mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-07-22 03:16:08 +00:00
Yudong Jin
96 lines
7.9 KiB
Markdown
96 lines
7.9 KiB
Markdown
# Упражнения
|
||
|
||
## Вопросы для самопроверки
|
||
|
||
### Как двоичный поиск сужает область поиска
|
||
|
||
Найдите число 16 в упорядоченном массиве `[2, 5, 8, 12, 16, 23, 38]`.
|
||
Используйте двойной замкнутый интервал `[i, j]` и середину
|
||
$m=i+(j-i)/2$ с округлением вниз.
|
||
|
||
Для каждой итерации запишите `(i, j, m)`, средний элемент и способ дальнейшего сужения интервала,
|
||
пока цель не будет найдена.
|
||
|
||
??? success "Ответ"
|
||
|
||
Процесс поиска по итерациям:
|
||
|
||
| Итерация | `(i, j, m)` | Средний элемент | Следующий шаг |
|
||
| --- | --- | --- | --- |
|
||
| 1 | `(0, 6, 3)` | 12 | `12 < 16`, присвоить `i = 4` |
|
||
| 2 | `(4, 6, 5)` | 23 | `23 > 16`, присвоить `j = 4` |
|
||
| 3 | `(4, 4, 4)` | 16 | Цель найдена, вернуть индекс 4 |
|
||
|
||
Массив упорядочен, поэтому если значение в середине меньше цели, можно исключить средний элемент и все элементы слева от него;
|
||
если оно больше цели — исключить средний элемент и все элементы справа.
|
||
|
||
### Левая и правая границы повторяющегося элемента
|
||
|
||
В массиве `[1, 2, 2, 2, 4, 6]` ищут число 2.
|
||
Ученик выполнил двоичный поиск, нашел цель по индексу 2, сразу вернул ответ и сказал:
|
||
«Индекс 2 — левая граница числа 2».
|
||
|
||
<!-- numbered-subquestions -->
|
||
|
||
1. Верно ли утверждение ученика? Чему равны левая и правая границы числа 2? Объясните ответ.
|
||
2. В какой части массива нужно продолжить поиск левой границы, если средний элемент равен цели?
|
||
3. В какой части нужно продолжить поиск правой границы? Достаточно указать направление, полный процесс поиска записывать не нужно.
|
||
|
||
??? success "Ответ"
|
||
|
||
1. Утверждение неверно. Немедленный возврат после обнаружения числа 2 гарантирует лишь, что найден один из таких элементов, но не самый левый или самый правый.
|
||
Левая граница в этом массиве имеет индекс 1, а правая — индекс 3.
|
||
|
||
2. При поиске левой границы, даже если средний элемент равен 2, нужно продолжить поиск слева,
|
||
например, при двойном замкнутом интервале присвоить `j = m - 1`.
|
||
|
||
3. При поиске правой границы после совпадения среднего элемента с 2 нужно продолжить поиск справа,
|
||
например, присвоить `i = m + 1`.
|
||
|
||
### Как выбрать способ поиска для разных данных
|
||
|
||
Для каждой ситуации выберите подходящий вариант из «линейный поиск, двоичный поиск, хеш-таблица» и объясните свой выбор.
|
||
|
||
<!-- numbered-subquestions -->
|
||
|
||
1. Многократно выполнять поиск среди $10^7$ уже упорядоченных и больше не изменяющихся целых чисел, не создавая дополнительных структур данных;
|
||
2. многократно проверять наличие ключа в наборе с частыми вставками и удалениями, не поддерживая порядок и не выполняя поиск по диапазону;
|
||
3. один раз найти некоторое значение в неупорядоченном массиве.
|
||
|
||
??? success "Ответ"
|
||
|
||
1. Двоичный поиск: данные упорядочены и не меняются, сложность равна $O(\log n)$, дополнительная память не нужна.
|
||
2. Хеш-таблица: если хеш-функция достаточно равномерно распределяет ключи по бакетам, средняя временная сложность вставки, удаления и поиска по ключу равна $O(1)$.
|
||
3. Прямой обход от начала до конца: ради одного поиска сортировка или построение хеш-таблицы все равно потребует предварительно обработать весь массив
|
||
и не уменьшит общий объем работы для этой единственной задачи.
|
||
|
||
Выбор зависит от того, упорядочены ли данные, разрешено ли создавать дополнительную структуру, сколько будет запросов и какие операции нужно выполнять.
|
||
|
||
## Задачи по программированию
|
||
|
||
### Двоичный поиск в упорядоченном массиве
|
||
|
||
Дан массив целых чисел `nums`, упорядоченный строго по возрастанию, и целевое значение `target`. Найдите `target` с помощью двоичного поиска: если значение присутствует, верните его индекс в массиве; иначе верните -1.
|
||
|
||
??? tip "Подсказки"
|
||
|
||
1. Начальный интервал задается как left = 0, right = n - 1; он непуст, пока left <= right
|
||
2. Вычисляйте середину как mid = left + (right - left) // 2
|
||
3. Если `nums[mid]` меньше `target`, перенесите левую границу в `mid + 1`; если `nums[mid]` больше `target`, перенесите правую границу в `mid - 1`; при равенстве сразу верните ответ
|
||
|
||
[LeetCode](https://leetcode.com/problems/binary-search/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }
|
||
|
||
### Позиция вставки в упорядоченный массив
|
||
|
||
Дан массив целых чисел `nums`, упорядоченный строго по возрастанию, и целевое значение `target`.
|
||
|
||
Если `target` уже находится в массиве, верните его индекс. Иначе верните позицию, в которую нужно вставить `target`, чтобы массив остался строго возрастающим. Ответ может быть равен 0 или длине массива. Используйте двоичный поиск.
|
||
|
||
??? tip "Подсказки"
|
||
|
||
1. Ответ может быть равен 0 или длине массива n
|
||
2. При двойном замкнутом интервале, если `nums[mid]` больше или равно `target`, присвойте `right = mid - 1` и продолжите проверять позиции левее; иначе присвойте `left = mid + 1`
|
||
3. После завершения цикла left будет позицией вставки
|
||
|
||
[LeetCode](https://leetcode.com/problems/search-insert-position/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }
|