mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-07-16 00:46:06 +00:00
Yudong Jin
75 lines
7.4 KiB
Markdown
75 lines
7.4 KiB
Markdown
# Построение кучи
|
|
|
|
В некоторых случаях требуется построить кучу, используя сразу все элементы списка. Этот процесс называется построением кучи.
|
|
|
|
## Реализация через операцию добавления в кучу
|
|
|
|
Сначала мы создаем пустую кучу, затем обходим список и для каждого элемента по очереди выполняем операцию добавления в кучу: сначала помещаем элемент в хвост кучи, а затем выполняем для него упорядочивание снизу вверх.
|
|
|
|
Каждый раз, когда элемент добавляется в кучу, ее длина увеличивается на единицу. Поскольку узлы последовательно добавляются в двоичное дерево сверху вниз, куча строится сверху вниз.
|
|
|
|
Пусть число элементов равно $n$ ; так как каждая операция добавления требует $O(\log{n})$ времени, временная сложность такого построения кучи составляет $O(n \log n)$ .
|
|
|
|
## Реализация через обход и упорядочивание
|
|
|
|
На самом деле можно реализовать и более эффективный способ построения кучи, который состоит из двух шагов.
|
|
|
|
1. Без изменений добавить все элементы списка в кучу; в этот момент свойства кучи еще не выполняются.
|
|
2. Обойти кучу в обратном порядке, то есть в порядке, обратном обходу по уровням, и по очереди выполнить упорядочивание сверху вниз для каждого нелистового узла.
|
|
|
|
**После того как некоторый узел был упорядочен, поддерево с этим узлом в качестве корня становится корректной подкучей**. А поскольку обход выполняется в обратном порядке, куча строится снизу вверх.
|
|
|
|
Причина выбора обратного обхода в том, что он гарантирует: поддеревья ниже текущего узла уже являются корректными подкучами, а значит, упорядочивание текущего узла действительно будет эффективным.
|
|
|
|
Стоит отметить, что **листовые узлы не имеют дочерних узлов, поэтому они естественным образом являются корректными подкучами и не требуют упорядочивания**. Как показано в коде ниже, последний нелистовой узел является родителем последнего узла, и именно с него мы начинаем обратный обход и упорядочивание:
|
|
|
|
```src
|
|
[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{__init__}
|
|
```
|
|
|
|
## Анализ сложности
|
|
|
|
Теперь попробуем оценить временную сложность второго способа построения кучи.
|
|
|
|
- Пусть число узлов полного двоичного дерева равно $n$ , тогда число листовых узлов равно $(n + 1) / 2$ , где $/$ означает целочисленное деление вниз. Следовательно, число узлов, которые нужно упорядочивать, равно $(n - 1) / 2$ .
|
|
- В процессе упорядочивания сверху вниз каждый узел в худшем случае может просеяться до листа, поэтому максимальное число итераций равно высоте двоичного дерева $\log n$ .
|
|
|
|
Перемножив эти два значения, можно получить временную сложность построения кучи $O(n \log n)$ . **Но эта оценка неточна, потому что мы не учли свойство двоичного дерева: на нижних уровнях узлов гораздо больше, чем на верхних**.
|
|
|
|
Далее выполним более точный расчет. Чтобы упростить вычисления, предположим, что дано "идеальное двоичное дерево" высоты $h$ с числом узлов $n$ ; это предположение не повлияет на корректность результата.
|
|
|
|
|
|
|
|
Как показано на рисунке выше, максимальное число итераций упорядочивания сверху вниз для некоторого узла равно расстоянию от этого узла до листового узла, а это расстояние как раз и есть высота узла. Поэтому мы можем просуммировать для каждого уровня выражение "число узлов $\times$ высота узла" и **получить суммарное число итераций упорядочивания для всех узлов**.
|
|
|
|
$$
|
|
T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1
|
|
$$
|
|
|
|
Чтобы упростить это выражение, воспользуемся школьными знаниями о последовательностях и сначала умножим $T(h)$ на $2$ :
|
|
|
|
$$
|
|
\begin{aligned}
|
|
T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{h-1}\times1 \newline
|
|
2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \dots + 2^{h}\times1 \newline
|
|
\end{aligned}
|
|
$$
|
|
|
|
Используя метод вычитания со сдвигом, вычтем из нижней строки $2 T(h)$ верхнюю строку $T(h)$ , тогда получим:
|
|
|
|
$$
|
|
2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{h-1} + 2^h
|
|
$$
|
|
|
|
Из этого выражения видно, что $T(h)$ представляет собой геометрическую прогрессию, поэтому можно напрямую применить формулу суммы и получить временную сложность:
|
|
|
|
$$
|
|
\begin{aligned}
|
|
T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
|
|
& = 2^{h+1} - h - 2 \newline
|
|
& = O(2^h)
|
|
\end{aligned}
|
|
$$
|
|
|
|
Далее, число узлов идеального двоичного дерева высоты $h$ равно $n = 2^{h+1} - 1$ , поэтому несложно получить сложность $O(2^h) = O(n)$ . Из этого вывода следует, что **построение кучи из входного списка имеет временную сложность $O(n)$ , то есть выполняется очень эффективно**.
|