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10.3 二分探索の境界
10.3.1 左境界を見つける
!!! question
重複要素を含む可能性がある長さ$n$のソート済み配列`nums`が与えられ、最も左の要素`target`のインデックスを返してください。要素が配列に存在しない場合は、$-1$を返してください。
挿入位置の二分探索方法を思い出すと、探索完了後、インデックス$i$はtargetの最も左の出現を指します。したがって、挿入位置の探索は本質的に最も左のtargetのインデックスを見つけることと同じです。
挿入位置を見つける関数を使用してtargetの左境界を見つけることができます。配列にtargetが含まれていない可能性があることに注意してください。これは以下の2つの結果につながる可能性があります：
- 挿入位置のインデックス$i$が範囲外です。
- 要素
nums[i]がtargetと等しくありません。
これらの場合、単に$-1$を返します。コードは以下の通りです：
=== "Python"
```python title="binary_search_edge.py"
def binary_search_left_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
"""最左端のターゲットの二分探索"""
# ターゲットの挿入位置を見つけることと同等
i = binary_search_insertion(nums, target)
# ターゲットが見つからなかった場合、-1 を返す
if i == len(nums) or nums[i] != target:
return -1
# ターゲットが見つかった場合、インデックス i を返す
return i
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_edge.cpp"
/* 最左のターゲットの二分探索 */
int binarySearchLeftEdge(vector<int> &nums, int target) {
// targetの挿入ポイントを見つけることと等価
int i = binarySearchInsertion(nums, target);
// targetが見つからなかったため、-1を返す
if (i == nums.size() || nums[i] != target) {
return -1;
}
// targetが見つかったため、インデックスiを返す
return i;
}
```
=== "Java"
```java title="binary_search_edge.java"
/* 最も左の target を二分探索 */
int binarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
// target の挿入点を見つけることと等価
int i = binary_search_insertion.binarySearchInsertion(nums, target);
// target を見つけられなかったので、-1 を返す
if (i == nums.length || nums[i] != target) {
return -1;
}
// target を見つけたので、インデックス i を返す
return i;
}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_edge.cs"
[class]{binary_search_edge}-[func]{BinarySearchLeftEdge}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_edge.go"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_edge.swift"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "JS"
```javascript title="binary_search_edge.js"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "TS"
```typescript title="binary_search_edge.ts"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_search_edge.dart"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_edge.rs"
[class]{}-[func]{binary_search_left_edge}
```
=== "C"
```c title="binary_search_edge.c"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="binary_search_edge.kt"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "Ruby"
```ruby title="binary_search_edge.rb"
[class]{}-[func]{binary_search_left_edge}
```
10.3.2 右境界を見つける
targetの最も右の出現をどのように見つけるでしょうか？最も直接的な方法は、nums[m] == targetの場合に探索境界を調整する方法を変更して、従来の二分探索ロジックを修正することです。コードはここでは省略されています。興味がある場合は、自分でコードを実装してみてください。
以下では、さらに2つの巧妙な方法を紹介します。
1. 左境界探索を再利用する
targetの最も右の出現を見つけるには、最も左のtargetを見つけるために使用された関数を再利用できます。具体的には、最も右のターゲットの探索を最も左のターゲット + 1の探索に変換します。
下図に示すように、探索完了後、ポインタ$i$は最も左のtarget + 1（存在する場合）を指し、ポインタ$j$はtargetの最も右の出現を指します。したがって、$j$を返すことで右境界が得られます。
{ class="animation-figure" }
図 10-7 Transforming the search for the right boundary into the search for the left boundary
返される挿入位置は$i$であることに注意してください。したがって、$j$を得るためには1を引く必要があります：
=== "Python"
```python title="binary_search_edge.py"
def binary_search_right_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
"""最右端のターゲットの二分探索"""
# 最左端のターゲット + 1 を見つけることに変換
i = binary_search_insertion(nums, target + 1)
# j は最右端のターゲットを指し、i はターゲットより大きい最初の要素を指す
j = i - 1
# ターゲットが見つからなかった場合、-1 を返す
if j == -1 or nums[j] != target:
return -1
# ターゲットが見つかった場合、インデックス j を返す
return j
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_edge.cpp"
/* 最右のターゲットの二分探索 */
int binarySearchRightEdge(vector<int> &nums, int target) {
// 最左のtarget + 1を見つけることに変換
int i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
// jは最右のターゲットを指し、iはtargetより大きい最初の要素を指す
int j = i - 1;
// targetが見つからなかったため、-1を返す
if (j == -1 || nums[j] != target) {
return -1;
}
// targetが見つかったため、インデックスjを返す
return j;
}
```
=== "Java"
```java title="binary_search_edge.java"
/* 最も右の target を二分探索 */
int binarySearchRightEdge(int[] nums, int target) {
// 最も左の target + 1 を見つけることに変換
int i = binary_search_insertion.binarySearchInsertion(nums, target + 1);
// j は最も右の target を指し、i は target より大きい最初の要素を指す
int j = i - 1;
// target を見つけられなかったので、-1 を返す
if (j == -1 || nums[j] != target) {
return -1;
}
// target を見つけたので、インデックス j を返す
return j;
}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_edge.cs"
[class]{binary_search_edge}-[func]{BinarySearchRightEdge}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_edge.go"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_edge.swift"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "JS"
```javascript title="binary_search_edge.js"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "TS"
```typescript title="binary_search_edge.ts"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_search_edge.dart"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_edge.rs"
[class]{}-[func]{binary_search_right_edge}
```
=== "C"
```c title="binary_search_edge.c"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="binary_search_edge.kt"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "Ruby"
```ruby title="binary_search_edge.rb"
[class]{}-[func]{binary_search_right_edge}
```
2. 要素探索に変換する
配列にtargetが含まれていない場合、$i$と$j$は最終的にtargetより大きい最初の要素と小さい最初の要素をそれぞれ指します。
したがって、下図に示すように、配列に存在しない要素を構築して、左と右の境界を探索できます。
- 最も左の
targetを見つけるには：target - 0.5を探索することに変換でき、ポインタ$i$を返します。 - 最も右の
targetを見つけるには：target + 0.5を探索することに変換でき、ポインタ$j$を返します。
{ class="animation-figure" }
図 10-8 Transforming the search for boundaries into the search for an element
コードはここでは省略されていますが、このアプローチについて注意すべき2つの重要な点があります。
- 与えられた配列
numsには小数が含まれていないため、等しい場合の処理は心配ありません。 - ただし、このアプローチで小数を導入するには、
target変数を浮動小数点型に変更する必要があります（Pythonでは変更は不要です）。