mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-07-02 10:34:35 +00:00
Yudong Jin
90 lines
6.6 KiB
Markdown
90 lines
6.6 KiB
Markdown
# Обход двоичного дерева
|
|
|
|
С точки зрения физической структуры дерево представляет собой разновидность структуры данных на основе связей, поэтому его обход выполняется через последовательный доступ к узлам по указателям. Однако дерево является нелинейной структурой данных, а значит, его обход сложнее, чем обход связного списка, и для него требуется использовать поисковые алгоритмы.
|
|
|
|
К распространенным способам обхода двоичного дерева относятся обход по уровням, прямой обход, симметричный обход и обратный обход.
|
|
|
|
## Обход по уровням
|
|
|
|
Как показано на рисунке ниже, <u>обход по уровням (level-order traversal)</u> проходит двоичное дерево сверху вниз по уровням и на каждом уровне посещает узлы слева направо.
|
|
|
|
По своей сути обход по уровням относится к <u>обходу в ширину (breadth-first traversal)</u>, также называемому <u>поиском в ширину (breadth-first search, BFS)</u>; он отражает идею "расширяться от центра к периферии слой за слоем".
|
|
|
|
|
|
|
|
### Код реализации
|
|
|
|
Обход в ширину обычно реализуется с помощью "очереди". Очередь подчиняется правилу "первым пришел - первым вышел", а обход в ширину подчиняется правилу "продвигаться по уровням", поэтому стоящая за ними идея согласована. Код реализации приведен ниже:
|
|
|
|
```src
|
|
[file]{binary_tree_bfs}-[class]{}-[func]{level_order}
|
|
```
|
|
|
|
### Анализ сложности
|
|
|
|
- **Временная сложность равна $O(n)$** : все узлы посещаются по одному разу, поэтому требуется $O(n)$ времени, где $n$ - число узлов.
|
|
- **Пространственная сложность равна $O(n)$** : в худшем случае, то есть для полной двоичной деревообразной структуры, до достижения самого нижнего уровня в очереди одновременно может находиться до $(n + 1) / 2$ узлов, что требует $O(n)$ памяти.
|
|
|
|
## Прямой, симметричный и обратный обходы
|
|
|
|
Соответственно, прямой, симметричный и обратный обходы относятся к <u>обходу в глубину (depth-first traversal)</u>, также называемому <u>поиском в глубину (depth-first search, DFS)</u>; он отражает идею "сначала идти до конца, затем возвращаться и продолжать".
|
|
|
|
На рисунке ниже показан принцип работы обхода двоичного дерева в глубину. **Обход в глубину можно представить как обход всей двоичной структуры по внешнему контуру** , и у каждого узла встречаются три позиции, соответствующие прямому, симметричному и обратному обходам.
|
|
|
|
|
|
|
|
### Код реализации
|
|
|
|
Поиск в глубину обычно реализуется через рекурсию:
|
|
|
|
```src
|
|
[file]{binary_tree_dfs}-[class]{}-[func]{post_order}
|
|
```
|
|
|
|
!!! tip
|
|
|
|
Поиск в глубину можно реализовать и итеративно; заинтересованные читатели могут изучить это самостоятельно.
|
|
|
|
На рисунках ниже показан рекурсивный процесс прямого обхода двоичного дерева. Его можно разделить на две противоположные части: "вход в рекурсию" и "возврат".
|
|
|
|
1. "Вход в рекурсию" означает запуск нового вызова функции; в этом процессе программа переходит к следующему узлу.
|
|
2. "Возврат" означает завершение вызова функции и возврат назад, то есть текущий узел уже полностью обработан.
|
|
|
|
=== "<1>"
|
|
|
|
|
|
=== "<2>"
|
|
|
|
|
|
=== "<3>"
|
|
|
|
|
|
=== "<4>"
|
|
|
|
|
|
=== "<5>"
|
|
|
|
|
|
=== "<6>"
|
|
|
|
|
|
=== "<7>"
|
|
|
|
|
|
=== "<8>"
|
|
|
|
|
|
=== "<9>"
|
|
|
|
|
|
=== "<10>"
|
|
|
|
|
|
=== "<11>"
|
|
|
|
|
|
### Анализ сложности
|
|
|
|
- **Временная сложность равна $O(n)$** : все узлы посещаются по одному разу, поэтому требуется $O(n)$ времени.
|
|
- **Пространственная сложность равна $O(n)$** : в худшем случае, когда дерево вырождается в связный список, глубина рекурсии достигает $n$ , и система тратит $O(n)$ памяти на стек вызовов.
|