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演習

確認問題

反復と再帰の時間・空間計算量

次の 2 つのコードは、どちらも 1 + 2 + \dots + n を計算します（n \ge 1 とします）。n を 4 として、 プログラムが実際に実行される順序に沿って次の問いに答え、2 つの書き方の効率を比較してください。

def sum_iter(n):
    s = 0
    for i in range(1, n + 1):
        s += i
    return s

def sum_recur(n):
    if n == 1:
        return 1
    return n + sum_recur(n - 1)

1. sum_iter(4) を実行すると、各ループの終了時に変数 s はそれぞれいくつになりますか？
2. sum_recur(4) を実行すると、どの関数が順に呼び出されますか？最も深い呼び出しから戻るとき、結果はどのように求められますか？
3. 2 つの書き方の時間計算量と空間計算量は、それぞれいくつですか？問い 1、2 の実行過程と結び付けて理由を説明してください。

??? success "解答"

1. ループ変数 `i` は `1、2、3、4` の順に変化し、各ループの終了時に `s` は
    `1、3、6、10` となります。したがって、`sum_iter(4)` は 10 を返します。

2. 関数は
    `sum_recur(4) → sum_recur(3) → sum_recur(2) → sum_recur(1)` の順に呼び出されます。
    `sum_recur(1)` が 1 を返した後、各呼び出しは順に `2 + 1 = 3`、`3 + 3 = 6`、`4 + 6 = 10` を得ます。
    最も深い呼び出しに到達した時点では、4 回の関数呼び出しはどれもまだ終了していません。

3. どちらのコードも、$n$ に比例する回数のループまたは呼び出しを行うため、時間計算量はともに $O(n)$ です。
    一方、空間計算量は異なります。反復版が使う変数は定数個だけなので $O(1)$ です。
    再帰版では、終了条件に到達するまで、それまでの関数呼び出しが結果を待つ必要があります。そのため、呼び出しスタックには最大で $n$ 回分の呼び出しが同時に保存され、
    空間計算量は $O(n)$ です。

    空間計算量を分析するときは、コード中の変数だけでなく、再帰呼び出しが使う空間も考える必要があります。

3 つのコードの時間計算量

次の 3 つのコード片はいずれも、正の整数 n を入力とします。時間計算量が小さい順に並べ、それぞれの計算量を書いてください。

# コード片 1
s = 0
for i in range(n):
    s += i

# コード片 2
s = 0
for i in range(n):
    for j in range(i, n):
        s += j

# コード片 3
while n > 1:
    n = n // 2

??? success "解答"

小さい順に、コード片 3 は $O(\log n)$、コード片 1 は $O(n)$、コード片 2 は $O(n^2)$ です。
コード片 3 では、ループのたびに $n$ が半分になるため、ループ回数は約 $\log_2 n$ 回です。
コード片 1 のループはちょうど $n$ 回実行されます。コード片 2 の内側のループ回数は順に
$n,n-1,\dots,1$ で、合計は $n(n+1)/2$ となるため、二次の計算量です。

どちらの反転が空間を節約できるか

配列 nums のすべての要素を逆順にする方法として、次の 2 つがあります。

1. 同じ長さの新しい配列 res を作り、逆順にコピーして返す。

2. 2 つのインデックス i と j をそれぞれ先頭と末尾から中央へ動かし、nums[i] と nums[j] を順に交換する。

   2 つの方法の空間計算量は、それぞれいくつですか？どちらが「インプレース」な操作ですか？

??? success "解答"

1. 入力と同じ長さの補助配列が必要なため、空間計算量は $O(n)$ です。

2. 使うのは 2 つのインデックス変数だけなので、
    空間計算量は $O(1)$ であり、インプレースな操作です。

    ただし、インプレースな反転は入力配列を変更します。
    入力の変更が許される場合にのみ優先して使うべきです。元の配列を残す必要がある場合は、方法 1 のコピーにかかる空間を省くことはできません。

プログラミング演習

フィボナッチ数

フィボナッチ数列は、$F(0)=0$、F(1)=1 を満たし、n\ge2 のとき F(n)=F(n-1)+F(n-2) となります。

0 以上の整数 n が与えられます。再帰を使わず、ループを使って F(n) を計算し、返してください。

??? tip "解法のヒント"

1. まず、n が 0 と 1 の場合をそれぞれ処理します
2. 次の項の計算に必要なのは直前の 2 項だけで、数列全体を保存する必要はありません
3. 2 つの変数を更新するときは、後で使う古い値を先に上書きしないよう注意します

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