hello-algo/ru/docs/chapter_searching/exercises.md

Упражнения

Вопросы для самопроверки

Как двоичный поиск сужает область поиска

Найдите число 16 в упорядоченном массиве [2, 5, 8, 12, 16, 23, 38]. Используйте двойной замкнутый интервал [i, j] и середину m=i+(j-i)/2 с округлением вниз.

Для каждой итерации запишите (i, j, m), средний элемент и способ дальнейшего сужения интервала, пока цель не будет найдена.

??? success "Ответ"

Процесс поиска по итерациям:

| Итерация | `(i, j, m)` | Средний элемент | Следующий шаг |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | `(0, 6, 3)` | 12 | `12 < 16`, присвоить `i = 4` |
| 2 | `(4, 6, 5)` | 23 | `23 > 16`, присвоить `j = 4` |
| 3 | `(4, 4, 4)` | 16 | Цель найдена, вернуть индекс 4 |

Массив упорядочен, поэтому если значение в середине меньше цели, можно исключить средний элемент и все элементы слева от него;
если оно больше цели — исключить средний элемент и все элементы справа.

Левая и правая границы повторяющегося элемента

В массиве [1, 2, 2, 2, 4, 6] ищут число 2. Ученик выполнил двоичный поиск, нашел цель по индексу 2, сразу вернул ответ и сказал: «Индекс 2 — левая граница числа 2».

1. Верно ли утверждение ученика? Чему равны левая и правая границы числа 2? Объясните ответ.
2. В какой части массива нужно продолжить поиск левой границы, если средний элемент равен цели?
3. В какой части нужно продолжить поиск правой границы? Достаточно указать направление, полный процесс поиска записывать не нужно.

??? success "Ответ"

1. Утверждение неверно. Немедленный возврат после обнаружения числа 2 гарантирует лишь, что найден один из таких элементов, но не самый левый или самый правый.
    Левая граница в этом массиве имеет индекс 1, а правая — индекс 3.

2. При поиске левой границы, даже если средний элемент равен 2, нужно продолжить поиск слева,
    например, при двойном замкнутом интервале присвоить `j = m - 1`.

3. При поиске правой границы после совпадения среднего элемента с 2 нужно продолжить поиск справа,
    например, присвоить `i = m + 1`.

Как выбрать способ поиска для разных данных

Для каждой ситуации выберите подходящий вариант из «линейный поиск, двоичный поиск, хеш-таблица» и объясните свой выбор.

1. Многократно выполнять поиск среди 10^7 уже упорядоченных и больше не изменяющихся целых чисел, не создавая дополнительных структур данных;
2. многократно проверять наличие ключа в наборе с частыми вставками и удалениями, не поддерживая порядок и не выполняя поиск по диапазону;
3. один раз найти некоторое значение в неупорядоченном массиве.

??? success "Ответ"

1. Двоичный поиск: данные упорядочены и не меняются, сложность равна $O(\log n)$, дополнительная память не нужна.
2. Хеш-таблица: если хеш-функция достаточно равномерно распределяет ключи по бакетам, средняя временная сложность вставки, удаления и поиска по ключу равна $O(1)$.
3. Прямой обход от начала до конца: ради одного поиска сортировка или построение хеш-таблицы все равно потребует предварительно обработать весь массив
    и не уменьшит общий объем работы для этой единственной задачи.

    Выбор зависит от того, упорядочены ли данные, разрешено ли создавать дополнительную структуру, сколько будет запросов и какие операции нужно выполнять.

Задачи по программированию

Двоичный поиск в упорядоченном массиве

Дан массив целых чисел nums, упорядоченный строго по возрастанию, и целевое значение target. Найдите target с помощью двоичного поиска: если значение присутствует, верните его индекс в массиве; иначе верните -1.

??? tip "Подсказки"

1. Начальный интервал задается как left = 0, right = n - 1; он непуст, пока left <= right
2. Вычисляйте середину как mid = left + (right - left) // 2
3. Если `nums[mid]` меньше `target`, перенесите левую границу в `mid + 1`; если `nums[mid]` больше `target`, перенесите правую границу в `mid - 1`; при равенстве сразу верните ответ

LeetCode{ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }

Позиция вставки в упорядоченный массив

Дан массив целых чисел nums, упорядоченный строго по возрастанию, и целевое значение target.

Если target уже находится в массиве, верните его индекс. Иначе верните позицию, в которую нужно вставить target, чтобы массив остался строго возрастающим. Ответ может быть равен 0 или длине массива. Используйте двоичный поиск.

??? tip "Подсказки"

1. Ответ может быть равен 0 или длине массива n
2. При двойном замкнутом интервале, если `nums[mid]` больше или равно `target`, присвойте `right = mid - 1` и продолжите проверять позиции левее; иначе присвойте `left = mid + 1`
3. После завершения цикла left будет позицией вставки

LeetCode{ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }