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Yudong Jin
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# 练习
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## 知识巩固
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### 每次选最大硬币一定最好吗
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硬币面值为 `[1, 7, 10]`，目标金额为 14。
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<!-- numbered-subquestions -->
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1. 按“每次取不超过剩余金额的最大面值”执行，写出所取硬币；
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2. 是否存在使用更少硬币的方案？如果存在，请写出一种；如果不存在，请说明理由；
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3. 这能否说明该贪心策略对任意硬币面值都正确？
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??? success "参考答案"
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1. 贪心依次选择 `10 + 1 + 1 + 1 + 1`，共 5 枚硬币。
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2. 存在使用更少硬币的方案：`7 + 7`，只需 2 枚硬币。
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3. 不能。这个反例说明，对任意硬币面值，每次选择当前能取的最大面值并不一定得到最少硬币数；
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眼前最大的选择可能破坏后续更好的组合。
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### 背包应该先装哪件物品
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一个容量为 4 千克的背包中可以装入以下物品，物品允许只取一部分，
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所取价值与重量成正比：
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- 物品 A：重量 4 千克，价值 20；
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- 物品 B：重量 3 千克，价值 18。
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<!-- numbered-subquestions -->
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1. 两件物品每千克的价值分别是多少？应先装哪一件？
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2. 按分数背包的贪心策略装满背包，最终价值是多少？
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3. 在物品可以切分、背包限制总重量的情况下，选择物品时应该比较总价值还是每千克价值？为什么？
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??? success "参考答案"
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1. A 每千克价值为 `20 ÷ 4 = 5`，B 每千克价值为 `18 ÷ 3 = 6`，
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因此应先装单位价值更高的 B。
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2. 先装入全部 B，占用 3 千克、获得价值 18；剩余 1 千克容量，
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再装入 1 千克 A，获得价值 5。最终价值为 `18 + 5 = 23`。
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3. 背包限制的是总重量，而且物品可以切分，所以应比较单位重量的价值。
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A 的总价值虽然更高，但每千克价值低于 B；若先装满 A，只能得到价值 20。
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### 两个指针下一步怎样移动
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隔板高度为 `[1, 8, 6, 2, 5]`，用首尾双指针寻找最大容量。
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容量等于“两块隔板中较短者的高度 × 两块隔板的下标距离”。
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<!-- numbered-subquestions -->
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1. 初始时左指针在下标 0、右指针在下标 4，当前容量是多少？下一步应移动哪个指针？
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2. 按照第 1 问的选择移动一次后，两个指针分别位于哪个下标？此时容量是多少？下一步又应移动哪个指针？
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3. 在当前一对隔板中，可以移动较短隔板对应的指针，也可以移动较长隔板对应的指针。哪一种移动仍有可能得到更大的容量？为什么？
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??? success "参考答案"
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1. 当前容量为 `min(1, 5) × (4 - 0) = 4`。左侧隔板较短，因此移动左指针。
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2. 移动左指针后，两个指针分别位于下标 1 和 4。当前容量为
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`min(8, 5) × (4 - 1) = 15`。右侧隔板较短，因此下一步移动右指针。
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3. 移动较短隔板对应的指针，才仍有可能得到更大的容量。移动较长隔板后，两块隔板的距离一定缩短，而容器高度仍受未移动的短板限制，
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只可能不变或变小。因此容量不可能超过移动前；只有移动短板，才有机会遇到更高的隔板。
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## 编程练习
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### 分数背包
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给定等长数组 `wgt` 和 `val`，其中 `wgt[i] > 0`、`val[i] >= 0`，背包容量 `cap >= 0`。
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每种物品只有一件，但允许只装入其中一部分，
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获得的价值按所装重量占该物品总重量的比例计算。请使用贪心算法，
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并以实数返回背包能够获得的最大总价值。
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??? tip "解题提示"
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1. 先计算每件物品的单位重量价值 val[i] / wgt[i]，除法结果要保留小数
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2. 单位价值越高的物品越先装入背包
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3. 若剩余容量小于当前物品重量，就装入恰好填满背包的部分并结束
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