xinyin025/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2026-06-29 00:54:26 +00:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity
Files
cb5235bc3f6fc04511b7bb99e2ef2f414cfc80d2
hello-algo/ru/docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md
T
krahets e53a7f2498 build
2026-04-14 18:06:14 +08:00

2281 lines
96 KiB
Markdown
Raw Blame History

This file contains ambiguous Unicode characters
This file contains Unicode characters that might be confused with other characters. If you think that this is intentional, you can safely ignore this warning. Use the Escape button to reveal them.
---
comments: true
---
# 2.4   Пространственная сложность
<u>Пространственная сложность (space complexity)</u> служит для оценки того, как меняется объем памяти, требуемой алгоритму, по мере роста объема данных. Это понятие очень похоже на временную сложность, только вместо времени выполнения рассматривается объем используемой памяти.
## 2.4.1 &nbsp; Пространство, связанное с алгоритмом
Память, которую использует алгоритм во время работы, в основном делится на следующие части.
- **Входное пространство**: используется для хранения входных данных алгоритма.
- **Временное пространство**: используется для хранения переменных, объектов, контекста функций и других данных, возникающих во время выполнения алгоритма.
- **Выходное пространство**: используется для хранения выходных данных алгоритма.
Как правило, при анализе пространственной сложности в расчет включают временное пространство и выходное пространство.
Временное пространство можно дополнительно разделить на три части.
- **Временные данные**: используются для хранения различных констант, переменных, объектов и т.д., возникающих во время выполнения алгоритма.
- **Пространство кадров стека**: используется для хранения контекстных данных вызываемых функций. При каждом вызове функции система создает на вершине стека новый кадр. После возврата функции пространство этого кадра освобождается.
- **Пространство инструкций**: используется для хранения скомпилированных инструкций программы и в реальном подсчете обычно не учитывается.
При анализе пространственной сложности программы **обычно учитываются временные данные, пространство стека и выходные данные**, как показано на рисунке 2-15.
![Пространство, используемое алгоритмом](space_complexity.assets/space_types.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> Рисунок 2-15 &nbsp; Пространство, используемое алгоритмом </p>
Ниже приведен соответствующий код:
=== "Python"
```python title=""
class Node:
"""Класс"""
def __init__(self, x: int):
self.val: int = x # Значение узла
self.next: Node | None = None # Ссылка на следующий узел
def function() -> int:
"""Функция"""
# Выполнить некоторые операции...
return 0
def algorithm(n) -> int: # Входные данные
A = 0 # Временные данные (константа, обычно обозначается заглавной буквой)
b = 0 # Временные данные (переменная)
node = Node(0) # Временные данные (объект)
c = function() # Пространство кадра стека (вызов функции)
return A + b + c # Выходные данные
```
=== "C++"
```cpp title=""
/* Структура */
struct Node {
int val;
Node *next;
Node(int x) : val(x), next(nullptr) {}
};
/* Функция */
int func() {
// Выполнить некоторые операции...
return 0;
}
int algorithm(int n) { // Входные данные
const int a = 0; // Временные данные (константа)
int b = 0; // Временные данные (переменная)
Node* node = new Node(0); // Временные данные (объект)
int c = func(); // Пространство кадра стека (вызов функции)
return a + b + c; // Выходные данные
}
```
=== "Java"
```java title=""
/* Класс */
class Node {
int val;
Node next;
Node(int x) { val = x; }
}
/* Функция */
int function() {
// Выполнить некоторые операции...
return 0;
}
int algorithm(int n) { // Входные данные
final int a = 0; // Временные данные (константа)
int b = 0; // Временные данные (переменная)
Node node = new Node(0); // Временные данные (объект)
int c = function(); // Пространство кадра стека (вызов функции)
return a + b + c; // Выходные данные
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
/* Класс */
class Node(int x) {
int val = x;
Node next;
}
/* Функция */
int Function() {
// Выполнить некоторые операции...
return 0;
}
int Algorithm(int n) { // Входные данные
const int a = 0; // Временные данные (константа)
int b = 0; // Временные данные (переменная)
Node node = new(0); // Временные данные (объект)
int c = Function(); // Пространство кадра стека (вызов функции)
return a + b + c; // Выходные данные
}
```
=== "Go"
```go title=""
/* Структура */
type node struct {
val int
next *node
}
/* Создать структуру node */
func newNode(val int) *node {
return &node{val: val}
}
/* Функция */
func function() int {
// Выполнить некоторые операции...
return 0
}
func algorithm(n int) int { // Входные данные
const a = 0 // Временные данные (константа)
b := 0 // Временные данные (переменная)
newNode(0) // Временные данные (объект)
c := function() // Пространство кадра стека (вызов функции)
return a + b + c // Выходные данные
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
/* Класс */
class Node {
var val: Int
var next: Node?
init(x: Int) {
val = x
}
}
/* Функция */
func function() -> Int {
// Выполнить некоторые операции...
return 0
}
func algorithm(n: Int) -> Int { // Входные данные
let a = 0 // Временные данные (константа)
var b = 0 // Временные данные (переменная)
let node = Node(x: 0) // Временные данные (объект)
let c = function() // Пространство кадра стека (вызов функции)
return a + b + c // Выходные данные
}
```
=== "JS"
```javascript title=""
/* Класс */
class Node {
val;
next;
constructor(val) {
this.val = val === undefined ? 0 : val; // Значение узла
this.next = null; // Ссылка на следующий узел
}
}
/* Функция */
function constFunc() {
// Выполнить некоторые операции
return 0;
}
function algorithm(n) { // Входные данные
const a = 0; // Временные данные (константа)
let b = 0; // Временные данные (переменная)
const node = new Node(0); // Временные данные (объект)
const c = constFunc(); // Пространство кадра стека (вызов функции)
return a + b + c; // Выходные данные
}
```
=== "TS"
```typescript title=""
/* Класс */
class Node {
val: number;
next: Node | null;
constructor(val?: number) {
this.val = val === undefined ? 0 : val; // Значение узла
this.next = null; // Ссылка на следующий узел
}
}
/* Функция */
function constFunc(): number {
// Выполнить некоторые операции
return 0;
}
function algorithm(n: number): number { // Входные данные
const a = 0; // Временные данные (константа)
let b = 0; // Временные данные (переменная)
const node = new Node(0); // Временные данные (объект)
const c = constFunc(); // Пространство кадра стека (вызов функции)
return a + b + c; // Выходные данные
}
```
=== "Dart"
```dart title=""
/* Класс */
class Node {
int val;
Node next;
Node(this.val, [this.next]);
}
/* Функция */
int function() {
// Выполнить некоторые операции...
return 0;
}
int algorithm(int n) { // Входные данные
const int a = 0; // Временные данные (константа)
int b = 0; // Временные данные (переменная)
Node node = Node(0); // Временные данные (объект)
int c = function(); // Пространство кадра стека (вызов функции)
return a + b + c; // Выходные данные
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
use std::rc::Rc;
use std::cell::RefCell;
/* Структура */
struct Node {
val: i32,
next: Option<Rc<RefCell<Node>>>,
}
/* Создать структуру Node */
impl Node {
fn new(val: i32) -> Self {
Self { val: val, next: None }
}
}
/* Функция */
fn function() -> i32 {
// Выполнить некоторые операции...
return 0;
}
fn algorithm(n: i32) -> i32 { // Входные данные
const a: i32 = 0; // Временные данные (константа)
let mut b = 0; // Временные данные (переменная)
let node = Node::new(0); // Временные данные (объект)
let c = function(); // Пространство кадра стека (вызов функции)
return a + b + c; // Выходные данные
}
```
=== "C"
```c title=""
/* Функция */
int func() {
// Выполнить некоторые операции...
return 0;
}
int algorithm(int n) { // Входные данные
const int a = 0; // Временные данные (константа)
int b = 0; // Временные данные (переменная)
int c = func(); // Пространство кадра стека (вызов функции)
return a + b + c; // Выходные данные
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title=""
/* Класс */
class Node(var _val: Int) {
var next: Node? = null
}
/* Функция */
fun function(): Int {
// Выполнить некоторые операции...
return 0
}
fun algorithm(n: Int): Int { // Входные данные
val a = 0 // Временные данные (константа)
var b = 0 // Временные данные (переменная)
val node = Node(0) // Временные данные (объект)
val c = function() // Пространство кадра стека (вызов функции)
return a + b + c // Выходные данные
}
```
=== "Ruby"
```ruby title=""
### Класс ###
class Node
attr_accessor :val # Значение узла
attr_accessor :next # Ссылка на следующий узел
def initialize(x)
@val = x
end
end
### Функция ###
def function
# Выполнить некоторые операции...
0
end
### Алгоритм ###
def algorithm(n) # Входные данные
a = 0 # Временные данные (константа)
b = 0 # Временные данные (переменная)
node = Node.new(0) # Временные данные (объект)
c = function # Пространство кадра стека (вызов функции)
a + b + c # Выходные данные
end
```
## 2.4.2 &nbsp; Метод вывода
Метод вывода пространственной сложности в целом аналогичен выводу временной сложности: меняется только объект подсчета, с количества операций на размер используемого пространства.
В отличие от временной сложности, **обычно рассматривается только худшая пространственная сложность**. Это связано с тем, что память является жестким ограничением: необходимо гарантировать, что для любых входных данных у программы будет достаточно памяти.
Рассмотрим следующий код. Понятие худшей пространственной сложности здесь имеет два значения.
1. **Ориентир на худшие входные данные**: когда $n < 10$ , пространственная сложность равна $O(1)$ ; но когда $n > 10$ , инициализированный массив `nums` занимает $O(n)$ пространства, поэтому худшая пространственная сложность равна $O(n)$ .
2. **Ориентир на пиковое использование памяти во время выполнения**: например, до выполнения последней строки программа занимает $O(1)$ пространства. При инициализации массива `nums` она занимает $O(n)$ пространства, поэтому худшая пространственная сложность также равна $O(n)$ .
=== "Python"
```python title=""
def algorithm(n: int):
a = 0 # O(1)
b = [0] * 10000 # O(1)
if n > 10:
nums = [0] * n # O(n)
```
=== "C++"
```cpp title=""
void algorithm(int n) {
int a = 0; // O(1)
vector<int> b(10000); // O(1)
if (n > 10)
vector<int> nums(n); // O(n)
}
```
=== "Java"
```java title=""
void algorithm(int n) {
int a = 0; // O(1)
int[] b = new int[10000]; // O(1)
if (n > 10)
int[] nums = new int[n]; // O(n)
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
void Algorithm(int n) {
int a = 0; // O(1)
int[] b = new int[10000]; // O(1)
if (n > 10) {
int[] nums = new int[n]; // O(n)
}
}
```
=== "Go"
```go title=""
func algorithm(n int) {
a := 0 // O(1)
b := make([]int, 10000) // O(1)
var nums []int
if n > 10 {
nums := make([]int, n) // O(n)
}
fmt.Println(a, b, nums)
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
func algorithm(n: Int) {
let a = 0 // O(1)
let b = Array(repeating: 0, count: 10000) // O(1)
if n > 10 {
let nums = Array(repeating: 0, count: n) // O(n)
}
}
```
=== "JS"
```javascript title=""
function algorithm(n) {
const a = 0; // O(1)
const b = new Array(10000); // O(1)
if (n > 10) {
const nums = new Array(n); // O(n)
}
}
```
=== "TS"
```typescript title=""
function algorithm(n: number): void {
const a = 0; // O(1)
const b = new Array(10000); // O(1)
if (n > 10) {
const nums = new Array(n); // O(n)
}
}
```
=== "Dart"
```dart title=""
void algorithm(int n) {
int a = 0; // O(1)
List<int> b = List.filled(10000, 0); // O(1)
if (n > 10) {
List<int> nums = List.filled(n, 0); // O(n)
}
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
fn algorithm(n: i32) {
let a = 0; // O(1)
let b = [0; 10000]; // O(1)
if n > 10 {
let nums = vec![0; n as usize]; // O(n)
}
}
```
=== "C"
```c title=""
void algorithm(int n) {
int a = 0; // O(1)
int b[10000]; // O(1)
if (n > 10)
int nums[n] = {0}; // O(n)
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title=""
fun algorithm(n: Int) {
val a = 0 // O(1)
val b = IntArray(10000) // O(1)
if (n > 10) {
val nums = IntArray(n) // O(n)
}
}
```
=== "Ruby"
```ruby title=""
def algorithm(n)
a = 0 # O(1)
b = Array.new(10000) # O(1)
nums = Array.new(n) if n > 10 # O(n)
end
```
**В рекурсивных функциях необходимо учитывать пространство кадров стека**. Рассмотрим следующий код:
=== "Python"
```python title=""
def function() -> int:
# Выполнить некоторые операции
return 0
def loop(n: int):
"""Пространственная сложность цикла равна O(1)"""
for _ in range(n):
function()
def recur(n: int):
"""Пространственная сложность рекурсии равна O(n)"""
if n == 1:
return
return recur(n - 1)
```
=== "C++"
```cpp title=""
int func() {
// Выполнить некоторые операции
return 0;
}
/* Пространственная сложность цикла равна O(1) */
void loop(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
func();
}
}
/* Пространственная сложность рекурсии равна O(n) */
void recur(int n) {
if (n == 1) return;
recur(n - 1);
}
```
=== "Java"
```java title=""
int function() {
// Выполнить некоторые операции
return 0;
}
/* Пространственная сложность цикла равна O(1) */
void loop(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
function();
}
}
/* Пространственная сложность рекурсии равна O(n) */
void recur(int n) {
if (n == 1) return;
recur(n - 1);
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
int Function() {
// Выполнить некоторые операции
return 0;
}
/* Пространственная сложность цикла равна O(1) */
void Loop(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
Function();
}
}
/* Пространственная сложность рекурсии равна O(n) */
int Recur(int n) {
if (n == 1) return 1;
return Recur(n - 1);
}
```
=== "Go"
```go title=""
func function() int {
// Выполнить некоторые операции
return 0
}
/* Пространственная сложность цикла равна O(1) */
func loop(n int) {
for i := 0; i < n; i++ {
function()
}
}
/* Пространственная сложность рекурсии равна O(n) */
func recur(n int) {
if n == 1 {
return
}
recur(n - 1)
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
@discardableResult
func function() -> Int {
// Выполнить некоторые операции
return 0
}
/* Пространственная сложность цикла равна O(1) */
func loop(n: Int) {
for _ in 0 ..< n {
function()
}
}
/* Пространственная сложность рекурсии равна O(n) */
func recur(n: Int) {
if n == 1 {
return
}
recur(n: n - 1)
}
```
=== "JS"
```javascript title=""
function constFunc() {
// Выполнить некоторые операции
return 0;
}
/* Пространственная сложность цикла равна O(1) */
function loop(n) {
for (let i = 0; i < n; i++) {
constFunc();
}
}
/* Пространственная сложность рекурсии равна O(n) */
function recur(n) {
if (n === 1) return;
return recur(n - 1);
}
```
=== "TS"
```typescript title=""
function constFunc(): number {
// Выполнить некоторые операции
return 0;
}
/* Пространственная сложность цикла равна O(1) */
function loop(n: number): void {
for (let i = 0; i < n; i++) {
constFunc();
}
}
/* Пространственная сложность рекурсии равна O(n) */
function recur(n: number): void {
if (n === 1) return;
return recur(n - 1);
}
```
=== "Dart"
```dart title=""
int function() {
// Выполнить некоторые операции
return 0;
}
/* Пространственная сложность цикла равна O(1) */
void loop(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
function();
}
}
/* Пространственная сложность рекурсии равна O(n) */
void recur(int n) {
if (n == 1) return;
recur(n - 1);
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
fn function() -> i32 {
// Выполнить некоторые операции
return 0;
}
/* Пространственная сложность цикла равна O(1) */
fn loop(n: i32) {
for i in 0..n {
function();
}
}
/* Пространственная сложность рекурсии равна O(n) */
fn recur(n: i32) {
if n == 1 {
return;
}
recur(n - 1);
}
```
=== "C"
```c title=""
int func() {
// Выполнить некоторые операции
return 0;
}
/* Пространственная сложность цикла равна O(1) */
void loop(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
func();
}
}
/* Пространственная сложность рекурсии равна O(n) */
void recur(int n) {
if (n == 1) return;
recur(n - 1);
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title=""
fun function(): Int {
// Выполнить некоторые операции
return 0
}
/* Пространственная сложность цикла равна O(1) */
fun loop(n: Int) {
for (i in 0..<n) {
function()
}
}
/* Пространственная сложность рекурсии равна O(n) */
fun recur(n: Int) {
if (n == 1) return
return recur(n - 1)
}
```
=== "Ruby"
```ruby title=""
def function
# Выполнить некоторые операции
0
end
### Пространственная сложность цикла равна O(1) ###
def loop(n)
(0...n).each { function }
end
### Пространственная сложность рекурсии равна O(n) ###
def recur(n)
return if n == 1
recur(n - 1)
end
```
Функции `loop()` и `recur()` имеют временную сложность $O(n)$ , но их пространственная сложность различается.
- Функция `loop()` вызывает `function()` в цикле $n$ раз. На каждой итерации `function()` возвращается и освобождает пространство своего кадра стека, поэтому пространственная сложность по-прежнему равна $O(1)$ .
- Рекурсивная функция `recur()` во время выполнения одновременно содержит $n$ еще не завершившихся экземпляров `recur()` , поэтому занимает $O(n)$ пространства кадров стека.
## 2.4.3 &nbsp; Распространенные типы
Пусть размер входных данных равен $n$ . На рисунке 2-16 показаны распространенные типы пространственной сложности в порядке от меньшей к большей.
$$
\begin{aligned}
& O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n^2) < O(2^n) \newline
& \text{Постоянная} < \text{Логарифмическая} < \text{Линейная} < \text{Квадратичная} < \text{Экспоненциальная}
\end{aligned}
$$
![Распространенные типы пространственной сложности](space_complexity.assets/space_complexity_common_types.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> Рисунок 2-16 &nbsp; Распространенные типы пространственной сложности </p>
### 1. &nbsp; Постоянная сложность $O(1)$ {data-toc-label="1. &nbsp; Постоянная сложность"}
Постоянная сложность обычно встречается у констант, переменных и объектов, количество которых не зависит от размера входных данных $n$ .
Следует заметить, что память, занятая инициализацией переменных или вызовом функций внутри цикла, освобождается при переходе к следующей итерации, поэтому она не накапливается, и пространственная сложность по-прежнему остается $O(1)$ :
=== "Python"
```python title="space_complexity.py"
def function() -> int:
"""Функция"""
# Выполнить некоторые операции
return 0
def constant(n: int):
"""Постоянная сложность"""
# Константы, переменные и объекты занимают O(1) памяти
a = 0
nums = [0] * 10000
node = ListNode(0)
# Переменные в цикле занимают O(1) памяти
for _ in range(n):
c = 0
# Функции в цикле занимают O(1) памяти
for _ in range(n):
function()
```
=== "C++"
```cpp title="space_complexity.cpp"
/* Функция */
int func() {
// Выполнить некоторые операции
return 0;
}
/* Постоянная сложность */
void constant(int n) {
// Константы, переменные и объекты занимают O(1) памяти
const int a = 0;
int b = 0;
vector<int> nums(10000);
ListNode node(0);
// Переменные в цикле занимают O(1) памяти
for (int i = 0; i < n; i++) {
int c = 0;
}
// Функции в цикле занимают O(1) памяти
for (int i = 0; i < n; i++) {
func();
}
}
```
=== "Java"
```java title="space_complexity.java"
/* Функция */
int function() {
// Выполнить некоторые операции
return 0;
}
/* Постоянная сложность */
void constant(int n) {
// Константы, переменные и объекты занимают O(1) памяти
final int a = 0;
int b = 0;
int[] nums = new int[10000];
ListNode node = new ListNode(0);
// Переменные в цикле занимают O(1) памяти
for (int i = 0; i < n; i++) {
int c = 0;
}
// Функции в цикле занимают O(1) памяти
for (int i = 0; i < n; i++) {
function();
}
}
```
=== "C#"
```csharp title="space_complexity.cs"
/* Функция */
int Function() {
// Выполнить некоторые операции
return 0;
}
/* Постоянная сложность */
void Constant(int n) {
// Константы, переменные и объекты занимают O(1) памяти
int a = 0;
int b = 0;
int[] nums = new int[10000];
ListNode node = new(0);
// Переменные в цикле занимают O(1) памяти
for (int i = 0; i < n; i++) {
int c = 0;
}
// Функции в цикле занимают O(1) памяти
for (int i = 0; i < n; i++) {
Function();
}
}
```
=== "Go"
```go title="space_complexity.go"
/* Функция */
func function() int {
// Выполнить некоторые операции...
return 0
}
/* Постоянная сложность */
func spaceConstant(n int) {
// Константы, переменные и объекты занимают O(1) памяти
const a = 0
b := 0
nums := make([]int, 10000)
node := newNode(0)
// Переменные в цикле занимают O(1) памяти
var c int
for i := 0; i < n; i++ {
c = 0
}
// Функции в цикле занимают O(1) памяти
for i := 0; i < n; i++ {
function()
}
b += 0
c += 0
nums[0] = 0
node.val = 0
}
```
=== "Swift"
```swift title="space_complexity.swift"
/* Функция */
@discardableResult
func function() -> Int {
// Выполнить некоторые операции
return 0
}
/* Постоянная сложность */
func constant(n: Int) {
// Константы, переменные и объекты занимают O(1) памяти
let a = 0
var b = 0
let nums = Array(repeating: 0, count: 10000)
let node = ListNode(x: 0)
// Переменные в цикле занимают O(1) памяти
for _ in 0 ..< n {
let c = 0
}
// Функции в цикле занимают O(1) памяти
for _ in 0 ..< n {
function()
}
}
```
=== "JS"
```javascript title="space_complexity.js"
/* Функция */
function constFunc() {
// Выполнить некоторые операции
return 0;
}
/* Постоянная сложность */
function constant(n) {
// Константы, переменные и объекты занимают O(1) памяти
const a = 0;
const b = 0;
const nums = new Array(10000);
const node = new ListNode(0);
// Переменные в цикле занимают O(1) памяти
for (let i = 0; i < n; i++) {
const c = 0;
}
// Функции в цикле занимают O(1) памяти
for (let i = 0; i < n; i++) {
constFunc();
}
}
```
=== "TS"
```typescript title="space_complexity.ts"
/* Функция */
function constFunc(): number {
// Выполнить некоторые операции
return 0;
}
/* Постоянная сложность */
function constant(n: number): void {
// Константы, переменные и объекты занимают O(1) памяти
const a = 0;
const b = 0;
const nums = new Array(10000);
const node = new ListNode(0);
// Переменные в цикле занимают O(1) памяти
for (let i = 0; i < n; i++) {
const c = 0;
}
// Функции в цикле занимают O(1) памяти
for (let i = 0; i < n; i++) {
constFunc();
}
}
```
=== "Dart"
```dart title="space_complexity.dart"
/* Функция */
int function() {
// Выполнить некоторые операции
return 0;
}
/* Постоянная сложность */
void constant(int n) {
// Константы, переменные и объекты занимают O(1) памяти
final int a = 0;
int b = 0;
List<int> nums = List.filled(10000, 0);
ListNode node = ListNode(0);
// Переменные в цикле занимают O(1) памяти
for (var i = 0; i < n; i++) {
int c = 0;
}
// Функции в цикле занимают O(1) памяти
for (var i = 0; i < n; i++) {
function();
}
}
```
=== "Rust"
```rust title="space_complexity.rs"
/* Функция */
fn function() -> i32 {
// Выполнить некоторые операции
return 0;
}
/* Постоянная сложность */
#[allow(unused)]
fn constant(n: i32) {
// Константы, переменные и объекты занимают O(1) памяти
const A: i32 = 0;
let b = 0;
let nums = vec![0; 10000];
let node = ListNode::new(0);
// Переменные в цикле занимают O(1) памяти
for i in 0..n {
let c = 0;
}
// Функции в цикле занимают O(1) памяти
for i in 0..n {
function();
}
}
```
=== "C"
```c title="space_complexity.c"
/* Функция */
int func() {
// Выполнить некоторые операции
return 0;
}
/* Постоянная сложность */
void constant(int n) {
// Константы, переменные и объекты занимают O(1) памяти
const int a = 0;
int b = 0;
int nums[1000];
ListNode *node = newListNode(0);
free(node);
// Переменные в цикле занимают O(1) памяти
for (int i = 0; i < n; i++) {
int c = 0;
}
// Функции в цикле занимают O(1) памяти
for (int i = 0; i < n; i++) {
func();
}
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="space_complexity.kt"
/* Функция */
fun function(): Int {
// Выполнить некоторые операции
return 0
}
/* Постоянная сложность */
fun constant(n: Int) {
// Константы, переменные и объекты занимают O(1) памяти
val a = 0
var b = 0
val nums = Array(10000) { 0 }
val node = ListNode(0)
// Переменные в цикле занимают O(1) памяти
for (i in 0..<n) {
val c = 0
}
// Функции в цикле занимают O(1) памяти
for (i in 0..<n) {
function()
}
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="space_complexity.rb"
### Функция ###
def function
# Выполнить некоторые операции
0
end
### Постоянная сложность ###
def constant(n)
# Константы, переменные и объекты занимают O(1) памяти
a = 0
nums = [0] * 10000
node = ListNode.new
# Переменные в цикле занимают O(1) памяти
(0...n).each { c = 0 }
# Функции в цикле занимают O(1) памяти
(0...n).each { function }
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20ListNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%B0%20%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%23%20%D0%97%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%B0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.next%3A%20ListNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%D0%A1%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B0%20%D0%BD%D0%B0%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB-%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B5%D0%BC%D0%BD%D0%B8%D0%BA%0A%0Adef%20function%28%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D1%8B%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BD%D0%B5%D0%BA%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%8B%D0%B5%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8%0A%20%20%20%20return%200%0A%0Adef%20constant%28n%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%82%D1%8B%2C%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%B8%20%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%8B%20%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%8E%D1%82%20O%281%29%20%D0%BF%D0%B0%D0%BC%D1%8F%D1%82%D0%B8%0A%20%20%20%20a%20%3D%200%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%2010%0A%20%20%20%20node%20%3D%20ListNode%280%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%B2%20%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B5%20%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%8E%D1%82%20O%281%29%20%D0%BF%D0%B0%D0%BC%D1%8F%D1%82%D0%B8%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20c%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8%20%D0%B2%20%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B5%20%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%8E%D1%82%20O%281%29%20%D0%BF%D0%B0%D0%BC%D1%8F%D1%82%D0%B8%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20function%28%29%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%0A%20%20%20%20constant%28n%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20ListNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%B0%20%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%23%20%D0%97%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%B0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.next%3A%20ListNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%D0%A1%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B0%20%D0%BD%D0%B0%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB-%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B5%D0%BC%D0%BD%D0%B8%D0%BA%0A%0Adef%20function%28%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D1%8B%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BD%D0%B5%D0%BA%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%8B%D0%B5%20%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8%0A%20%20%20%20return%200%0A%0Adef%20constant%28n%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%82%D1%8B%2C%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%B8%20%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%8B%20%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%8E%D1%82%20O%281%29%20%D0%BF%D0%B0%D0%BC%D1%8F%D1%82%D0%B8%0A%20%20%20%20a%20%3D%200%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%2010%0A%20%20%20%20node%20%3D%20ListNode%280%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%B2%20%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B5%20%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%8E%D1%82%20O%281%29%20%D0%BF%D0%B0%D0%BC%D1%8F%D1%82%D0%B8%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20c%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8%20%D0%B2%20%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B5%20%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%8E%D1%82%20O%281%29%20%D0%BF%D0%B0%D0%BC%D1%8F%D1%82%D0%B8%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20function%28%29%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%0A%20%20%20%20constant%28n%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
### 2. &nbsp; Линейная сложность $O(n)$ {data-toc-label="2. &nbsp; Линейная сложность"}
Линейная сложность часто встречается у массивов, списков, стеков, очередей и других структур, число элементов в которых пропорционально $n$ :
=== "Python"
```python title="space_complexity.py"
def linear(n: int):
"""Линейная сложность"""
# Список длины n занимает O(n) памяти
nums = [0] * n
# Хеш-таблица длины n занимает O(n) памяти
hmap = dict[int, str]()
for i in range(n):
hmap[i] = str(i)
```
=== "C++"
```cpp title="space_complexity.cpp"
/* Линейная сложность */
void linear(int n) {
// Массив длины n занимает O(n) памяти
vector<int> nums(n);
// Список длины n занимает O(n) памяти
vector<ListNode> nodes;
for (int i = 0; i < n; i++) {
nodes.push_back(ListNode(i));
}
// Хеш-таблица длины n занимает O(n) памяти
unordered_map<int, string> map;
for (int i = 0; i < n; i++) {
map[i] = to_string(i);
}
}
```
=== "Java"
```java title="space_complexity.java"
/* Линейная сложность */
void linear(int n) {
// Массив длины n занимает O(n) памяти
int[] nums = new int[n];
// Список длины n занимает O(n) памяти
List<ListNode> nodes = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
nodes.add(new ListNode(i));
}
// Хеш-таблица длины n занимает O(n) памяти
Map<Integer, String> map = new HashMap<>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
map.put(i, String.valueOf(i));
}
}
```
=== "C#"
```csharp title="space_complexity.cs"
/* Линейная сложность */
void Linear(int n) {
// Массив длины n занимает O(n) памяти
int[] nums = new int[n];
// Список длины n занимает O(n) памяти
List<ListNode> nodes = [];
for (int i = 0; i < n; i++) {
nodes.Add(new ListNode(i));
}
// Хеш-таблица длины n занимает O(n) памяти
Dictionary<int, string> map = [];
for (int i = 0; i < n; i++) {
map.Add(i, i.ToString());
}
}
```
=== "Go"
```go title="space_complexity.go"
/* Линейная сложность */
func spaceLinear(n int) {
// Массив длины n занимает O(n) памяти
_ = make([]int, n)
// Список длины n занимает O(n) памяти
var nodes []*node
for i := 0; i < n; i++ {
nodes = append(nodes, newNode(i))
}
// Хеш-таблица длины n занимает O(n) памяти
m := make(map[int]string, n)
for i := 0; i < n; i++ {
m[i] = strconv.Itoa(i)
}
}
```
=== "Swift"
```swift title="space_complexity.swift"
/* Линейная сложность */
func linear(n: Int) {
// Массив длины n занимает O(n) памяти
let nums = Array(repeating: 0, count: n)
// Список длины n занимает O(n) памяти
let nodes = (0 ..< n).map { ListNode(x: $0) }
// Хеш-таблица длины n занимает O(n) памяти
let map = Dictionary(uniqueKeysWithValues: (0 ..< n).map { ($0, "\($0)") })
}
```
=== "JS"
```javascript title="space_complexity.js"
/* Линейная сложность */
function linear(n) {
// Массив длины n занимает O(n) памяти
const nums = new Array(n);
// Список длины n занимает O(n) памяти
const nodes = [];
for (let i = 0; i < n; i++) {
nodes.push(new ListNode(i));
}
// Хеш-таблица длины n занимает O(n) памяти
const map = new Map();
for (let i = 0; i < n; i++) {
map.set(i, i.toString());
}
}
```
=== "TS"
```typescript title="space_complexity.ts"
/* Линейная сложность */
function linear(n: number): void {
// Массив длины n занимает O(n) памяти
const nums = new Array(n);
// Список длины n занимает O(n) памяти
const nodes: ListNode[] = [];
for (let i = 0; i < n; i++) {
nodes.push(new ListNode(i));
}
// Хеш-таблица длины n занимает O(n) памяти
const map = new Map();
for (let i = 0; i < n; i++) {
map.set(i, i.toString());
}
}
```
=== "Dart"
```dart title="space_complexity.dart"
/* Линейная сложность */
void linear(int n) {
// Массив длины n занимает O(n) памяти
List<int> nums = List.filled(n, 0);
// Список длины n занимает O(n) памяти
List<ListNode> nodes = [];
for (var i = 0; i < n; i++) {
nodes.add(ListNode(i));
}
// Хеш-таблица длины n занимает O(n) памяти
Map<int, String> map = HashMap();
for (var i = 0; i < n; i++) {
map.putIfAbsent(i, () => i.toString());
}
}
```
=== "Rust"
```rust title="space_complexity.rs"
/* Линейная сложность */
#[allow(unused)]
fn linear(n: i32) {
// Массив длины n занимает O(n) памяти
let mut nums = vec![0; n as usize];
// Список длины n занимает O(n) памяти
let mut nodes = Vec::new();
for i in 0..n {
nodes.push(ListNode::new(i))
}
// Хеш-таблица длины n занимает O(n) памяти
let mut map = HashMap::new();
for i in 0..n {
map.insert(i, i.to_string());
}
}
```
=== "C"
```c title="space_complexity.c"
/* Хеш-таблица */
typedef struct {
int key;
int val;
UT_hash_handle hh; // Реализовано на основе uthash.h
} HashTable;
/* Линейная сложность */
void linear(int n) {
// Массив длины n занимает O(n) памяти
int *nums = malloc(sizeof(int) * n);
free(nums);
// Список длины n занимает O(n) памяти
ListNode **nodes = malloc(sizeof(ListNode *) * n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
nodes[i] = newListNode(i);
}
// Освобождение памяти
for (int i = 0; i < n; i++) {
free(nodes[i]);
}
free(nodes);
// Хеш-таблица длины n занимает O(n) памяти
HashTable *h = NULL;
for (int i = 0; i < n; i++) {
HashTable *tmp = malloc(sizeof(HashTable));
tmp->key = i;
tmp->val = i;
HASH_ADD_INT(h, key, tmp);
}
// Освобождение памяти
HashTable *curr, *tmp;
HASH_ITER(hh, h, curr, tmp) {
HASH_DEL(h, curr);
free(curr);
}
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="space_complexity.kt"
/* Линейная сложность */
fun linear(n: Int) {
// Массив длины n занимает O(n) памяти
val nums = Array(n) { 0 }
// Список длины n занимает O(n) памяти
val nodes = mutableListOf<ListNode>()
for (i in 0..<n) {
nodes.add(ListNode(i))
}
// Хеш-таблица длины n занимает O(n) памяти
val map = mutableMapOf<Int, String>()
for (i in 0..<n) {
map[i] = i.toString()
}
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="space_complexity.rb"
### Линейная сложность ###
def linear(n)
# Список длины n занимает O(n) памяти
nums = Array.new(n, 0)
# Хеш-таблица длины n занимает O(n) памяти
hmap = {}
for i in 0...n
hmap[i] = i.to_s
end
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 477px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20linear%28n%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A1%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%BE%D0%BA%20%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D1%8B%20n%20%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%B5%D1%82%20O%28n%29%20%D0%BF%D0%B0%D0%BC%D1%8F%D1%82%D0%B8%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%20n%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A5%D0%B5%D1%88-%D1%82%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D0%B0%20%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D1%8B%20n%20%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%B5%D1%82%20O%28n%29%20%D0%BF%D0%B0%D0%BC%D1%8F%D1%82%D0%B8%0A%20%20%20%20hmap%20%3D%20dict%5Bint%2C%20str%5D%28%29%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hmap%5Bi%5D%20%3D%20str%28i%29%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%0A%20%20%20%20linear%28n%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=20&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20linear%28n%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A1%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%BE%D0%BA%20%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D1%8B%20n%20%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%B5%D1%82%20O%28n%29%20%D0%BF%D0%B0%D0%BC%D1%8F%D1%82%D0%B8%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%20n%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A5%D0%B5%D1%88-%D1%82%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D0%B0%20%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D1%8B%20n%20%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%B5%D1%82%20O%28n%29%20%D0%BF%D0%B0%D0%BC%D1%8F%D1%82%D0%B8%0A%20%20%20%20hmap%20%3D%20dict%5Bint%2C%20str%5D%28%29%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hmap%5Bi%5D%20%3D%20str%28i%29%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%0A%20%20%20%20linear%28n%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=20&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
Как показано на рисунке 2-17, глубина рекурсии этой функции равна $n$ , то есть одновременно существует $n$ еще не завершившихся функций `linear_recur()` , которые используют $O(n)$ пространства кадров стека:
=== "Python"
```python title="space_complexity.py"
def linear_recur(n: int):
"""Линейная сложность (рекурсивная реализация)"""
print("Рекурсия n =", n)
if n == 1:
return
linear_recur(n - 1)
```
=== "C++"
```cpp title="space_complexity.cpp"
/* Линейная сложность (рекурсивная реализация) */
void linearRecur(int n) {
cout << "Рекурсия n = " << n << endl;
if (n == 1)
return;
linearRecur(n - 1);
}
```
=== "Java"
```java title="space_complexity.java"
/* Линейная сложность (рекурсивная реализация) */
void linearRecur(int n) {
System.out.println("Рекурсия n = " + n);
if (n == 1)
return;
linearRecur(n - 1);
}
```
=== "C#"
```csharp title="space_complexity.cs"
/* Линейная сложность (рекурсивная реализация) */
void LinearRecur(int n) {
Console.WriteLine("Рекурсия n = " + n);
if (n == 1) return;
LinearRecur(n - 1);
}
```
=== "Go"
```go title="space_complexity.go"
/* Линейная сложность (рекурсивная реализация) */
func spaceLinearRecur(n int) {
fmt.Println("Рекурсия n =", n)
if n == 1 {
return
}
spaceLinearRecur(n - 1)
}
```
=== "Swift"
```swift title="space_complexity.swift"
/* Линейная сложность (рекурсивная реализация) */
func linearRecur(n: Int) {
print("Рекурсия n = \(n)")
if n == 1 {
return
}
linearRecur(n: n - 1)
}
```
=== "JS"
```javascript title="space_complexity.js"
/* Линейная сложность (рекурсивная реализация) */
function linearRecur(n) {
console.log(`Рекурсия n = ${n}`);
if (n === 1) return;
linearRecur(n - 1);
}
```
=== "TS"
```typescript title="space_complexity.ts"
/* Линейная сложность (рекурсивная реализация) */
function linearRecur(n: number): void {
console.log(`Рекурсия n = ${n}`);
if (n === 1) return;
linearRecur(n - 1);
}
```
=== "Dart"
```dart title="space_complexity.dart"
/* Линейная сложность (рекурсивная реализация) */
void linearRecur(int n) {
print('Рекурсия n = $n');
if (n == 1) return;
linearRecur(n - 1);
}
```
=== "Rust"
```rust title="space_complexity.rs"
/* Линейная сложность (рекурсивная реализация) */
fn linear_recur(n: i32) {
println!("Рекурсия n = {}", n);
if n == 1 {
return;
};
linear_recur(n - 1);
}
```
=== "C"
```c title="space_complexity.c"
/* Линейная сложность (рекурсивная реализация) */
void linearRecur(int n) {
printf("Рекурсия n = %d\r\n", n);
if (n == 1)
return;
linearRecur(n - 1);
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="space_complexity.kt"
/* Линейная сложность (рекурсивная реализация) */
fun linearRecur(n: Int) {
println("Рекурсия n = $n")
if (n == 1)
return
linearRecur(n - 1)
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="space_complexity.rb"
### Линейная сложность ###
def linear(n)
# Список длины n занимает O(n) памяти
nums = Array.new(n, 0)
# Хеш-таблица длины n занимает O(n) памяти
hmap = {}
for i in 0...n
hmap[i] = i.to_s
end
end
# ## Линейная сложность (рекурсивная реализация) ###
def linear_recur(n)
puts "Рекурсия n = #{n}"
return if n == 1
linear_recur(n - 1)
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 441px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20linear_recur%28n%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%28%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%22%22%22%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D1%8F%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20linear_recur%28n%20-%201%29%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%0A%20%20%20%20linear_recur%28n%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=25&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20linear_recur%28n%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%28%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%22%22%22%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D1%8F%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20linear_recur%28n%20-%201%29%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%0A%20%20%20%20linear_recur%28n%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=25&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
![Линейная пространственная сложность, порождаемая рекурсивной функцией](space_complexity.assets/space_complexity_recursive_linear.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> Рисунок 2-17 &nbsp; Линейная пространственная сложность, порождаемая рекурсивной функцией </p>
### 3. &nbsp; Квадратичная сложность $O(n^2)$ {data-toc-label="3. &nbsp; Квадратичная сложность"}
Квадратичная сложность часто встречается у матриц и графов, где число элементов связано с $n$ квадратичной зависимостью:
=== "Python"
```python title="space_complexity.py"
def quadratic(n: int):
"""Квадратичная сложность"""
# Двумерный список занимает O(n^2) памяти
num_matrix = [[0] * n for _ in range(n)]
```
=== "C++"
```cpp title="space_complexity.cpp"
/* Квадратичная сложность */
void quadratic(int n) {
// Двумерный список занимает O(n^2) памяти
vector<vector<int>> numMatrix;
for (int i = 0; i < n; i++) {
vector<int> tmp;
for (int j = 0; j < n; j++) {
tmp.push_back(0);
}
numMatrix.push_back(tmp);
}
}
```
=== "Java"
```java title="space_complexity.java"
/* Квадратичная сложность */
void quadratic(int n) {
// Матрица занимает O(n^2) памяти
int[][] numMatrix = new int[n][n];
// Двумерный список занимает O(n^2) памяти
List<List<Integer>> numList = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
List<Integer> tmp = new ArrayList<>();
for (int j = 0; j < n; j++) {
tmp.add(0);
}
numList.add(tmp);
}
}
```
=== "C#"
```csharp title="space_complexity.cs"
/* Квадратичная сложность */
void Quadratic(int n) {
// Матрица занимает O(n^2) памяти
int[,] numMatrix = new int[n, n];
// Двумерный список занимает O(n^2) памяти
List<List<int>> numList = [];
for (int i = 0; i < n; i++) {
List<int> tmp = [];
for (int j = 0; j < n; j++) {
tmp.Add(0);
}
numList.Add(tmp);
}
}
```
=== "Go"
```go title="space_complexity.go"
/* Квадратичная сложность */
func spaceQuadratic(n int) {
// Матрица занимает O(n^2) памяти
numMatrix := make([][]int, n)
for i := 0; i < n; i++ {
numMatrix[i] = make([]int, n)
}
}
```
=== "Swift"
```swift title="space_complexity.swift"
/* Квадратичная сложность */
func quadratic(n: Int) {
// Двумерный список занимает O(n^2) памяти
let numList = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: n), count: n)
}
```
=== "JS"
```javascript title="space_complexity.js"
/* Квадратичная сложность */
function quadratic(n) {
// Матрица занимает O(n^2) памяти
const numMatrix = Array(n)
.fill(null)
.map(() => Array(n).fill(null));
// Двумерный список занимает O(n^2) памяти
const numList = [];
for (let i = 0; i < n; i++) {
const tmp = [];
for (let j = 0; j < n; j++) {
tmp.push(0);
}
numList.push(tmp);
}
}
```
=== "TS"
```typescript title="space_complexity.ts"
/* Квадратичная сложность */
function quadratic(n: number): void {
// Матрица занимает O(n^2) памяти
const numMatrix = Array(n)
.fill(null)
.map(() => Array(n).fill(null));
// Двумерный список занимает O(n^2) памяти
const numList = [];
for (let i = 0; i < n; i++) {
const tmp = [];
for (let j = 0; j < n; j++) {
tmp.push(0);
}
numList.push(tmp);
}
}
```
=== "Dart"
```dart title="space_complexity.dart"
/* Квадратичная сложность */
void quadratic(int n) {
// Матрица занимает O(n^2) памяти
List<List<int>> numMatrix = List.generate(n, (_) => List.filled(n, 0));
// Двумерный список занимает O(n^2) памяти
List<List<int>> numList = [];
for (var i = 0; i < n; i++) {
List<int> tmp = [];
for (int j = 0; j < n; j++) {
tmp.add(0);
}
numList.add(tmp);
}
}
```
=== "Rust"
```rust title="space_complexity.rs"
/* Квадратичная сложность */
#[allow(unused)]
fn quadratic(n: i32) {
// Матрица занимает O(n^2) памяти
let num_matrix = vec![vec![0; n as usize]; n as usize];
// Двумерный список занимает O(n^2) памяти
let mut num_list = Vec::new();
for i in 0..n {
let mut tmp = Vec::new();
for j in 0..n {
tmp.push(0);
}
num_list.push(tmp);
}
}
```
=== "C"
```c title="space_complexity.c"
/* Квадратичная сложность */
void quadratic(int n) {
// Двумерный список занимает O(n^2) памяти
int **numMatrix = malloc(sizeof(int *) * n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
int *tmp = malloc(sizeof(int) * n);
for (int j = 0; j < n; j++) {
tmp[j] = 0;
}
numMatrix[i] = tmp;
}
// Освобождение памяти
for (int i = 0; i < n; i++) {
free(numMatrix[i]);
}
free(numMatrix);
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="space_complexity.kt"
/* Квадратичная сложность */
fun quadratic(n: Int) {
// Матрица занимает O(n^2) памяти
val numMatrix = arrayOfNulls<Array<Int>?>(n)
// Двумерный список занимает O(n^2) памяти
val numList = mutableListOf<MutableList<Int>>()
for (i in 0..<n) {
val tmp = mutableListOf<Int>()
for (j in 0..<n) {
tmp.add(0)
}
numList.add(tmp)
}
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="space_complexity.rb"
### Квадратичная сложность ###
def quadratic(n)
# Двумерный список занимает O(n^2) памяти
Array.new(n) { Array.new(n, 0) }
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 405px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20quadratic%28n%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%94%D0%B2%D1%83%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%BE%D0%BA%20%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%B5%D1%82%20O%28n%5E2%29%20%D0%BF%D0%B0%D0%BC%D1%8F%D1%82%D0%B8%0A%20%20%20%20num_matrix%20%3D%20%5B%5B0%5D%20%2A%20n%20for%20_%20in%20range%28n%29%5D%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%0A%20%20%20%20quadratic%28n%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=16&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20quadratic%28n%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%94%D0%B2%D1%83%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%BE%D0%BA%20%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%B5%D1%82%20O%28n%5E2%29%20%D0%BF%D0%B0%D0%BC%D1%8F%D1%82%D0%B8%0A%20%20%20%20num_matrix%20%3D%20%5B%5B0%5D%20%2A%20n%20for%20_%20in%20range%28n%29%5D%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%0A%20%20%20%20quadratic%28n%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=16&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
Как показано на рисунке 2-18, глубина рекурсии этой функции равна $n$ , и в каждой рекурсивной функции инициализируется массив длины $n$ , $n-1$ , $\dots$ , $2$ , $1$. Его средняя длина равна $n / 2$ , поэтому в сумме используется $O(n^2)$ пространства:
=== "Python"
```python title="space_complexity.py"
def quadratic_recur(n: int) -> int:
"""Квадратичная сложность (рекурсивная реализация)"""
if n <= 0:
return 0
# Длина массива nums равна n, n-1, ..., 2, 1
nums = [0] * n
return quadratic_recur(n - 1)
```
=== "C++"
```cpp title="space_complexity.cpp"
/* Квадратичная сложность (рекурсивная реализация) */
int quadraticRecur(int n) {
if (n <= 0)
return 0;
vector<int> nums(n);
cout << "Рекурсия n = " << n << " , длина nums = " << nums.size() << endl;
return quadraticRecur(n - 1);
}
```
=== "Java"
```java title="space_complexity.java"
/* Квадратичная сложность (рекурсивная реализация) */
int quadraticRecur(int n) {
if (n <= 0)
return 0;
// Длина массива nums равна n, n-1, ..., 2, 1
int[] nums = new int[n];
System.out.println("В рекурсии n = " + n + ", длина nums = " + nums.length);
return quadraticRecur(n - 1);
}
```
=== "C#"
```csharp title="space_complexity.cs"
/* Квадратичная сложность (рекурсивная реализация) */
int QuadraticRecur(int n) {
if (n <= 0) return 0;
int[] nums = new int[n];
Console.WriteLine("В рекурсии n = " + n + ", длина nums = " + nums.Length);
return QuadraticRecur(n - 1);
}
```
=== "Go"
```go title="space_complexity.go"
/* Квадратичная сложность (рекурсивная реализация) */
func spaceQuadraticRecur(n int) int {
if n <= 0 {
return 0
}
nums := make([]int, n)
fmt.Printf("В рекурсии n = %d, длина nums = %d\n", n, len(nums))
return spaceQuadraticRecur(n - 1)
}
```
=== "Swift"
```swift title="space_complexity.swift"
/* Квадратичная сложность (рекурсивная реализация) */
@discardableResult
func quadraticRecur(n: Int) -> Int {
if n <= 0 {
return 0
}
// Длина массива nums равна n, n-1, ..., 2, 1
let nums = Array(repeating: 0, count: n)
print("В рекурсии n = \(n), длина nums = \(nums.count)")
return quadraticRecur(n: n - 1)
}
```
=== "JS"
```javascript title="space_complexity.js"
/* Квадратичная сложность (рекурсивная реализация) */
function quadraticRecur(n) {
if (n <= 0) return 0;
const nums = new Array(n);
console.log(`В рекурсии n = ${n} длина nums = ${nums.length}`);
return quadraticRecur(n - 1);
}
```
=== "TS"
```typescript title="space_complexity.ts"
/* Квадратичная сложность (рекурсивная реализация) */
function quadraticRecur(n: number): number {
if (n <= 0) return 0;
const nums = new Array(n);
console.log(`В рекурсии n = ${n} длина nums = ${nums.length}`);
return quadraticRecur(n - 1);
}
```
=== "Dart"
```dart title="space_complexity.dart"
/* Квадратичная сложность (рекурсивная реализация) */
int quadraticRecur(int n) {
if (n <= 0) return 0;
List<int> nums = List.filled(n, 0);
print('В рекурсии n = $n длина nums = ${nums.length}');
return quadraticRecur(n - 1);
}
```
=== "Rust"
```rust title="space_complexity.rs"
/* Квадратичная сложность (рекурсивная реализация) */
fn quadratic_recur(n: i32) -> i32 {
if n <= 0 {
return 0;
};
// Длина массива nums равна n, n-1, ..., 2, 1
let nums = vec![0; n as usize];
println!("В рекурсии n = {} , длина nums = {}", n, nums.len());
return quadratic_recur(n - 1);
}
```
=== "C"
```c title="space_complexity.c"
/* Квадратичная сложность (рекурсивная реализация) */
int quadraticRecur(int n) {
if (n <= 0)
return 0;
int *nums = malloc(sizeof(int) * n);
printf("Рекурсия n = %d, длина nums = %d\r\n", n, n);
int res = quadraticRecur(n - 1);
free(nums);
return res;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="space_complexity.kt"
/* Квадратичная сложность (рекурсивная реализация) */
tailrec fun quadraticRecur(n: Int): Int {
if (n <= 0)
return 0
// Длина массива nums равна n, n-1, ..., 2, 1
val nums = Array(n) { 0 }
println("В рекурсии n = $n длина nums = ${nums.size}")
return quadraticRecur(n - 1)
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="space_complexity.rb"
### Квадратичная сложность ###
def quadratic(n)
# Двумерный список занимает O(n^2) памяти
Array.new(n) { Array.new(n, 0) }
end
# ## Квадратичная сложность (рекурсивная реализация) ###
def quadratic_recur(n)
return 0 unless n > 0
# Длина массива nums равна n, n-1, ..., 2, 1
nums = Array.new(n, 0)
quadratic_recur(n - 1)
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 459px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20quadratic_recur%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%28%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20%23%20%D0%94%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0%20nums%20%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%20n%2C%20n-1%2C%20...%2C%202%2C%201%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%20n%0A%20%20%20%20return%20quadratic_recur%28n%20-%201%29%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%0A%20%20%20%20quadratic_recur%28n%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=28&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20quadratic_recur%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%28%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%29%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20%23%20%D0%94%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0%20nums%20%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%20n%2C%20n-1%2C%20...%2C%202%2C%201%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%20n%0A%20%20%20%20return%20quadratic_recur%28n%20-%201%29%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%0A%20%20%20%20quadratic_recur%28n%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=28&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
![Квадратичная пространственная сложность, порождаемая рекурсивной функцией](space_complexity.assets/space_complexity_recursive_quadratic.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> Рисунок 2-18 &nbsp; Квадратичная пространственная сложность, порождаемая рекурсивной функцией </p>
### 4. &nbsp; Экспоненциальная сложность $O(2^n)$ {data-toc-label="4. &nbsp; Экспоненциальная сложность"}
Экспоненциальная сложность часто встречается у бинарных деревьев. Как видно на рисунке 2-19, полное бинарное дерево с $n$ уровнями содержит $2^n - 1$ узлов и занимает $O(2^n)$ пространства:
=== "Python"
```python title="space_complexity.py"
def build_tree(n: int) -> TreeNode | None:
"""Экспоненциальная сложность (построение полного двоичного дерева)"""
if n == 0:
return None
root = TreeNode(0)
root.left = build_tree(n - 1)
root.right = build_tree(n - 1)
return root
```
=== "C++"
```cpp title="space_complexity.cpp"
/* Экспоненциальная сложность (построение полного двоичного дерева) */
TreeNode *buildTree(int n) {
if (n == 0)
return nullptr;
TreeNode *root = new TreeNode(0);
root->left = buildTree(n - 1);
root->right = buildTree(n - 1);
return root;
}
```
=== "Java"
```java title="space_complexity.java"
/* Экспоненциальная сложность (построение полного двоичного дерева) */
TreeNode buildTree(int n) {
if (n == 0)
return null;
TreeNode root = new TreeNode(0);
root.left = buildTree(n - 1);
root.right = buildTree(n - 1);
return root;
}
```
=== "C#"
```csharp title="space_complexity.cs"
/* Экспоненциальная сложность (построение полного двоичного дерева) */
TreeNode? BuildTree(int n) {
if (n == 0) return null;
TreeNode root = new(0) {
left = BuildTree(n - 1),
right = BuildTree(n - 1)
};
return root;
}
```
=== "Go"
```go title="space_complexity.go"
/* Экспоненциальная сложность (построение полного двоичного дерева) */
func buildTree(n int) *TreeNode {
if n == 0 {
return nil
}
root := NewTreeNode(0)
root.Left = buildTree(n - 1)
root.Right = buildTree(n - 1)
return root
}
```
=== "Swift"
```swift title="space_complexity.swift"
/* Экспоненциальная сложность (построение полного двоичного дерева) */
func buildTree(n: Int) -> TreeNode? {
if n == 0 {
return nil
}
let root = TreeNode(x: 0)
root.left = buildTree(n: n - 1)
root.right = buildTree(n: n - 1)
return root
}
```
=== "JS"
```javascript title="space_complexity.js"
/* Экспоненциальная сложность (построение полного двоичного дерева) */
function buildTree(n) {
if (n === 0) return null;
const root = new TreeNode(0);
root.left = buildTree(n - 1);
root.right = buildTree(n - 1);
return root;
}
```
=== "TS"
```typescript title="space_complexity.ts"
/* Экспоненциальная сложность (построение полного двоичного дерева) */
function buildTree(n: number): TreeNode | null {
if (n === 0) return null;
const root = new TreeNode(0);
root.left = buildTree(n - 1);
root.right = buildTree(n - 1);
return root;
}
```
=== "Dart"
```dart title="space_complexity.dart"
/* Экспоненциальная сложность (построение полного двоичного дерева) */
TreeNode? buildTree(int n) {
if (n == 0) return null;
TreeNode root = TreeNode(0);
root.left = buildTree(n - 1);
root.right = buildTree(n - 1);
return root;
}
```
=== "Rust"
```rust title="space_complexity.rs"
/* Экспоненциальная сложность (построение полного двоичного дерева) */
fn build_tree(n: i32) -> Option<Rc<RefCell<TreeNode>>> {
if n == 0 {
return None;
};
let root = TreeNode::new(0);
root.borrow_mut().left = build_tree(n - 1);
root.borrow_mut().right = build_tree(n - 1);
return Some(root);
}
```
=== "C"
```c title="space_complexity.c"
/* Экспоненциальная сложность (построение полного двоичного дерева) */
TreeNode *buildTree(int n) {
if (n == 0)
return NULL;
TreeNode *root = newTreeNode(0);
root->left = buildTree(n - 1);
root->right = buildTree(n - 1);
return root;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="space_complexity.kt"
/* Экспоненциальная сложность (построение полного двоичного дерева) */
fun buildTree(n: Int): TreeNode? {
if (n == 0)
return null
val root = TreeNode(0)
root.left = buildTree(n - 1)
root.right = buildTree(n - 1)
return root
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="space_complexity.rb"
### Квадратичная сложность ###
def quadratic(n)
# Двумерный список занимает O(n^2) памяти
Array.new(n) { Array.new(n, 0) }
end
# ## Квадратичная сложность (рекурсивная реализация) ###
def quadratic_recur(n)
return 0 unless n > 0
# Длина массива nums равна n, n-1, ..., 2, 1
nums = Array.new(n, 0)
quadratic_recur(n - 1)
end
# ## Экспоненциальная сложность (построение полного двоичного дерева) ###
def build_tree(n)
return if n == 0
TreeNode.new.tap do |root|
root.left = build_tree(n - 1)
root.right = build_tree(n - 1)
end
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%B0%20%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B0%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20val%3A%20int%20%3D%200%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%23%20%D0%97%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%B0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%D0%A1%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B0%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D0%B9%20%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%D0%A1%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B0%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D1%8B%D0%B9%20%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB%0A%0Adef%20build_tree%28n%3A%20int%29%20-%3E%20TreeNode%20%7C%20None%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%28%D0%BF%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B0%29%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20None%0A%20%20%20%20root%20%3D%20TreeNode%280%29%0A%20%20%20%20root.left%20%3D%20build_tree%28n%20-%201%29%0A%20%20%20%20root.right%20%3D%20build_tree%28n%20-%201%29%0A%20%20%20%20return%20root%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%0A%20%20%20%20root%20%3D%20build_tree%28n%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=507&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%B0%20%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B0%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20val%3A%20int%20%3D%200%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%23%20%D0%97%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%B0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%D0%A1%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B0%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D0%B9%20%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%D0%A1%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B0%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D1%8B%D0%B9%20%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BB%0A%0Adef%20build_tree%28n%3A%20int%29%20-%3E%20TreeNode%20%7C%20None%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%28%D0%BF%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B0%29%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20None%0A%20%20%20%20root%20%3D%20TreeNode%280%29%0A%20%20%20%20root.left%20%3D%20build_tree%28n%20-%201%29%0A%20%20%20%20root.right%20%3D%20build_tree%28n%20-%201%29%0A%20%20%20%20return%20root%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20print%28%22%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20n%20%3D%22%2C%20n%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%0A%20%20%20%20root%20%3D%20build_tree%28n%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=507&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
![Экспоненциальная пространственная сложность, порождаемая полным бинарным деревом](space_complexity.assets/space_complexity_exponential.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> Рисунок 2-19 &nbsp; Экспоненциальная пространственная сложность, порождаемая полным бинарным деревом </p>
### 5. &nbsp; Логарифмическая сложность $O(\log n)$ {data-toc-label="5. &nbsp; Логарифмическая сложность"}
Логарифмическая сложность часто встречается в алгоритмах «разделяй и властвуй». Например, при сортировке слиянием входной массив длины $n$ на каждом шаге рекурсии делится пополам, образуя рекурсивное дерево высоты $\log n$ и используя $O(\log n)$ пространства кадров стека.
Еще один пример - преобразование числа в строку. Если задано положительное целое число $n$ , то количество его цифр равно $\lfloor \log_{10} n \rfloor + 1$ , то есть длина соответствующей строки тоже равна $\lfloor \log_{10} n \rfloor + 1$ , следовательно, пространственная сложность составляет $O(\log_{10} n + 1) = O(\log n)$ .
## 2.4.4 &nbsp; Компромисс между временем и пространством
В идеальных условиях хотелось бы, чтобы и временная, и пространственная сложность алгоритма были оптимальными. Однако на практике одновременно оптимизировать и время, и память обычно очень трудно.
**Снижение временной сложности обычно достигается ценой увеличения пространственной сложности, и наоборот**. Подход, при котором жертвуют памятью ради ускорения работы алгоритма, называется обменом пространства на время. Обратный подход называется обменом времени на пространство.
Выбор между этими двумя идеями зависит от того, что важнее в конкретной задаче. В большинстве случаев время ценнее памяти, поэтому стратегия обмена пространства на время используется чаще. Но при очень больших объемах данных контроль пространственной сложности тоже становится крайне важным.
Reference in New Issue View Git Blame Copy Permalink