mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-07-03 11:04:26 +00:00
Yudong Jin
772183705e
* Add Russian docs site baseline * Add Russian localized codebase * Polish Russian code wording * Update ru code translation. * Update code translation and chapter covers. * Fix pythontutor extraction. * Add README and landing page. * placeholder of profiles * Use figures of English version * Remove chapter paperbook
84 lines
11 KiB
Markdown
84 lines
11 KiB
Markdown
# Граф
|
|
|
|
<u>Граф (graph)</u> - это нелинейная структура данных, состоящая из <u>вершин (vertex)</u> и <u>ребер (edge)</u>. Мы можем абстрактно представить граф $G$ как множество вершин $V$ и множество ребер $E$ . В примере ниже показан граф, содержащий 5 вершин и 7 ребер.
|
|
|
|
$$
|
|
\begin{aligned}
|
|
V & = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \newline
|
|
E & = \{ (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) \} \newline
|
|
G & = \{ V, E \} \newline
|
|
\end{aligned}
|
|
$$
|
|
|
|
Если рассматривать вершины как узлы, а ребра как ссылки (указатели), соединяющие эти узлы, то граф можно считать структурой данных, выросшей из связного списка. Как показано на рисунке ниже, **по сравнению с линейными отношениями (связный список) и отношениями разделения (дерево), сетевые отношения (граф) обладают большей свободой** , а потому и сложнее.
|
|
|
|
|
|
|
|
## Распространенные типы и термины графов
|
|
|
|
В зависимости от того, имеют ли ребра направление, графы делятся на <u>неориентированные графы (undirected graph)</u> и <u>ориентированные графы (directed graph)</u> , как показано на рисунке ниже.
|
|
|
|
- В неориентированном графе ребро означает "двустороннюю" связь между двумя вершинами, например отношение "друзья" в WeChat или QQ.
|
|
- В ориентированном графе ребро имеет направление, то есть ребра $A \rightarrow B$ и $A \leftarrow B$ независимы друг от друга, как, например, отношения "подписка" и "подписчик" в Weibo или Douyin.
|
|
|
|
|
|
|
|
В зависимости от того, достижимы ли все вершины друг из друга, граф делится на <u>связный граф (connected graph)</u> и <u>несвязный граф (disconnected graph)</u> , как показано на рисунке ниже.
|
|
|
|
- В связном графе, начиная из некоторой вершины, можно добраться до любой другой вершины.
|
|
- В несвязном графе, начиная из некоторой вершины, по крайней мере одна вершина оказывается недостижимой.
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы также можем добавить к ребрам переменную "вес" и тем самым получить <u>взвешенный граф (weighted graph)</u> , показанный на рисунке ниже. Например, в мобильных играх вроде Honor of Kings система может вычислять "степень близости" между игроками по времени, проведенному в совместных играх; такую сеть близости можно описать взвешенным графом.
|
|
|
|
|
|
|
|
Для структуры данных "граф" используются следующие распространенные термины.
|
|
|
|
- <u>Смежность (adjacency)</u>: если между двумя вершинами существует ребро, то эти вершины называются "смежными". На рисунке выше вершинам 2, 3, 5 смежна вершина 1.
|
|
- <u>Путь (path)</u>: последовательность ребер, ведущая из вершины A в вершину B, называется "путем" от A до B. На рисунке выше последовательность ребер 1-5-2-4 представляет один из путей от вершины 1 к вершине 4.
|
|
- <u>Степень (degree)</u>: число ребер, принадлежащих вершине. Для ориентированного графа <u>входящая степень (in-degree)</u> показывает число ребер, ведущих в вершину, а <u>исходящая степень (out-degree)</u> показывает число ребер, исходящих из вершины.
|
|
|
|
## Представление графа
|
|
|
|
Распространенные способы представления графа включают "матрицу смежности" и "список смежности". Ниже в качестве примера используется неориентированный граф.
|
|
|
|
### Матрица смежности
|
|
|
|
Пусть число вершин графа равно $n$ ; тогда <u>матрица смежности (adjacency matrix)</u> использует матрицу размера $n \times n$ для представления графа: каждая строка и каждый столбец соответствуют вершине, а элементы матрицы отражают наличие ребра, то есть показывают, существует между двумя вершинами связь или нет.
|
|
|
|
Как показано на рисунке ниже, пусть матрица смежности обозначается как $M$ , а список вершин - как $V$ ; тогда элемент матрицы $M[i, j] = 1$ означает, что между вершинами $V[i]$ и $V[j]$ существует ребро, а элемент $M[i, j] = 0$ означает, что ребра между ними нет.
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица смежности обладает следующими особенностями.
|
|
|
|
- В простом графе вершина не может соединяться сама с собой, поэтому элементы на главной диагонали матрицы смежности не имеют смысла.
|
|
- Для неориентированного графа ребра в двух направлениях эквивалентны, поэтому матрица смежности симметрична относительно главной диагонали.
|
|
- Если заменить в матрице смежности значения $1$ и $0$ на веса, то можно представить и взвешенный граф.
|
|
|
|
При представлении графа матрицей смежности мы можем напрямую обращаться к элементам матрицы, чтобы получить информацию о ребрах, поэтому операции добавления, удаления, поиска и изменения обладают высокой эффективностью, равной $O(1)$ . Однако пространственная сложность матрицы равна $O(n^2)$ , поэтому она занимает заметный объем памяти.
|
|
|
|
### Список смежности
|
|
|
|
<u>Список смежности (adjacency list)</u> использует $n$ связанных списков для представления графа, где узлы списка обозначают вершины. $i$-й список соответствует вершине $i$ и хранит все вершины, смежные с ней, то есть все вершины, соединенные с этой вершиной. На рисунке ниже показан пример графа, представленного списком смежности.
|
|
|
|
|
|
|
|
Список смежности хранит только реально существующие ребра, а общее число ребер обычно значительно меньше $n^2$ , поэтому этот способ существенно экономит пространство. Однако для поиска ребра в списке смежности нужно проходить по списку, поэтому по времени он уступает матрице смежности.
|
|
|
|
Если посмотреть на рисунок выше, можно заметить, что **структура списка смежности очень похожа на "метод цепочек" в хеш-таблице, поэтому для оптимизации эффективности здесь можно использовать сходные идеи**. Например, когда список становится слишком длинным, его можно преобразовать в AVL-дерево или красно-черное дерево, чтобы улучшить временную сложность с $O(n)$ до $O(\log n)$ ; можно также превратить его в хеш-таблицу и снизить сложность до $O(1)$ .
|
|
|
|
## Типичные применения графов
|
|
|
|
Как показано в таблице ниже, многие реальные системы можно моделировать графами, а соответствующие задачи затем сводить к задачам вычислений на графах.
|
|
|
|
<p align="center"> Таблица <id> Распространенные графы в реальной жизни </p>
|
|
|
|
| | Вершина | Ребро | Задача вычислений на графе |
|
|
| -------- | ------- | -------------------- | -------------------------- |
|
|
| Социальные сети | Пользователь | Дружеская связь | Рекомендация потенциальных друзей |
|
|
| Линии метро | Станция | Связность между станциями | Рекомендация кратчайшего маршрута |
|
|
| Солнечная система | Небесное тело | Гравитационное взаимодействие между телами | Вычисление орбит планет |
|