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Ikko Eltociear Ashimine
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# Top-k問題
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!!! question
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長さ$n$の順序付けられていない配列`nums`が与えられたとき、配列内の最大$k$個の要素を返してください。
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この問題について、まず2つの直接的な解法を紹介し、次により効率的なヒープベースの方法を説明します。
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## 方法1：反復選択
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下図に示すように、$k$回の反復を実行し、各回で$1$番目、$2$番目、$\dots$、$k$番目に大きい要素を抽出できます。時間計算量は$O(nk)$です。
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この方法は$k \ll n$の場合にのみ適しています。$k$が$n$に近い場合、時間計算量は$O(n^2)$に近づき、非常に時間がかかります。
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!!! tip
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$k = n$の場合、完全に順序付けられたシーケンスを得ることができ、これは「選択ソート」アルゴリズムと同等です。
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## 方法2：ソート
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下図に示すように、まず配列`nums`をソートし、次に最後の$k$個の要素を返すことができます。時間計算量は$O(n \log n)$です。
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明らかに、この方法はタスクを「やりすぎ」ています。最大$k$個の要素を見つけるだけでよく、他の要素をソートする必要はありません。
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## 方法3：ヒープ
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以下のプロセスに示すように、ヒープに基づいてTop-k問題をより効率的に解決できます。
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1. 最小ヒープを初期化します。先頭要素が最小になります。
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2. まず、配列の最初の$k$個の要素をヒープに挿入します。
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3. $k + 1$番目の要素から開始し、現在の要素がヒープの先頭要素より大きい場合、ヒープの先頭要素を削除し、現在の要素をヒープに挿入します。
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4. 走査を完了した後、ヒープには最大$k$個の要素が含まれています。
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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=== "<3>"
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=== "<4>"
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=== "<5>"
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=== "<6>"
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=== "<7>"
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=== "<8>"
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=== "<9>"
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サンプルコードは以下の通りです：
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```src
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[file]{top_k}-[class]{}-[func]{top_k_heap}
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```
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合計$n$回のヒープ挿入と削除が実行され、最大ヒープサイズが$k$であるため、時間計算量は$O(n \log k)$です。この方法は非常に効率的で、$k$が小さい場合、時間計算量は$O(n)$に近づき、$k$が大きい場合でも、時間計算量は$O(n \log n)$を超えません。
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さらに、この方法は動的データストリームのシナリオに適しています。データを継続的に追加することで、ヒープ内の要素を維持し、最大$k$個の要素の動的更新を実現できます。
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