Yudong Jin
7.4 KiB
Построение кучи
В некоторых случаях требуется построить кучу, используя сразу все элементы списка. Этот процесс называется построением кучи.
Реализация через операцию добавления в кучу
Сначала мы создаем пустую кучу, затем обходим список и для каждого элемента по очереди выполняем операцию добавления в кучу: сначала помещаем элемент в хвост кучи, а затем выполняем для него упорядочивание снизу вверх.
Каждый раз, когда элемент добавляется в кучу, ее длина увеличивается на единицу. Поскольку узлы последовательно добавляются в двоичное дерево сверху вниз, куча строится сверху вниз.
Пусть число элементов равно n ; так как каждая операция добавления требует O(\log{n}) времени, временная сложность такого построения кучи составляет O(n \log n) .
Реализация через обход и упорядочивание
На самом деле можно реализовать и более эффективный способ построения кучи, который состоит из двух шагов.
- Без изменений добавить все элементы списка в кучу; в этот момент свойства кучи еще не выполняются.
- Обойти кучу в обратном порядке, то есть в порядке, обратном обходу по уровням, и по очереди выполнить упорядочивание сверху вниз для каждого нелистового узла.
После того как некоторый узел был упорядочен, поддерево с этим узлом в качестве корня становится корректной подкучей. А поскольку обход выполняется в обратном порядке, куча строится снизу вверх.
Причина выбора обратного обхода в том, что он гарантирует: поддеревья ниже текущего узла уже являются корректными подкучами, а значит, упорядочивание текущего узла действительно будет эффективным.
Стоит отметить, что листовые узлы не имеют дочерних узлов, поэтому они естественным образом являются корректными подкучами и не требуют упорядочивания. Как показано в коде ниже, последний нелистовой узел является родителем последнего узла, и именно с него мы начинаем обратный обход и упорядочивание:
[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{__init__}
Анализ сложности
Теперь попробуем оценить временную сложность второго способа построения кучи.
- Пусть число узлов полного двоичного дерева равно
n, тогда число листовых узлов равно(n + 1) / 2, где/означает целочисленное деление вниз. Следовательно, число узлов, которые нужно упорядочивать, равно(n - 1) / 2. - В процессе упорядочивания сверху вниз каждый узел в худшем случае может просеяться до листа, поэтому максимальное число итераций равно высоте двоичного дерева
\log n.
Перемножив эти два значения, можно получить временную сложность построения кучи O(n \log n) . Но эта оценка неточна, потому что мы не учли свойство двоичного дерева: на нижних уровнях узлов гораздо больше, чем на верхних.
Далее выполним более точный расчет. Чтобы упростить вычисления, предположим, что дано "идеальное двоичное дерево" высоты h с числом узлов n ; это предположение не повлияет на корректность результата.
Как показано на рисунке выше, максимальное число итераций упорядочивания сверху вниз для некоторого узла равно расстоянию от этого узла до листового узла, а это расстояние как раз и есть высота узла. Поэтому мы можем просуммировать для каждого уровня выражение "число узлов \times высота узла" и получить суммарное число итераций упорядочивания для всех узлов.
T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1
Чтобы упростить это выражение, воспользуемся школьными знаниями о последовательностях и сначала умножим T(h) на 2 :
\begin{aligned}
T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{h-1}\times1 \newline
2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \dots + 2^{h}\times1 \newline
\end{aligned}
Используя метод вычитания со сдвигом, вычтем из нижней строки 2 T(h) верхнюю строку T(h) , тогда получим:
2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{h-1} + 2^h
Из этого выражения видно, что T(h) представляет собой геометрическую прогрессию, поэтому можно напрямую применить формулу суммы и получить временную сложность:
\begin{aligned}
T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
& = 2^{h+1} - h - 2 \newline
& = O(2^h)
\end{aligned}
Далее, число узлов идеального двоичного дерева высоты h равно n = 2^{h+1} - 1 , поэтому несложно получить сложность O(2^h) = O(n) . Из этого вывода следует, что построение кучи из входного списка имеет временную сложность O(n) , то есть выполняется очень эффективно.