mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-07-07 21:24:18 +00:00
Yudong Jin
772183705e
* Add Russian docs site baseline * Add Russian localized codebase * Polish Russian code wording * Update ru code translation. * Update code translation and chapter covers. * Fix pythontutor extraction. * Add README and landing page. * placeholder of profiles * Use figures of English version * Remove chapter paperbook
141 lines
11 KiB
Markdown
141 lines
11 KiB
Markdown
# Обход графа
|
|
|
|
Дерево представляет отношение "один ко многим", а граф имеет более высокую степень свободы и может выражать произвольные отношения "многие ко многим". Поэтому мы можем рассматривать дерево как частный случай графа. Очевидно, что **операции обхода дерева также являются частным случаем операций обхода графа**.
|
|
|
|
И графы, и деревья требуют использования поисковых алгоритмов для реализации обхода. Способы обхода графа также делятся на два типа: <u>обход в ширину</u> и <u>обход в глубину</u>.
|
|
|
|
## Обход в ширину
|
|
|
|
**Обход в ширину - это способ обхода "от близкого к далекому": начиная с некоторого узла, мы всегда в первую очередь посещаем ближайшие вершины и слой за слоем расширяемся наружу**. Как показано на рисунке ниже, начиная с вершины в левом верхнем углу, мы сначала обходим все смежные вершины этой вершины, затем все смежные вершины следующей вершины и так далее, пока не будут посещены все вершины.
|
|
|
|
|
|
|
|
### Реализация алгоритма
|
|
|
|
BFS обычно реализуется с помощью очереди, код приведен ниже. Очередь обладает свойством "первым пришел - первым вышел", что хорошо соответствует идее BFS "от близкого к далекому".
|
|
|
|
1. Поместить стартовую вершину обхода `startVet` в очередь и запустить цикл.
|
|
2. На каждой итерации цикла извлекать вершину из головы очереди и записывать факт ее посещения, после чего добавлять все смежные вершины этой вершины в хвост очереди.
|
|
3. Повторять шаг `2.` до тех пор, пока не будут посещены все вершины.
|
|
|
|
Чтобы предотвратить повторный обход вершин, нам нужен хеш-набор `visited` , в котором будет записываться, какие узлы уже посещены.
|
|
|
|
!!! tip
|
|
|
|
Хеш-набор можно рассматривать как хеш-таблицу, которая хранит только `key` и не хранит `value` . Он позволяет выполнять добавление, удаление, поиск и изменение `key` за $O(1)$ времени. Благодаря уникальности `key` хеш-набор обычно используется, например, для устранения повторов.
|
|
|
|
```src
|
|
[file]{graph_bfs}-[class]{}-[func]{graph_bfs}
|
|
```
|
|
|
|
Код сравнительно абстрактен, поэтому рекомендуется сверяться с рисунками ниже для лучшего понимания.
|
|
|
|
=== "<1>"
|
|
|
|
|
|
=== "<2>"
|
|
|
|
|
|
=== "<3>"
|
|
|
|
|
|
=== "<4>"
|
|
|
|
|
|
=== "<5>"
|
|
|
|
|
|
=== "<6>"
|
|
|
|
|
|
=== "<7>"
|
|
|
|
|
|
=== "<8>"
|
|
|
|
|
|
=== "<9>"
|
|
|
|
|
|
=== "<10>"
|
|
|
|
|
|
=== "<11>"
|
|
|
|
|
|
!!! question "Является ли последовательность обхода в ширину единственной?"
|
|
|
|
Нет. Обход в ширину требует только соблюдения порядка "от близкого к далекому", **а порядок обхода нескольких вершин на одинаковом расстоянии может произвольно меняться**. Например, на рисунке выше можно поменять местами порядок посещения вершин $1$ и $3$ , а также в произвольном порядке переставить вершины $2$, $4$, $6$ .
|
|
|
|
### Анализ сложности
|
|
|
|
**Временная сложность**: все вершины по одному разу помещаются в очередь и извлекаются из нее, что требует $O(|V|)$ времени; при обходе смежных вершин, поскольку граф неориентированный, все ребра будут посещены по $2$ раза, что требует $O(2|E|)$ времени; в сумме получается $O(|V| + |E|)$ .
|
|
|
|
**Пространственная сложность**: список `res` , хеш-набор `visited` и очередь `que` в худшем случае могут содержать до $|V|$ вершин, поэтому требуется $O(|V|)$ памяти.
|
|
|
|
## Обход в глубину
|
|
|
|
**Обход в глубину - это способ обхода, при котором сначала идут до самого конца, а когда дальше идти нельзя, откатываются назад**. Как показано на рисунке ниже, начиная с вершины в левом верхнем углу, мы выбираем некоторую смежную вершину текущей вершины, идем до упора, затем возвращаемся назад, снова идем до упора и так далее, пока не будут посещены все вершины.
|
|
|
|
|
|
|
|
### Реализация алгоритма
|
|
|
|
Такой алгоритмический шаблон "дойти до конца и вернуться" обычно реализуется через рекурсию. Подобно обходу в ширину, в обходе в глубину мы также используем хеш-набор `visited` для записи уже посещенных вершин и тем самым избегаем повторного посещения.
|
|
|
|
```src
|
|
[file]{graph_dfs}-[class]{}-[func]{graph_dfs}
|
|
```
|
|
|
|
Алгоритмический процесс обхода в глубину показан на рисунках ниже.
|
|
|
|
- **Прямая пунктирная линия обозначает нисходящее рекурсивное развертывание** , то есть запуск нового рекурсивного метода для посещения новой вершины.
|
|
- **Изогнутая пунктирная линия обозначает обратный возврат по рекурсии** , то есть данный рекурсивный метод завершился и управление вернулось туда, откуда он был вызван.
|
|
|
|
Чтобы лучше понять алгоритм, рекомендуется совместить рисунки ниже с кодом и мысленно проследить весь процесс DFS, включая моменты запуска и возврата каждого рекурсивного вызова.
|
|
|
|
=== "<1>"
|
|
|
|
|
|
=== "<2>"
|
|
|
|
|
|
=== "<3>"
|
|
|
|
|
|
=== "<4>"
|
|
|
|
|
|
=== "<5>"
|
|
|
|
|
|
=== "<6>"
|
|
|
|
|
|
=== "<7>"
|
|
|
|
|
|
=== "<8>"
|
|
|
|
|
|
=== "<9>"
|
|
|
|
|
|
=== "<10>"
|
|
|
|
|
|
=== "<11>"
|
|
|
|
|
|
!!! question "Является ли последовательность обхода в глубину единственной?"
|
|
|
|
Как и в случае обхода в ширину, последовательность DFS тоже не является единственной. Для заданной вершины допустимо сначала углубиться в любое направление, то есть порядок смежных вершин может быть произвольным, и все такие варианты будут корректными обходами в глубину.
|
|
|
|
Если взять в качестве примера обход дерева, то варианты "корень $\rightarrow$ лево $\rightarrow$ право", "лево $\rightarrow$ корень $\rightarrow$ право" и "лево $\rightarrow$ право $\rightarrow$ корень" соответствуют прямому, симметричному и обратному обходам соответственно. Они показывают три разных приоритета обхода, но все они относятся к обходу в глубину.
|
|
|
|
### Анализ сложности
|
|
|
|
**Временная сложность**: все вершины будут посещены по $1$ разу, что требует $O(|V|)$ времени; все ребра будут посещены по $2$ раза, что требует $O(2|E|)$ времени; суммарно получается $O(|V| + |E|)$ .
|
|
|
|
**Пространственная сложность**: число вершин в списке `res` и хеш-наборе `visited` в худшем случае достигает $|V|$ , максимальная глубина рекурсии тоже равна $|V|$ , поэтому требуется $O(|V|)$ памяти.
|