hello-algo/ru/docs/chapter_divide_and_conquer/exercises.md

comments

comments
true

12.6   Упражнения

12.6.1   Вопросы для самопроверки

1.   Какие задачи подходят для метода «разделяй и властвуй»

Ученик хочет решить следующие задачи способом «разделить на две половины, решить каждую отдельно, затем объединить результаты». Для каждой задачи выберите одно из утверждений: «подходит для метода “разделяй и властвуй”», «разделение возможно, но не уменьшает общий объем работы» или «половины нельзя решить независимо». Объясните свой выбор.

1. Отсортировать неупорядоченный массив;
2. найти максимальный элемент массива;
3. последовательно выполнить набор операций стека push(x) и pop(), выводя элемент, полученный при каждой операции pop().

??? success "Ответ"

1. Подходит: массив делится пополам, обе половины независимо сортируются, а затем сливаются за $O(n)$ — именно так работает сортировка слиянием.
2. Разделение возможно, но оно не уменьшит общий объем работы: в обеих половинах в сумме все равно нужно проверить все $n$ элементов,
    поэтому, как и при прямом обходе, потребуется $O(n)$ времени.
3. Половины нельзя решить независимо: содержимое стека в начале второй половины операций зависит от результата первой,
    поэтому решить их независимо, не зная результатов друг друга, невозможно.

2.   Как быстрое возведение в степень уменьшает число вычислений

Рекурсивная функция ниже вычисляет x^n методом «разделяй и властвуй»:

=== "Python"

```python title="fast_power.py"
def fast_pow(x: int, n: int) -> int:
    """Быстрое возведение в степень"""
    if n == 0:
        return 1
    half = fast_pow(x, n // 2)
    if n % 2 == 0:
        return half * half
    return half * half * x
```

=== "C++"

```cpp title="fast_power.cpp"
/* Быстрое возведение в степень */
int fastPow(int x, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    int half = fastPow(x, n / 2);
    if (n % 2 == 0) {
        return half * half;
    }
    return half * half * x;
}
```

=== "Java"

```java title="fast_power.java"
/* Быстрое возведение в степень */
int fastPow(int x, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    int half = fastPow(x, n / 2);
    if (n % 2 == 0) {
        return half * half;
    }
    return half * half * x;
}
```

=== "C#"

```csharp title="fast_power.cs"
/* Быстрое возведение в степень */
int FastPow(int x, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    int half = FastPow(x, n / 2);
    if (n % 2 == 0) {
        return half * half;
    }
    return half * half * x;
}
```

=== "Go"

```go title="fast_power.go"
/* Быстрое возведение в степень */
func fastPow(x, n int) int {
    if n == 0 {
        return 1
    }
    half := fastPow(x, n/2)
    if n%2 == 0 {
        return half * half
    }
    return half * half * x
}
```

=== "Swift"

```swift title="fast_power.swift"
/* Быстрое возведение в степень */
func fastPow(x: Int, n: Int) -> Int {
    if n == 0 {
        return 1
    }
    let half = fastPow(x: x, n: n / 2)
    if n % 2 == 0 {
        return half * half
    }
    return half * half * x
}
```

=== "JS"

```javascript title="fast_power.js"
/* Быстрое возведение в степень */
function fastPow(x, n) {
    if (n === 0) {
        return 1;
    }
    const half = fastPow(x, Math.floor(n / 2));
    if (n % 2 === 0) {
        return half * half;
    }
    return half * half * x;
}
```

=== "TS"

```typescript title="fast_power.ts"
/* Быстрое возведение в степень */
function fastPow(x: number, n: number): number {
    if (n === 0) {
        return 1;
    }
    const half = fastPow(x, Math.floor(n / 2));
    if (n % 2 === 0) {
        return half * half;
    }
    return half * half * x;
}
```

=== "Dart"

```dart title="fast_power.dart"
/* Быстрое возведение в степень */
int fastPow(int x, int n) {
  if (n == 0) {
    return 1;
  }
  int half = fastPow(x, n ~/ 2);
  if (n % 2 == 0) {
    return half * half;
  }
  return half * half * x;
}
```

=== "Rust"

```rust title="fast_power.rs"
/* Быстрое возведение в степень */
fn fast_pow(x: i32, n: i32) -> i32 {
    if n == 0 {
        return 1;
    }
    let half = fast_pow(x, n / 2);
    if n % 2 == 0 {
        return half * half;
    }
    half * half * x
}
```

=== "C"

```c title="fast_power.c"
/* Быстрое возведение в степень */
int fastPow(int x, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    int half = fastPow(x, n / 2);
    if (n % 2 == 0) {
        return half * half;
    }
    return half * half * x;
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="fast_power.kt"
/* Быстрое возведение в степень */
fun fastPow(x: Int, n: Int): Int {
    if (n == 0) {
        return 1
    }
    val half = fastPow(x, n / 2)
    if (n % 2 == 0) {
        return half * half
    }
    return half * half * x
}
```

=== "Ruby"

```ruby title="fast_power.rb"
### Быстрое возведение в степень ###
def fast_pow(x, n)
  return 1 if n == 0

  half = fast_pow(x, n / 2)
  return half * half if n.even?

  half * half * x
end
```

Задайте x = 3 и n = 5, затем вычислите результат с помощью этой функции.

1. Какие значения последовательно принимает параметр n при рекурсивных вызовах?
2. Какие значения поочередно возвращаются на каждом уровне, начиная с самого глубокого?
3. Почему результат рекурсии нужно сначала сохранить в half, а не вызывать одну и ту же подзадачу по одному разу с каждой стороны умножения?

??? success "Ответ"

1. Параметр последовательно принимает значения `5 → 2 → 1 → 0`: на каждом шаге показатель степени уменьшается вдвое до достижения условия завершения.

2. При `n = 0` возвращается 1; при `n = 1` возвращается $1×1×3=3$;
    при `n = 2` — $3×3=9$; при `n = 5` — $9×9×3=243$.

3. Если вызвать одну и ту же подзадачу по одному разу с каждой стороны умножения, два рекурсивных вызова выполнят одинаковые вычисления.
    Когда результат сохраняется в `half`, на каждом уровне выполняется только один рекурсивный вызов, а глубина рекурсии составляет примерно $\log n$;
    два вызова привели бы к множеству повторных вычислений.

3.   Разделение левого и правого поддеревьев по последовательностям обхода

Двоичное дерево без повторяющихся узлов имеет следующие последовательности прямого и симметричного обходов:

• прямой обход: [A, B, D, E, C]
• симметричный обход: [D, B, E, A, C]

Выполните только разделение на уровне корневого узла: продолжать рекурсию и рисовать все дерево не требуется.

1. Какой узел является корневым?
2. Какие участки симметричного обхода соответствуют левому и правому поддеревьям?
3. Какие участки прямого обхода соответствуют левому и правому поддеревьям? Какие непосредственные дочерние узлы имеет корень?

??? success "Ответ"

1. Первый узел прямого обхода является корневым, поэтому корень — `A`.

2. Узел `A` делит симметричный обход на две части: левому поддереву соответствует `[D, B, E]`, правому — `[C]`.

3. Левое поддерево содержит 3 узла, поэтому следующие после корня `A` 3 элемента прямого обхода относятся к левому поддереву:
    `[B, D, E]`. Оставшийся участок `[C]` относится к правому поддереву.
    Следовательно, левый дочерний узел корня — `B`, а правый — `C`.

12.6.2   Задачи по программированию

1.   Быстрое возведение в степень

Даны вещественное число x и целое число n. Вычислите x^n, не используя встроенную функцию возведения в степень. Примените рекурсивный метод «разделяй и властвуй»: каждый раз уменьшайте показатель степени вдвое и повторно используйте уже вычисленный результат подзадачи. В этой задаче x^0=1, в том числе при x = 0; если n < 0, гарантируется, что x != 0, а ответ можно преобразовать к (1/x)^{-n}.

??? tip "Подсказки"

1. При n, равном 0, ответ равен 1
2. Вычислив x в степени n // 2, сохраните результат в half и не выполняйте рекурсивный вызов второй раз
3. Если n < 0, сначала замените x на 1 / x, а n — на -n; в C++ или Java предварительно преобразуйте n в 64-битное целое число, чтобы избежать переполнения при смене знака у минимального 32-битного целого

LeetCode{ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }