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Yudong Jin
d7b2277d2b
* Retranslate Japanese docs with GPT-5.4 * Retranslate Japanese code with GPT-5.4
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# ヒープ
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<u>ヒープ（heap）</u>は、特定の条件を満たす完全二分木であり、主に次の 2 種類に分けられます。
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- <u>最小ヒープ（min heap）</u>：任意のノードの値 $\leq$ その子ノードの値。
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- <u>最大ヒープ（max heap）</u>：任意のノードの値 $\geq$ その子ノードの値。
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ヒープは完全二分木の特殊な例であり、次の性質を持ちます。
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- 最下層のノードは左から順に埋められ、ほかの層のノードはすべて埋まっています。
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- 二分木の根ノードを「ヒープ頂点」、最下層で最も右にあるノードを「ヒープ底」と呼びます。
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- 最大ヒープ（最小ヒープ）では、ヒープ頂点の要素（根ノード）の値が最大（最小）です。
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## ヒープの基本操作
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ここで注意したいのは、多くのプログラミング言語が提供しているのは<u>優先度付きキュー（priority queue）</u>であり、これは優先度順に並ぶキューとして定義される抽象データ構造だということです。
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実際には、**ヒープは通常、優先度付きキューの実装に用いられ、最大ヒープは要素が大きい順に取り出される優先度付きキューに相当します**。利用の観点では、「優先度付きキュー」と「ヒープ」は等価なデータ構造とみなせます。そのため、本書では両者を特に区別せず、まとめて「ヒープ」と呼びます。
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ヒープの基本操作を以下の表に示します。メソッド名はプログラミング言語によって異なります。
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<p align="center"> 表 <id> ヒープの操作効率 </p>
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| メソッド名 | 説明 | 時間計算量 |
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| ----------- | ------------------------------------------------ | ----------- |
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| `push()` | 要素をヒープに追加 | $O(\log n)$ |
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| `pop()` | ヒープ頂点の要素を取り出す | $O(\log n)$ |
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| `peek()` | ヒープ頂点の要素にアクセス（最大 / 最小ヒープではそれぞれ最大 / 最小値） | $O(1)$ |
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| `size()` | ヒープ内の要素数を取得 | $O(1)$ |
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| `isEmpty()` | ヒープが空かどうかを判定 | $O(1)$ |
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実際の応用では、プログラミング言語が提供するヒープクラス（または優先度付きキュークラス）をそのまま使えます。
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ソートアルゴリズムにおける「昇順」と「降順」と同様に、`flag` を設定したり `Comparator` を変更したりすることで、「最小ヒープ」と「最大ヒープ」を切り替えられます。コードは以下のとおりです：
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=== "Python"
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```python title="heap.py"
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# 最小ヒープを初期化
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min_heap, flag = [], 1
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# 最大ヒープを初期化
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max_heap, flag = [], -1
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# Python の heapq モジュールはデフォルトで最小ヒープを実装している
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# 「要素を負にして」からヒープに追加すると、大小関係を反転させて最大ヒープを実現できる
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# この例では、flag = 1 のときは最小ヒープ、flag = -1 のときは最大ヒープに対応する
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# 要素をヒープに追加
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heapq.heappush(max_heap, flag * 1)
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heapq.heappush(max_heap, flag * 3)
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heapq.heappush(max_heap, flag * 2)
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heapq.heappush(max_heap, flag * 5)
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heapq.heappush(max_heap, flag * 4)
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# ヒープ頂点の要素を取得
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peek: int = flag * max_heap[0] # 5
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# ヒープ頂点の要素を取り出す
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# 取り出された要素は大きい順の列になる
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val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 5
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val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 4
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val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 3
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val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 2
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val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 1
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# ヒープのサイズを取得
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size: int = len(max_heap)
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# ヒープが空かどうかを判定
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is_empty: bool = not max_heap
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# 入力リストからヒープを構築
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min_heap: list[int] = [1, 3, 2, 5, 4]
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heapq.heapify(min_heap)
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```
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=== "C++"
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```cpp title="heap.cpp"
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/* ヒープを初期化 */
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// 最小ヒープを初期化
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priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap;
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// 最大ヒープを初期化
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priority_queue<int, vector<int>, less<int>> maxHeap;
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/* 要素をヒープに追加 */
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maxHeap.push(1);
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maxHeap.push(3);
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maxHeap.push(2);
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maxHeap.push(5);
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maxHeap.push(4);
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/* ヒープ頂点の要素を取得 */
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int peek = maxHeap.top(); // 5
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/* ヒープ頂点の要素を取り出す */
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// 取り出された要素は大きい順の列になる
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maxHeap.pop(); // 5
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maxHeap.pop(); // 4
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||
maxHeap.pop(); // 3
|
||
maxHeap.pop(); // 2
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||
maxHeap.pop(); // 1
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/* ヒープのサイズを取得 */
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int size = maxHeap.size();
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/* ヒープが空かどうかを判定 */
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bool isEmpty = maxHeap.empty();
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/* 入力リストからヒープを構築 */
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vector<int> input{1, 3, 2, 5, 4};
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priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap(input.begin(), input.end());
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```
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=== "Java"
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```java title="heap.java"
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/* ヒープを初期化 */
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// 最小ヒープを初期化
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Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
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// 最大ヒープを初期化（lambda 式で Comparator を変更すればよい）
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Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);
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/* 要素をヒープに追加 */
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maxHeap.offer(1);
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maxHeap.offer(3);
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maxHeap.offer(2);
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maxHeap.offer(5);
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maxHeap.offer(4);
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/* ヒープ頂点の要素を取得 */
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int peek = maxHeap.peek(); // 5
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/* ヒープ頂点の要素を取り出す */
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// 取り出された要素は大きい順の列になる
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peek = maxHeap.poll(); // 5
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peek = maxHeap.poll(); // 4
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peek = maxHeap.poll(); // 3
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peek = maxHeap.poll(); // 2
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peek = maxHeap.poll(); // 1
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/* ヒープのサイズを取得 */
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int size = maxHeap.size();
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/* ヒープが空かどうかを判定 */
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boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();
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/* 入力リストからヒープを構築 */
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minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));
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```
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=== "C#"
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```csharp title="heap.cs"
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/* ヒープを初期化 */
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// 最小ヒープを初期化
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PriorityQueue<int, int> minHeap = new();
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// 最大ヒープを初期化（lambda 式で Comparer を変更すればよい）
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PriorityQueue<int, int> maxHeap = new(Comparer<int>.Create((x, y) => y.CompareTo(x)));
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/* 要素をヒープに追加 */
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maxHeap.Enqueue(1, 1);
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maxHeap.Enqueue(3, 3);
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maxHeap.Enqueue(2, 2);
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maxHeap.Enqueue(5, 5);
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maxHeap.Enqueue(4, 4);
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/* ヒープ頂点の要素を取得 */
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int peek = maxHeap.Peek();//5
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/* ヒープ頂点の要素を取り出す */
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// 取り出された要素は大きい順の列になる
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peek = maxHeap.Dequeue(); // 5
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peek = maxHeap.Dequeue(); // 4
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peek = maxHeap.Dequeue(); // 3
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peek = maxHeap.Dequeue(); // 2
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peek = maxHeap.Dequeue(); // 1
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/* ヒープのサイズを取得 */
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int size = maxHeap.Count;
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/* ヒープが空かどうかを判定 */
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bool isEmpty = maxHeap.Count == 0;
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/* 入力リストからヒープを構築 */
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minHeap = new PriorityQueue<int, int>([(1, 1), (3, 3), (2, 2), (5, 5), (4, 4)]);
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```
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=== "Go"
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```go title="heap.go"
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// Go では、heap.Interface を実装することで整数の最大ヒープを構築できる
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// heap.Interface を実装するには、同時に sort.Interface も実装する必要がある
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type intHeap []any
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// Push は heap.Interface のメソッドで、要素をヒープに追加する
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func (h *intHeap) Push(x any) {
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// Push と Pop は pointer receiver を引数に取る
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// スライスの内容を調整するだけでなく、スライスの長さも変更するため。
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*h = append(*h, x.(int))
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}
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// Pop は heap.Interface のメソッドで、ヒープ頂点の要素を取り出す
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func (h *intHeap) Pop() any {
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// 取り出す要素は末尾に格納されている
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last := (*h)[len(*h)-1]
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*h = (*h)[:len(*h)-1]
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return last
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}
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// Len は sort.Interface のメソッド
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func (h *intHeap) Len() int {
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return len(*h)
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}
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// Less は sort.Interface のメソッド
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func (h *intHeap) Less(i, j int) bool {
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// 最小ヒープを実装する場合は、不等号を小なりに変更する
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return (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int)
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}
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// Swap は sort.Interface のメソッド
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func (h *intHeap) Swap(i, j int) {
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(*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i]
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||
}
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// Top はヒープ頂点の要素を取得
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func (h *intHeap) Top() any {
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return (*h)[0]
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}
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/* Driver Code */
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func TestHeap(t *testing.T) {
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/* ヒープを初期化 */
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// 最大ヒープを初期化
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maxHeap := &intHeap{}
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heap.Init(maxHeap)
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/* 要素をヒープに追加 */
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// heap.Interface のメソッドを呼び出して要素を追加する
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heap.Push(maxHeap, 1)
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heap.Push(maxHeap, 3)
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heap.Push(maxHeap, 2)
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heap.Push(maxHeap, 4)
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heap.Push(maxHeap, 5)
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/* ヒープ頂点の要素を取得 */
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top := maxHeap.Top()
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fmt.Printf("ヒープ頂点の要素は %d\n", top)
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/* ヒープ頂点の要素を取り出す */
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// heap.Interface のメソッドを呼び出して要素を削除する
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heap.Pop(maxHeap) // 5
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heap.Pop(maxHeap) // 4
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heap.Pop(maxHeap) // 3
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||
heap.Pop(maxHeap) // 2
|
||
heap.Pop(maxHeap) // 1
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||
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/* ヒープのサイズを取得 */
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size := len(*maxHeap)
|
||
fmt.Printf("ヒープ内の要素数は %d\n", size)
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/* ヒープが空かどうかを判定 */
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isEmpty := len(*maxHeap) == 0
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||
fmt.Printf("ヒープは空か %t\n", isEmpty)
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}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="heap.swift"
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/* ヒープを初期化 */
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// Swift の Heap 型は最大ヒープと最小ヒープの両方をサポートしており、swift-collections の導入が必要
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var heap = Heap<Int>()
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/* 要素をヒープに追加 */
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heap.insert(1)
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heap.insert(3)
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heap.insert(2)
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heap.insert(5)
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heap.insert(4)
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/* ヒープ頂点の要素を取得 */
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var peek = heap.max()!
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/* ヒープ頂点の要素を取り出す */
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peek = heap.removeMax() // 5
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peek = heap.removeMax() // 4
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peek = heap.removeMax() // 3
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peek = heap.removeMax() // 2
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peek = heap.removeMax() // 1
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/* ヒープのサイズを取得 */
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let size = heap.count
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/* ヒープが空かどうかを判定 */
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let isEmpty = heap.isEmpty
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/* 入力リストからヒープを構築 */
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let heap2 = Heap([1, 3, 2, 5, 4])
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```
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=== "JS"
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```javascript title="heap.js"
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// JavaScript には組み込みの Heap クラスがない
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```
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=== "TS"
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```typescript title="heap.ts"
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// TypeScript には組み込みの Heap クラスがない
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```
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=== "Dart"
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```dart title="heap.dart"
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// Dart には組み込みの Heap クラスがない
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```
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=== "Rust"
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```rust title="heap.rs"
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use std::collections::BinaryHeap;
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use std::cmp::Reverse;
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/* ヒープを初期化 */
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// 最小ヒープを初期化
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let mut min_heap = BinaryHeap::<Reverse<i32>>::new();
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// 最大ヒープを初期化
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let mut max_heap = BinaryHeap::new();
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/* 要素をヒープに追加 */
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max_heap.push(1);
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max_heap.push(3);
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max_heap.push(2);
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max_heap.push(5);
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max_heap.push(4);
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/* ヒープ頂点の要素を取得 */
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let peek = max_heap.peek().unwrap(); // 5
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/* ヒープ頂点の要素を取り出す */
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// 取り出された要素は大きい順の列になる
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let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 5
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let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 4
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let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 3
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let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 2
|
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let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 1
|
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/* ヒープのサイズを取得 */
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let size = max_heap.len();
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/* ヒープが空かどうかを判定 */
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let is_empty = max_heap.is_empty();
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/* 入力リストからヒープを構築 */
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let min_heap = BinaryHeap::from(vec![Reverse(1), Reverse(3), Reverse(2), Reverse(5), Reverse(4)]);
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```
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=== "C"
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```c title="heap.c"
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// C には組み込みの Heap クラスがない
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```
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=== "Kotlin"
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```kotlin title="heap.kt"
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/* ヒープを初期化 */
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// 最小ヒープを初期化
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var minHeap = PriorityQueue<Int>()
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// 最大ヒープを初期化（lambda 式で Comparator を変更すればよい）
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val maxHeap = PriorityQueue { a: Int, b: Int -> b - a }
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/* 要素をヒープに追加 */
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maxHeap.offer(1)
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maxHeap.offer(3)
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maxHeap.offer(2)
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maxHeap.offer(5)
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maxHeap.offer(4)
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||
/* ヒープ頂点の要素を取得 */
|
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var peek = maxHeap.peek() // 5
|
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||
/* ヒープ頂点の要素を取り出す */
|
||
// 取り出された要素は大きい順の列になる
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||
peek = maxHeap.poll() // 5
|
||
peek = maxHeap.poll() // 4
|
||
peek = maxHeap.poll() // 3
|
||
peek = maxHeap.poll() // 2
|
||
peek = maxHeap.poll() // 1
|
||
|
||
/* ヒープのサイズを取得 */
|
||
val size = maxHeap.size
|
||
|
||
/* ヒープが空かどうかを判定 */
|
||
val isEmpty = maxHeap.isEmpty()
|
||
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||
/* 入力リストからヒープを構築 */
|
||
minHeap = PriorityQueue(mutableListOf(1, 3, 2, 5, 4))
|
||
```
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=== "Ruby"
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```ruby title="heap.rb"
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||
# Ruby には組み込みの Heap クラスがない
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||
```
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??? pythontutor "実行を可視化"
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https://pythontutor.com/render.html#code=import%20heapq%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%B0%8F%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20min_heap,%20flag%20%3D%20%5B%5D,%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%A4%A7%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20max_heap,%20flag%20%3D%20%5B%5D,%20-1%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20Python%20%E7%9A%84%20heapq%20%E6%A8%A1%E5%9D%97%E9%BB%98%E8%AE%A4%E5%AE%9E%E7%8E%B0%E5%B0%8F%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%23%20%E8%80%83%E8%99%91%E5%B0%86%E2%80%9C%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%8F%96%E8%B4%9F%E2%80%9D%E5%90%8E%E5%86%8D%E5%85%A5%E5%A0%86%EF%BC%8C%E8%BF%99%E6%A0%B7%E5%B0%B1%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E5%B0%86%E5%A4%A7%E5%B0%8F%E5%85%B3%E7%B3%BB%E9%A2%A0%E5%80%92%EF%BC%8C%E4%BB%8E%E8%80%8C%E5%AE%9E%E7%8E%B0%E5%A4%A7%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%23%20%E5%9C%A8%E6%9C%AC%E7%A4%BA%E4%BE%8B%E4%B8%AD%EF%BC%8Cflag%20%3D%201%20%E6%97%B6%E5%AF%B9%E5%BA%94%E5%B0%8F%E9%A1%B6%E5%A0%86%EF%BC%8Cflag%20%3D%20-1%20%E6%97%B6%E5%AF%B9%E5%BA%94%E5%A4%A7%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%85%A5%E5%A0%86%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%201%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%203%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%202%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%205%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%204%29%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8E%B7%E5%8F%96%E5%A0%86%E9%A1%B6%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20peek%20%3D%20flag%20*%20max_heap%5B0%5D%20%23%205%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%A0%86%E9%A1%B6%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%87%BA%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%23%20%E5%87%BA%E5%A0%86%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%BC%9A%E5%BD%A2%E6%88%90%E4%B8%80%E4%B8%AA%E4%BB%8E%E5%A4%A7%E5%88%B0%E5%B0%8F%E7%9A%84%E5%BA%8F%E5%88%97%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%205%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%204%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%203%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%202%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%201%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8E%B7%E5%8F%96%E5%A0%86%E5%A4%A7%E5%B0%8F%0A%20%20%20%20size%20%3D%20len%28max_heap%29%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%A4%E6%96%AD%E5%A0%86%E6%98%AF%E5%90%A6%E4%B8%BA%E7%A9%BA%0A%20%20%20%20is_empty%20%3D%20not%20max_heap%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BE%93%E5%85%A5%E5%88%97%E8%A1%A8%E5%B9%B6%E5%BB%BA%E5%A0%86%0A%20%20%20%20min_heap%20%3D%20%5B1,%203,%202,%205,%204%5D%0A%20%20%20%20heapq.heapify%28min_heap%29&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false
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## ヒープの実装
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以下では最大ヒープを実装します。最小ヒープに変換したい場合は、すべての大小比較ロジックを反転させるだけです（たとえば、$\geq$ を $\leq$ に置き換えます）。興味のある読者は自分で実装してみてください。
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### ヒープの格納と表現
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「二分木」の章で述べたように、完全二分木は配列で表現するのに非常に適しています。ヒープはまさに完全二分木の一種なので、**ここでは配列を使ってヒープを格納します**。
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配列で二分木を表す場合、要素はノードの値を表し、インデックスは二分木におけるノードの位置を表します。**ノード間の参照関係はインデックスの対応式によって実現できます**。
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次の図に示すように、インデックス $i$ に対して、左子ノードのインデックスは $2i + 1$ 、右子ノードのインデックスは $2i + 2$ 、親ノードのインデックスは $(i - 1) / 2$（切り捨て除算）です。インデックスが範囲外であれば、空ノードまたはノードが存在しないことを表します。
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インデックスの対応式は関数にまとめておくと、後続で使いやすくなります：
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```src
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[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{parent}
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```
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### ヒープ頂点の要素にアクセス
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ヒープ頂点の要素は二分木の根ノード、すなわちリストの先頭要素です：
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```src
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[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{peek}
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```
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### 要素をヒープに追加
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与えられた要素 `val` を、まずヒープの底に追加します。追加後、`val` がヒープ内のほかの要素より大きい可能性があるため、ヒープ条件が崩れているかもしれません。**そのため、挿入ノードから根ノードまでの経路上にある各ノードを修復する必要があります**。この操作を<u>ヒープ化（heapify）</u>と呼びます。
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ヒープへ追加したノードから始めて、**下から上へヒープ化**を行います。次の図のように、挿入ノードとその親ノードの値を比較し、挿入ノードのほうが大きければそれらを交換します。その後もこの操作を繰り返し、下から上へ各ノードを修復して、根ノードを越えるか交換不要のノードに達した時点で終了します。
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=== "<1>"
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=== "<4>"
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=== "<5>"
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=== "<6>"
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=== "<7>"
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=== "<8>"
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=== "<9>"
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ノード総数を $n$ とすると、木の高さは $O(\log n)$ です。したがって、ヒープ化操作のループ回数は高々 $O(\log n)$ であり、**要素をヒープに追加する操作の時間計算量は $O(\log n)$** です。コードは以下のとおりです：
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```src
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[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{sift_up}
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```
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### ヒープ頂点の要素を取り出す
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ヒープ頂点の要素は二分木の根ノード、すなわちリストの先頭要素です。もし先頭要素をそのまま削除すると、二分木内のすべてのノードのインデックスが変化してしまい、その後のヒープ化による修復が困難になります。要素インデックスの変動をできるだけ小さくするため、次の手順を取ります。
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1. ヒープ頂点の要素とヒープ底の要素を交換する（根ノードと最も右の葉ノードを交換する）。
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2. 交換後、ヒープ底をリストから削除する（すでに交換済みであるため、実際に削除されるのは元のヒープ頂点の要素であることに注意）。
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3. 根ノードから開始し、**上から下へヒープ化**を行う。
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次の図のように、**「上から下へのヒープ化」の方向は「下から上へのヒープ化」と逆**です。根ノードの値を 2 つの子ノードと比較し、最大の子ノードと根ノードを交換します。その後、この操作を繰り返し、葉ノードを越えるか交換不要のノードに達した時点で終了します。
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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=== "<3>"
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=== "<5>"
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=== "<6>"
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=== "<7>"
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=== "<8>"
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=== "<9>"
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=== "<10>"
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要素をヒープに追加する操作と同様に、ヒープ頂点の要素を取り出す操作の時間計算量も $O(\log n)$ です。コードは以下のとおりです：
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```src
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[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{sift_down}
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```
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## ヒープの代表的な応用
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- **優先度付きキュー**：ヒープは、優先度付きキューを実装するための代表的なデータ構造です。キューへの追加と取り出しの時間計算量はいずれも $O(\log n)$ で、ヒープ構築は $O(n)$ であり、これらの操作はいずれも非常に効率的です。
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- **ヒープソート**：与えられたデータ群からヒープを構築し、要素の取り出しを繰り返すことで整列済みデータを得られます。ただし、通常はより洗練された方法でヒープソートを実装します。詳しくは「ヒープソート」の章を参照してください。
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- **最大の $k$ 個の要素を取得**：これは古典的なアルゴリズム問題であると同時に、典型的な応用でもあります。たとえば、人気上位 10 件のニュースをホットトピックとして選んだり、売上上位 10 件の商品を選んだりする場面です。
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