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Yudong Jin
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# 演習
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## 確認問題
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### 反復と再帰の時間・空間計算量
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次の 2 つのコードは、どちらも $1 + 2 + \dots + n$ を計算します（$n \ge 1$ とします）。`n` を 4 として、
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プログラムが実際に実行される順序に沿って次の問いに答え、2 つの書き方の効率を比較してください。
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```python
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def sum_iter(n):
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s = 0
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for i in range(1, n + 1):
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s += i
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return s
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def sum_recur(n):
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if n == 1:
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return 1
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return n + sum_recur(n - 1)
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```
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<!-- numbered-subquestions -->
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1. `sum_iter(4)` を実行すると、各ループの終了時に変数 `s` はそれぞれいくつになりますか？
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2. `sum_recur(4)` を実行すると、どの関数が順に呼び出されますか？最も深い呼び出しから戻るとき、結果はどのように求められますか？
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3. 2 つの書き方の時間計算量と空間計算量は、それぞれいくつですか？問い 1、2 の実行過程と結び付けて理由を説明してください。
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??? success "解答"
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1. ループ変数 `i` は `1、2、3、4` の順に変化し、各ループの終了時に `s` は
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`1、3、6、10` となります。したがって、`sum_iter(4)` は 10 を返します。
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2. 関数は
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`sum_recur(4) → sum_recur(3) → sum_recur(2) → sum_recur(1)` の順に呼び出されます。
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`sum_recur(1)` が 1 を返した後、各呼び出しは順に `2 + 1 = 3`、`3 + 3 = 6`、`4 + 6 = 10` を得ます。
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最も深い呼び出しに到達した時点では、4 回の関数呼び出しはどれもまだ終了していません。
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3. どちらのコードも、$n$ に比例する回数のループまたは呼び出しを行うため、時間計算量はともに $O(n)$ です。
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一方、空間計算量は異なります。反復版が使う変数は定数個だけなので $O(1)$ です。
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再帰版では、終了条件に到達するまで、それまでの関数呼び出しが結果を待つ必要があります。そのため、呼び出しスタックには最大で $n$ 回分の呼び出しが同時に保存され、
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空間計算量は $O(n)$ です。
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空間計算量を分析するときは、コード中の変数だけでなく、再帰呼び出しが使う空間も考える必要があります。
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### 3 つのコードの時間計算量
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次の 3 つのコード片はいずれも、正の整数 $n$ を入力とします。時間計算量が小さい順に並べ、それぞれの計算量を書いてください。
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```python
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# コード片 1
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s = 0
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for i in range(n):
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s += i
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# コード片 2
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s = 0
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for i in range(n):
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for j in range(i, n):
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s += j
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# コード片 3
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while n > 1:
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n = n // 2
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```
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??? success "解答"
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小さい順に、コード片 3 は $O(\log n)$、コード片 1 は $O(n)$、コード片 2 は $O(n^2)$ です。
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コード片 3 では、ループのたびに $n$ が半分になるため、ループ回数は約 $\log_2 n$ 回です。
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コード片 1 のループはちょうど $n$ 回実行されます。コード片 2 の内側のループ回数は順に
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$n,n-1,\dots,1$ で、合計は $n(n+1)/2$ となるため、二次の計算量です。
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### どちらの反転が空間を節約できるか
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配列 `nums` のすべての要素を逆順にする方法として、次の 2 つがあります。
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<!-- numbered-subquestions -->
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1. 同じ長さの新しい配列 `res` を作り、逆順にコピーして返す。
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2. 2 つのインデックス `i` と `j` をそれぞれ先頭と末尾から中央へ動かし、`nums[i]` と `nums[j]` を順に交換する。
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2 つの方法の空間計算量は、それぞれいくつですか？どちらが「インプレース」な操作ですか？
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??? success "解答"
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1. 入力と同じ長さの補助配列が必要なため、空間計算量は $O(n)$ です。
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2. 使うのは 2 つのインデックス変数だけなので、
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空間計算量は $O(1)$ であり、インプレースな操作です。
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ただし、インプレースな反転は入力配列を変更します。
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入力の変更が許される場合にのみ優先して使うべきです。元の配列を残す必要がある場合は、方法 1 のコピーにかかる空間を省くことはできません。
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## プログラミング演習
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### フィボナッチ数
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フィボナッチ数列は、$F(0)=0$、$F(1)=1$ を満たし、$n\ge2$ のとき
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$F(n)=F(n-1)+F(n-2)$ となります。
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0 以上の整数 `n` が与えられます。再帰を使わず、ループを使って $F(n)$ を計算し、返してください。
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??? tip "解法のヒント"
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1. まず、n が 0 と 1 の場合をそれぞれ処理します
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2. 次の項の計算に必要なのは直前の 2 項だけで、数列全体を保存する必要はありません
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3. 2 つの変数を更新するときは、後で使う古い値を先に上書きしないよう注意します
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[LeetCode](https://leetcode.com/problems/fibonacci-number/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }
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