все $n$ элементов,
|
||
поэтому, как и при прямом обходе, потребуется $O(n)$ времени.
|
||
3. Половины нельзя решить независимо: содержимое стека в начале второй половины операций зависит от результата первой,
|
||
поэтому решить их независимо, не зная результатов друг друга, невозможно.
|
||
|
||
### 2. Как быстрое возведение в степень уменьшает число вычислений
|
||
|
||
Рекурсивная функция ниже вычисляет $x^n$ методом «разделяй и властвуй»:
|
||
|
||
```python
|
||
def fast_pow(x, n):
|
||
if n == 0:
|
||
return 1
|
||
half = fast_pow(x, n // 2)
|
||
if n % 2 == 0:
|
||
return half * half
|
||
return half * half * x
|
||
```
|
||
|
||
Функция вызывается как `fast_pow(3, 5)`.
|
||
|
||
<!-- numbered-subquestions -->
|
||
|
||
1. Какие значения последовательно принимает параметр `n` при рекурсивных вызовах?
|
||
2. Какие значения поочередно возвращаются на каждом уровне, начиная с самого глубокого?
|
||
3. Почему результат нужно сначала сохранить в `half`, а не дважды записывать `fast_pow(x, n // 2)`?
|
||
|
||
??? success "Ответ"
|
||
|
||
1. Параметр последовательно принимает значения `5 → 2 → 1 → 0`: на каждом шаге показатель степени уменьшается вдвое до достижения условия завершения.
|
||
|
||
2. При `n = 0` возвращается 1; при `n = 1` возвращается $1×1×3=3$;
|
||
при `n = 2` — $3×3=9$; при `n = 5` — $9×9×3=243$.
|
||
|
||
3. Если записать `fast_pow(x, n // 2)` по обе стороны умножения, два рекурсивных вызова будут решать одну и ту же подзадачу.
|
||
Когда результат сохраняется в `half`, на каждом уровне выполняется только один рекурсивный вызов, а глубина рекурсии составляет примерно $\log n$;
|
||
два вызова привели бы к множеству повторных вычислений.
|
||
|
||
### 3. Разделение левого и правого поддеревьев по последовательностям обхода
|
||
|
||
Двоичное дерево без повторяющихся узлов имеет следующие последовательности прямого и симметричного обходов:
|
||
|
||
- прямой обход: `[A, B, D, E, C]`
|
||
- симметричный обход: `[D, B, E, A, C]`
|
||
|
||
Выполните только разделение на уровне корневого узла: продолжать рекурсию и рисовать все дерево не требуется.
|
||
|
||
<!-- numbered-subquestions -->
|
||
|
||
1. Какой узел является корневым?
|
||
2. Какие участки симметричного обхода соответствуют левому и правому поддеревьям?
|
||
3. Какие участки прямого обхода соответствуют левому и правому поддеревьям? Какие непосредственные дочерние узлы имеет корень?
|
||
|
||
??? success "Ответ"
|
||
|
||
1. Первый узел прямого обхода является корневым, поэтому корень — `A`.
|
||
|
||
2. Узел `A` делит симметричный обход на две части: левому поддереву соответствует `[D, B, E]`, правому — `[C]`.
|
||
|
||
3. Левое поддерево содержит 3 узла, поэтому следующие после корня `A` 3 элемента прямого обхода относятся к левому поддереву:
|
||
`[B, D, E]`. Оставшийся участок `[C]` относится к правому поддереву.
|
||
Следовательно, левый дочерний узел корня — `B`, а правый — `C`.
|
||
|
||
## 12.6.2 Задачи по программированию
|
||
|
||
### 1. Быстрое возведение в степень
|
||
|
||
Даны вещественное число `x` и целое число `n`. Вычислите $x^n$, не используя встроенную функцию возведения в степень.
|
||
Примените рекурсивный метод «разделяй и властвуй»: каждый раз уменьшайте показатель степени вдвое и повторно используйте уже вычисленный результат подзадачи.
|
||
В этой задаче $x^0=1$, в том числе при `x = 0`; если `n < 0`, гарантируется, что `x != 0`, а ответ можно преобразовать к $(1/x)^{-n}$.
|
||
|
||
??? tip "Подсказки"
|
||
|
||
1. При n, равном 0, ответ равен 1
|
||
2. Вычислив x в степени n // 2, сохраните результат в half и не выполняйте рекурсивный вызов второй раз
|
||
3. Если n < 0, сначала замените x на 1 / x, а n — на -n; в C++ или Java предварительно преобразуйте n в 64-битное целое число, чтобы избежать переполнения при смене знака у минимального 32-битного целого
|
||
|
||
[LeetCode](https://leetcode.com/problems/powx-n/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }
|