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Yudong Jin
9135647d93
Add dedicated chapter exercise sections and generated exercise pages for the English, Japanese, and Russian editions. Add navigation for all published languages while keeping Taiwan Traditional Chinese exercise pages generated at build time.
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<!-- utils/exercises/publish_exercises.py により自動生成されています。直接編集しないでください。 -->
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# 演習
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## 確認問題
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### 二分探索で探索区間を狭める方法
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ソート済み配列 `[2, 5, 8, 12, 16, 23, 38]` から 16 を探索します。
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両閉区間 `[i, j]` を使い、中点を
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$m=i+(j-i)/2$（小数点以下切り捨て）とします。
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目的の値が見つかるまで、各回の `(i, j, m)`、中点の要素、次に区間をどのように狭めるかを書いてください。
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??? success "解答"
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各回の探索過程は次のとおりです。
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| 回 | `(i, j, m)` | 中点の要素 | 次の操作 |
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| --- | --- | --- | --- |
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| 1 | `(0, 6, 3)` | 12 | `12 < 16` なので `i = 4` とする |
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| 2 | `(4, 6, 5)` | 23 | `23 > 16` なので `j = 4` とする |
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| 3 | `(4, 4, 4)` | 16 | 目的の値を発見し、インデックス 4 を返す |
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配列はソート済みなので、中点の値が目的の値より小さければ、中点とその左側を除外できます。
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中点の値が目的の値より大きければ、中点とその右側を除外できます。
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### 重複する要素の左右の境界
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配列 `[1, 2, 2, 2, 4, 6]` から数値 2 を探索します。
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ある生徒は、二分探索でインデックス 2 に目的の値を見つけるとすぐに返し、次のように言いました。
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「インデックス 2 が数値 2 の左端境界です。」
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<!-- numbered-subquestions -->
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1. この生徒の説明は正しいですか？数値 2 の左端境界と右端境界は、それぞれどこですか？理由も説明してください。
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2. 左端境界を探索するとき、中点の要素が目的の値と等しければ、次にどちら側を探索すべきですか？
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3. 右端境界を探索するときは、どちら側を探索すべきですか？方向だけを説明し、探索過程をすべて書く必要はありません。
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??? success "解答"
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1. この生徒の説明は正しくありません。2 を 1 つ見つけてすぐに返す方法では、いずれかの 2 を見つけたことしか保証できず、最も左または最も右の 2 だとは限りません。
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この問題の左端境界はインデックス 1、右端境界はインデックス 3 です。
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2. 左端境界を探索するときは、中点の要素が 2 と等しくても、引き続き左側を探索します。
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たとえば、両閉区間を使う場合は `j = m - 1` とします。
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3. 右端境界を探索するときは、中点の要素が 2 と等しければ、引き続き右側を探索します。
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たとえば、`i = m + 1` とします。
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### データに応じた探索方法の選び方
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「線形探索、二分探索、ハッシュテーブル」から、次の 3 つの場面に適した方法を選び、理由を説明してください。
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<!-- numbered-subquestions -->
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1. ソート済みで今後変更されない $10^7$ 個の整数を繰り返し探索する。ほかのデータ構造は追加で作らない。
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2. 挿入と削除が頻繁に行われるデータ集合で、あるキーが存在するかを繰り返し判定する。順序を保つ必要も、範囲探索を行う必要もない。
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3. ソートされていない配列から、ある値を 1 回だけ探索する。
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??? success "解答"
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1. 二分探索です。データがソート済みで変更されないため、追加の空間を使わず $O(\log n)$ で探索できます。
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2. ハッシュテーブルです。ハッシュ関数によってキーが各バケットへほぼ均等に分散される場合、挿入、削除、キーによる探索の平均時間計算量はいずれも $O(1)$ です。
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3. 先頭から末尾まで直接走査します。1 回しか探索しない場合、ソートやハッシュテーブルの作成でも、最初に配列全体を処理する必要があるため、
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この 1 回の処理に必要な作業の総量は減りません。
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どの方法を選ぶかは、データがソート済みか、追加の構造を作れるか、探索回数、必要な操作の種類によって決まります。
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## プログラミング演習
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### ソート済み配列の二分探索
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重複なく昇順に並んだ整数配列 `nums` と目的の値 `target` が与えられます。二分探索を使って `target` を見つけてください。存在する場合はその配列インデックスを返し、存在しない場合は -1 を返します。
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??? tip "解法のヒント"
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1. 最初の区間は left = 0、right = n - 1 で、区間が空でない条件は left <= right です
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2. mid = left + (right - left) // 2 で中点を計算します
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3. もし `nums[mid]` が `target` より小さければ左端を `mid + 1` へ移し、`nums[mid]` が `target` より大きければ右端を `mid - 1` へ移します。等しければすぐに返します
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[LeetCode](https://leetcode.com/problems/binary-search/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }
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### ソート済み配列への挿入位置
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重複なく昇順に並んだ整数配列 `nums` と目的の値 `target` が与えられます。
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`target` がすでに配列にあれば、そのインデックスを返します。なければ、`target` を挿入した後も重複のない昇順を保てる位置を返します。答えは 0 の場合も、配列の長さと等しい場合もあります。二分探索を使って求めてください。
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??? tip "解法のヒント"
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1. 答えは 0 の場合も、配列の長さ n の場合もあります
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2. 両閉区間を使う場合、`nums[mid]` が `target` 以上なら `right = mid - 1` とし、さらに左の位置を調べます。そうでなければ `left = mid + 1` とします
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3. ループが終了した時点で、left が挿入位置です
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[LeetCode](https://leetcode.com/problems/search-insert-position/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }
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