hello-algo/ja/docs/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur.md

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12.2   分割統治検索戦略

私たちは検索アルゴリズムが主に2つのカテゴリに分類されることを学びました。

• 総当たり検索：データ構造を走査することで実装され、時間計算量は O(n) です。
• 適応検索：独特なデータ組織形式や事前情報を利用し、時間計算量は O(\log n) または O(1) に達することができます。

実際、時間計算量が O(\log n) の検索アルゴリズムは通常分割統治戦略に基づいています。例えば、二分探索や木などです。

• 二分探索の各ステップは、問題（配列内でターゲット要素を検索する）をより小さな問題（配列の半分でターゲット要素を検索する）に分割し、配列が空になるかターゲット要素が見つかるまで続けます。
• 木は分割統治のアイデアを表現し、二分探索木、AVL木、ヒープなどのデータ構造では、様々な操作の時間計算量は O(\log n) です。

二分探索の分割統治戦略は以下の通りです。

• 問題を分割できる：二分探索は元の問題（配列内での検索）を部分問題（配列の半分での検索）に再帰的に分割し、中間要素とターゲット要素を比較することで実現されます。
• 部分問題は独立している：二分探索では、各ラウンドで一つの部分問題を処理し、他の部分問題に影響されません。
• 部分問題の解をマージする必要がない：二分探索は特定の要素を見つけることを目的としているため、部分問題の解をマージする必要がありません。部分問題が解決されると、元の問題も解決されます。

分割統治は検索効率を向上させることができます。なぜなら、総当たり検索はラウンドごとに1つの選択肢しか除去できませんが、分割統治は選択肢の半分を除去できるからです。

1.   分割統治に基づく二分探索の実装

前の章では、二分探索は反復に基づいて実装されました。今度は、分割統治（再帰）に基づいて実装します。

!!! question

長さ $n$ の順序付けられた配列 `nums` が与えられ、すべての要素が一意である場合、要素 `target` を見つけてください。

分割統治の観点から、検索区間 [i, j] に対応する部分問題を f(i, j) と表します。

元の問題 f(0, n-1) から開始して、以下のステップで二分探索を実行します。

1. 検索区間 [i, j] の中点 m を計算し、それを使用して検索区間の半分を除去します。
2. 半分のサイズに縮小された部分問題を再帰的に解決します。これは f(i, m-1) または f(m+1, j) になる可能性があります。
3. target が見つかるか区間が空になってリターンするまで、ステップ 1. と 2. を繰り返します。

以下の図は、配列内で要素 6 を探す二分探索の分割統治過程を示しています。

{ class="animation-figure" }

図 12-4   二分探索の分割統治過程

実装コードでは、問題 f(i, j) を解決するために再帰関数 dfs() を宣言します：

=== "Python"

```python title="binary_search_recur.py"
def dfs(nums: list[int], target: int, i: int, j: int) -> int:
    """二分探索：問題 f(i, j)"""
    # 区間が空の場合、対象要素がないことを示すため、-1 を返す
    if i > j:
        return -1
    # 中点インデックス m を計算
    m = (i + j) // 2
    if nums[m] < target:
        # 再帰部分問題 f(m+1, j)
        return dfs(nums, target, m + 1, j)
    elif nums[m] > target:
        # 再帰部分問題 f(i, m-1)
        return dfs(nums, target, i, m - 1)
    else:
        # 対象要素を発見したため、そのインデックスを返す
        return m

def binary_search(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分探索"""
    n = len(nums)
    # 問題 f(0, n-1) を解く
    return dfs(nums, target, 0, n - 1)
```

=== "C++"

```cpp title="binary_search_recur.cpp"
/* 二分探索：問題 f(i, j) */
int dfs(vector<int> &nums, int target, int i, int j) {
    // 区間が空の場合、対象要素が存在しないことを示すため、-1 を返す
    if (i > j) {
        return -1;
    }
    // 中点インデックス m を計算
    int m = i + (j - i) / 2;
    if (nums[m] < target) {
        // 再帰的な部分問題 f(m+1, j)
        return dfs(nums, target, m + 1, j);
    } else if (nums[m] > target) {
        // 再帰的な部分問題 f(i, m-1)
        return dfs(nums, target, i, m - 1);
    } else {
        // 対象要素が見つかったため、そのインデックスを返す
        return m;
    }
}

/* 二分探索 */
int binarySearch(vector<int> &nums, int target) {
    int n = nums.size();
    // 問題 f(0, n-1) を解く
    return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
```

=== "Java"

```java title="binary_search_recur.java"
/* 二分探索：問題 f(i, j) */
int dfs(int[] nums, int target, int i, int j) {
    // 区間が空の場合、対象要素が存在しないことを示すため、-1 を返す
    if (i > j) {
        return -1;
    }
    // 中点インデックス m を計算
    int m = i + (j - i) / 2;
    if (nums[m] < target) {
        // 再帰的な部分問題 f(m+1, j)
        return dfs(nums, target, m + 1, j);
    } else if (nums[m] > target) {
        // 再帰的な部分問題 f(i, m-1)
        return dfs(nums, target, i, m - 1);
    } else {
        // 対象要素が見つかったため、そのインデックスを返す
        return m;
    }
}

/* 二分探索 */
int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int n = nums.length;
    // 問題 f(0, n-1) を解く
    return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
```

=== "C#"

```csharp title="binary_search_recur.cs"
[class]{binary_search_recur}-[func]{DFS}

[class]{binary_search_recur}-[func]{BinarySearch}
```

=== "Go"

```go title="binary_search_recur.go"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{binarySearch}
```

=== "Swift"

```swift title="binary_search_recur.swift"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{binarySearch}
```

=== "JS"

```javascript title="binary_search_recur.js"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{binarySearch}
```

=== "TS"

```typescript title="binary_search_recur.ts"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{binarySearch}
```

=== "Dart"

```dart title="binary_search_recur.dart"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{binarySearch}
```

=== "Rust"

```rust title="binary_search_recur.rs"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{binary_search}
```

=== "C"

```c title="binary_search_recur.c"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{binarySearch}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="binary_search_recur.kt"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{binarySearch}
```

=== "Ruby"

```ruby title="binary_search_recur.rb"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{binary_search}
```