xinyin025/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2026-07-03 11:04:26 +00:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity
Files
cb5235bc3f6fc04511b7bb99e2ef2f414cfc80d2
hello-algo/ru/docs/chapter_graph/graph_traversal.md
T
krahets e53a7f2498 build
2026-04-14 18:06:14 +08:00

996 lines
67 KiB
Markdown
Raw Blame History

---
comments: true
---
# 9.3   Обход графа
Дерево представляет отношение «один ко многим», тогда как граф обладает большей свободой и может выражать произвольные отношения «многие ко многим». Поэтому дерево можно рассматривать как частный случай графа. Очевидно, что **операции обхода дерева также являются частным случаем операций обхода графа**.
И графы, и деревья требуют применения алгоритмов обхода. Способы обхода графа также делятся на два типа: <u>обход в ширину</u> и <u>обход в глубину</u>.
## 9.3.1 &nbsp; Обход в ширину
**Обход в ширину - это способ обхода от ближнего к дальнему, при котором начиная с некоторого узла сначала посещают ближайшие вершины, а затем слой за слоем расширяются наружу**. Как показано на рисунке 9-9, начиная с вершины в левом верхнем углу, мы сначала обходим все смежные вершины этой вершины, затем все смежные вершины следующей вершины и так далее, пока не будут посещены все вершины.
![Обход графа в ширину](graph_traversal.assets/graph_bfs.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> Рисунок 9-9 &nbsp; Обход графа в ширину </p>
### 1. &nbsp; Реализация алгоритма
BFS обычно реализуется с помощью очереди, код приведен ниже. Очередь обладает свойством «первым пришел - первым вышел», что хорошо соответствует идее BFS «от ближнего к дальнему».
1. Поместить стартовую вершину обхода `startVet` в очередь и запустить цикл.
2. На каждой итерации цикла извлекать вершину из головы очереди и записывать ее посещение, после чего добавлять все смежные вершины этой вершины в хвост очереди.
3. Повторять шаг `2.` до тех пор, пока не будут посещены все вершины.
Чтобы предотвратить повторный обход вершин, нам нужно хеш-множество `visited` , в котором записывается, какие вершины уже посещены.
!!! tip
Хеш-множество можно рассматривать как хеш-таблицу, которая хранит только `key` и не хранит `value` . Оно позволяет выполнять добавление, удаление и проверку наличия `key` за $O(1)$ времени. Благодаря уникальности `key` хеш-множество обычно используется, например, для устранения повторов.
=== "Python"
```python title="graph_bfs.py"
def graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
"""Обход в ширину"""
# Использовать список смежности для представления графа, чтобы получать все смежные вершины заданной вершины
# Последовательность обхода вершин
res = []
# Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
visited = set[Vertex]([start_vet])
# Очередь используется для реализации BFS
que = deque[Vertex]([start_vet])
# Начиная с вершины vet, продолжать цикл, пока не будут посещены все вершины
while len(que) > 0:
vet = que.popleft() # Извлечь головную вершину из очереди
res.append(vet) # Отметить посещенную вершину
# Обойти все смежные вершины данной вершины
for adj_vet in graph.adj_list[vet]:
if adj_vet in visited:
continue # Пропустить уже посещенную вершину
que.append(adj_vet) # Помещать в очередь только непосещенные вершины
visited.add(adj_vet) # Отметить эту вершину как посещенную
# Вернуть последовательность обхода вершин
return res
```
=== "C++"
```cpp title="graph_bfs.cpp"
/* Обход в ширину */
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получить все смежные вершины заданной вершины
vector<Vertex *> graphBFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {
// Последовательность обхода вершин
vector<Vertex *> res;
// Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
unordered_set<Vertex *> visited = {startVet};
// Очередь используется для реализации BFS
queue<Vertex *> que;
que.push(startVet);
// Начиная с вершины vet, продолжать цикл, пока не будут посещены все вершины
while (!que.empty()) {
Vertex *vet = que.front();
que.pop(); // Извлечь головную вершину из очереди
res.push_back(vet); // Отметить посещенную вершину
// Обойти все смежные вершины данной вершины
for (auto adjVet : graph.adjList[vet]) {
if (visited.count(adjVet))
continue; // Пропустить уже посещенную вершину
que.push(adjVet); // Помещать в очередь только непосещенные вершины
visited.emplace(adjVet); // Отметить эту вершину как посещенную
}
}
// Вернуть последовательность обхода вершин
return res;
}
```
=== "Java"
```java title="graph_bfs.java"
/* Обход в ширину */
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получить все смежные вершины заданной вершины
List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
// Последовательность обхода вершин
List<Vertex> res = new ArrayList<>();
// Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
visited.add(startVet);
// Очередь используется для реализации BFS
Queue<Vertex> que = new LinkedList<>();
que.offer(startVet);
// Начиная с вершины vet, продолжать цикл, пока не будут посещены все вершины
while (!que.isEmpty()) {
Vertex vet = que.poll(); // Извлечь головную вершину из очереди
res.add(vet); // Отметить посещенную вершину
// Обойти все смежные вершины данной вершины
for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.contains(adjVet))
continue; // Пропустить уже посещенную вершину
que.offer(adjVet); // Помещать в очередь только непосещенные вершины
visited.add(adjVet); // Отметить эту вершину как посещенную
}
}
// Вернуть последовательность обхода вершин
return res;
}
```
=== "C#"
```csharp title="graph_bfs.cs"
/* Обход в ширину */
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получить все смежные вершины заданной вершины
List<Vertex> GraphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
// Последовательность обхода вершин
List<Vertex> res = [];
// Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
HashSet<Vertex> visited = [startVet];
// Очередь используется для реализации BFS
Queue<Vertex> que = new();
que.Enqueue(startVet);
// Начиная с вершины vet, продолжать цикл, пока не будут посещены все вершины
while (que.Count > 0) {
Vertex vet = que.Dequeue(); // Извлечь головную вершину из очереди
res.Add(vet); // Отметить посещенную вершину
foreach (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]) {
if (visited.Contains(adjVet)) {
continue; // Пропустить уже посещенную вершину
}
que.Enqueue(adjVet); // Помещать в очередь только непосещенные вершины
visited.Add(adjVet); // Отметить эту вершину как посещенную
}
}
// Вернуть последовательность обхода вершин
return res;
}
```
=== "Go"
```go title="graph_bfs.go"
/* Обход в ширину */
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получить все смежные вершины заданной вершины
func graphBFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
// Последовательность обхода вершин
res := make([]Vertex, 0)
// Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
visited := make(map[Vertex]struct{})
visited[startVet] = struct{}{}
// Очередь используется для реализации BFS, срез используется для имитации очереди
queue := make([]Vertex, 0)
queue = append(queue, startVet)
// Начиная с вершины vet, продолжать цикл, пока не будут посещены все вершины
for len(queue) > 0 {
// Извлечь головную вершину из очереди
vet := queue[0]
queue = queue[1:]
// Отметить посещенную вершину
res = append(res, vet)
// Обойти все смежные вершины данной вершины
for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
_, isExist := visited[adjVet]
// Помещать в очередь только непосещенные вершины
if !isExist {
queue = append(queue, adjVet)
visited[adjVet] = struct{}{}
}
}
}
// Вернуть последовательность обхода вершин
return res
}
```
=== "Swift"
```swift title="graph_bfs.swift"
/* Обход в ширину */
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получить все смежные вершины заданной вершины
func graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
// Последовательность обхода вершин
var res: [Vertex] = []
// Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
var visited: Set<Vertex> = [startVet]
// Очередь используется для реализации BFS
var que: [Vertex] = [startVet]
// Начиная с вершины vet, продолжать цикл, пока не будут посещены все вершины
while !que.isEmpty {
let vet = que.removeFirst() // Извлечь головную вершину из очереди
res.append(vet) // Отметить посещенную вершину
// Обойти все смежные вершины данной вершины
for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
if visited.contains(adjVet) {
continue // Пропустить уже посещенную вершину
}
que.append(adjVet) // Помещать в очередь только непосещенные вершины
visited.insert(adjVet) // Отметить эту вершину как посещенную
}
}
// Вернуть последовательность обхода вершин
return res
}
```
=== "JS"
```javascript title="graph_bfs.js"
/* Обход в ширину */
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получить все смежные вершины заданной вершины
function graphBFS(graph, startVet) {
// Последовательность обхода вершин
const res = [];
// Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
const visited = new Set();
visited.add(startVet);
// Очередь используется для реализации BFS
const que = [startVet];
// Начиная с вершины vet, продолжать цикл, пока не будут посещены все вершины
while (que.length) {
const vet = que.shift(); // Извлечь головную вершину из очереди
res.push(vet); // Отметить посещенную вершину
// Обойти все смежные вершины данной вершины
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
if (visited.has(adjVet)) {
continue; // Пропустить уже посещенную вершину
}
que.push(adjVet); // Помещать в очередь только непосещенные вершины
visited.add(adjVet); // Отметить эту вершину как посещенную
}
}
// Вернуть последовательность обхода вершин
return res;
}
```
=== "TS"
```typescript title="graph_bfs.ts"
/* Обход в ширину */
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получить все смежные вершины заданной вершины
function graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
// Последовательность обхода вершин
const res: Vertex[] = [];
// Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
const visited: Set<Vertex> = new Set();
visited.add(startVet);
// Очередь используется для реализации BFS
const que = [startVet];
// Начиная с вершины vet, продолжать цикл, пока не будут посещены все вершины
while (que.length) {
const vet = que.shift(); // Извлечь головную вершину из очереди
res.push(vet); // Отметить посещенную вершину
// Обойти все смежные вершины данной вершины
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
if (visited.has(adjVet)) {
continue; // Пропустить уже посещенную вершину
}
que.push(adjVet); // Помещать в очередь только непосещенные вершины
visited.add(adjVet); // Отметить эту вершину как посещенную
}
}
// Вернуть последовательность обхода вершин
return res;
}
```
=== "Dart"
```dart title="graph_bfs.dart"
/* Обход в ширину */
List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получать все смежные вершины заданной вершины
// Последовательность обхода вершин
List<Vertex> res = [];
// Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
Set<Vertex> visited = {};
visited.add(startVet);
// Очередь используется для реализации BFS
Queue<Vertex> que = Queue();
que.add(startVet);
// Начиная с вершины vet, продолжать цикл, пока не будут посещены все вершины
while (que.isNotEmpty) {
Vertex vet = que.removeFirst(); // Извлечь головную вершину из очереди
res.add(vet); // Отметить посещенную вершину
// Обойти все смежные вершины данной вершины
for (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]!) {
if (visited.contains(adjVet)) {
continue; // Пропустить уже посещенную вершину
}
que.add(adjVet); // Помещать в очередь только непосещенные вершины
visited.add(adjVet); // Отметить эту вершину как посещенную
}
}
// Вернуть последовательность обхода вершин
return res;
}
```
=== "Rust"
```rust title="graph_bfs.rs"
/* Обход в ширину */
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получить все смежные вершины заданной вершины
fn graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> Vec<Vertex> {
// Последовательность обхода вершин
let mut res = vec![];
// Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
let mut visited = HashSet::new();
visited.insert(start_vet);
// Очередь используется для реализации BFS
let mut que = VecDeque::new();
que.push_back(start_vet);
// Начиная с вершины vet, продолжать цикл, пока не будут посещены все вершины
while let Some(vet) = que.pop_front() {
res.push(vet); // Отметить посещенную вершину
// Обойти все смежные вершины данной вершины
if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) {
for &adj_vet in adj_vets {
if visited.contains(&adj_vet) {
continue; // Пропустить уже посещенную вершину
}
que.push_back(adj_vet); // Помещать в очередь только непосещенные вершины
visited.insert(adj_vet); // Отметить эту вершину как посещенную
}
}
}
// Вернуть последовательность обхода вершин
res
}
```
=== "C"
```c title="graph_bfs.c"
/* Структура очереди узлов */
typedef struct {
Vertex *vertices[MAX_SIZE];
int front, rear, size;
} Queue;
/* Конструктор */
Queue *newQueue() {
Queue *q = (Queue *)malloc(sizeof(Queue));
q->front = q->rear = q->size = 0;
return q;
}
/* Проверка, пуста ли очередь */
int isEmpty(Queue *q) {
return q->size == 0;
}
/* Операция добавления в очередь */
void enqueue(Queue *q, Vertex *vet) {
q->vertices[q->rear] = vet;
q->rear = (q->rear + 1) % MAX_SIZE;
q->size++;
}
/* Операция извлечения из очереди */
Vertex *dequeue(Queue *q) {
Vertex *vet = q->vertices[q->front];
q->front = (q->front + 1) % MAX_SIZE;
q->size--;
return vet;
}
/* Проверить, была ли вершина уже посещена */
int isVisited(Vertex **visited, int size, Vertex *vet) {
// Искать узел обходом за O(n) времени
for (int i = 0; i < size; i++) {
if (visited[i] == vet)
return 1;
}
return 0;
}
/* Обход в ширину */
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получить все смежные вершины заданной вершины
void graphBFS(GraphAdjList *graph, Vertex *startVet, Vertex **res, int *resSize, Vertex **visited, int *visitedSize) {
// Очередь используется для реализации BFS
Queue *queue = newQueue();
enqueue(queue, startVet);
visited[(*visitedSize)++] = startVet;
// Начиная с вершины vet, продолжать цикл, пока не будут посещены все вершины
while (!isEmpty(queue)) {
Vertex *vet = dequeue(queue); // Извлечь головную вершину из очереди
res[(*resSize)++] = vet; // Отметить посещенную вершину
// Обойти все смежные вершины данной вершины
AdjListNode *node = findNode(graph, vet);
while (node != NULL) {
// Пропустить уже посещенную вершину
if (!isVisited(visited, *visitedSize, node->vertex)) {
enqueue(queue, node->vertex); // Помещать в очередь только непосещенные вершины
visited[(*visitedSize)++] = node->vertex; // Отметить эту вершину как посещенную
}
node = node->next;
}
}
// Освободить память
free(queue);
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="graph_bfs.kt"
/* Обход в ширину */
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получить все смежные вершины заданной вершины
fun graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): MutableList<Vertex?> {
// Последовательность обхода вершин
val res = mutableListOf<Vertex?>()
// Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
val visited = HashSet<Vertex>()
visited.add(startVet)
// Очередь используется для реализации BFS
val que = LinkedList<Vertex>()
que.offer(startVet)
// Начиная с вершины vet, продолжать цикл, пока не будут посещены все вершины
while (!que.isEmpty()) {
val vet = que.poll() // Извлечь головную вершину из очереди
res.add(vet) // Отметить посещенную вершину
// Обойти все смежные вершины данной вершины
for (adjVet in graph.adjList[vet]!!) {
if (visited.contains(adjVet))
continue // Пропустить уже посещенную вершину
que.offer(adjVet) // Помещать в очередь только непосещенные вершины
visited.add(adjVet) // Отметить эту вершину как посещенную
}
}
// Вернуть последовательность обхода вершин
return res
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="graph_bfs.rb"
### Обход в ширину ###
def graph_bfs(graph, start_vet)
# Использовать список смежности для представления графа, чтобы получать все смежные вершины заданной вершины
# Последовательность обхода вершин
res = []
# Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
visited = Set.new([start_vet])
# Очередь используется для реализации BFS
que = [start_vet]
# Начиная с вершины vet, продолжать цикл, пока не будут посещены все вершины
while que.length > 0
vet = que.shift # Извлечь головную вершину из очереди
res << vet # Отметить посещенную вершину
# Обойти все смежные вершины данной вершины
for adj_vet in graph.adj_list[vet]
next if visited.include?(adj_vet) # Пропустить уже посещенную вершину
que << adj_vet # Помещать в очередь только непосещенные вершины
visited.add(adj_vet) # Отметить эту вершину как посещенную
end
end
# Вернуть последовательность обхода вершин
res
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20collections%20import%20deque%0A%0Aclass%20Vertex%3A%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%0Adef%20vals_to_vets%28vals%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5B%27Vertex%27%5D%3A%0A%20%20%20%20return%20%5BVertex%28val%29%20for%20val%20in%20vals%5D%0A%0Aclass%20GraphAdjList%3A%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20edges%3A%20list%5Blist%5BVertex%5D%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%20%3D%20dict%5BVertex%2C%20list%5BVertex%5D%5D%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20edge%20in%20edges%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B1%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_edge%28edge%5B0%5D%2C%20edge%5B1%5D%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_edge%28self%2C%20vet1%3A%20Vertex%2C%20vet2%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet1%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet2%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet1%20%3D%3D%20vet2%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet1%5D.append%28vet2%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet2%5D.append%28vet1%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_vertex%28self%2C%20vet%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet%20in%20self.adj_list%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet%5D%20%3D%20%5B%5D%0A%0Adef%20graph_bfs%28graph%3A%20GraphAdjList%2C%20start_vet%3A%20Vertex%29%20-%3E%20list%5BVertex%5D%3A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20visited%20%3D%20set%5BVertex%5D%28%5Bstart_vet%5D%29%0A%20%20%20%20que%20%3D%20deque%5BVertex%5D%28%5Bstart_vet%5D%29%0A%20%20%20%20while%20len%28que%29%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20vet%20%3D%20que.popleft%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28vet%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20adj_vet%20in%20graph.adj_list%5Bvet%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20adj_vet%20in%20visited%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20que.append%28adj_vet%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20visited.add%28adj_vet%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%27Driver%20Code%27%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%27__main__%27%3A%0A%20%20%20%20v%20%3D%20vals_to_vets%28%5B0%2C%201%2C%202%2C%203%2C%204%5D%29%0A%20%20%20%20edges%20%3D%20%5B%5Bv%5B0%5D%2C%20v%5B1%5D%5D%2C%20%5Bv%5B0%5D%2C%20v%5B3%5D%5D%2C%20%5Bv%5B1%5D%2C%20v%5B2%5D%5D%2C%20%5Bv%5B1%5D%2C%20v%5B4%5D%5D%2C%20%5Bv%5B3%5D%2C%20v%5B4%5D%5D%5D%0A%20%20%20%20graph%20%3D%20GraphAdjList%28edges%29%0A%20%20%20%20del%20edges%0A%20%20%20%20res%20%3D%20graph_bfs%28graph%2C%20v%5B0%5D%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=131&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20collections%20import%20deque%0A%0Aclass%20Vertex%3A%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%0Adef%20vals_to_vets%28vals%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5B%27Vertex%27%5D%3A%0A%20%20%20%20return%20%5BVertex%28val%29%20for%20val%20in%20vals%5D%0A%0Aclass%20GraphAdjList%3A%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20edges%3A%20list%5Blist%5BVertex%5D%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%20%3D%20dict%5BVertex%2C%20list%5BVertex%5D%5D%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20edge%20in%20edges%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B1%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_edge%28edge%5B0%5D%2C%20edge%5B1%5D%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_edge%28self%2C%20vet1%3A%20Vertex%2C%20vet2%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet1%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet2%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet1%20%3D%3D%20vet2%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet1%5D.append%28vet2%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet2%5D.append%28vet1%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_vertex%28self%2C%20vet%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet%20in%20self.adj_list%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet%5D%20%3D%20%5B%5D%0A%0Adef%20graph_bfs%28graph%3A%20GraphAdjList%2C%20start_vet%3A%20Vertex%29%20-%3E%20list%5BVertex%5D%3A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20visited%20%3D%20set%5BVertex%5D%28%5Bstart_vet%5D%29%0A%20%20%20%20que%20%3D%20deque%5BVertex%5D%28%5Bstart_vet%5D%29%0A%20%20%20%20while%20len%28que%29%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20vet%20%3D%20que.popleft%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28vet%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20adj_vet%20in%20graph.adj_list%5Bvet%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20adj_vet%20in%20visited%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20que.append%28adj_vet%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20visited.add%28adj_vet%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%27Driver%20Code%27%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%27__main__%27%3A%0A%20%20%20%20v%20%3D%20vals_to_vets%28%5B0%2C%201%2C%202%2C%203%2C%204%5D%29%0A%20%20%20%20edges%20%3D%20%5B%5Bv%5B0%5D%2C%20v%5B1%5D%5D%2C%20%5Bv%5B0%5D%2C%20v%5B3%5D%5D%2C%20%5Bv%5B1%5D%2C%20v%5B2%5D%5D%2C%20%5Bv%5B1%5D%2C%20v%5B4%5D%5D%2C%20%5Bv%5B3%5D%2C%20v%5B4%5D%5D%5D%0A%20%20%20%20graph%20%3D%20GraphAdjList%28edges%29%0A%20%20%20%20del%20edges%0A%20%20%20%20res%20%3D%20graph_bfs%28graph%2C%20v%5B0%5D%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=131&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
Код сравнительно абстрактен, поэтому для лучшего понимания рекомендуется сопоставлять его с тем, что показано на рисунке 9-10.
=== "<1>"
![Шаги обхода графа в ширину](graph_traversal.assets/graph_bfs_step1.png){ class="animation-figure" }
=== "<2>"
![graph_bfs_step2](graph_traversal.assets/graph_bfs_step2.png){ class="animation-figure" }
=== "<3>"
![graph_bfs_step3](graph_traversal.assets/graph_bfs_step3.png){ class="animation-figure" }
=== "<4>"
![graph_bfs_step4](graph_traversal.assets/graph_bfs_step4.png){ class="animation-figure" }
=== "<5>"
![graph_bfs_step5](graph_traversal.assets/graph_bfs_step5.png){ class="animation-figure" }
=== "<6>"
![graph_bfs_step6](graph_traversal.assets/graph_bfs_step6.png){ class="animation-figure" }
=== "<7>"
![graph_bfs_step7](graph_traversal.assets/graph_bfs_step7.png){ class="animation-figure" }
=== "<8>"
![graph_bfs_step8](graph_traversal.assets/graph_bfs_step8.png){ class="animation-figure" }
=== "<9>"
![graph_bfs_step9](graph_traversal.assets/graph_bfs_step9.png){ class="animation-figure" }
=== "<10>"
![graph_bfs_step10](graph_traversal.assets/graph_bfs_step10.png){ class="animation-figure" }
=== "<11>"
![graph_bfs_step11](graph_traversal.assets/graph_bfs_step11.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> Рисунок 9-10 &nbsp; Шаги обхода графа в ширину </p>
!!! question "Является ли последовательность обхода в ширину единственной?"
Нет. Обход в ширину требует только соблюдения порядка «от ближнего к дальнему», **а порядок обхода нескольких вершин на одинаковом расстоянии может произвольно меняться**. Например, на рисунке 9-10 можно поменять местами порядок посещения вершин $1$ и $3$ , а вершины $2$, $4$, $6$ также можно переставлять произвольно.
### 2. &nbsp; Анализ сложности
**Временная сложность**: все вершины по одному разу помещаются в очередь и извлекаются из нее, что требует $O(|V|)$ времени. При обходе смежных вершин, поскольку граф неориентированный, все ребра будут посещены по $2$ раза, что требует $O(2|E|)$ времени. В сумме получается $O(|V| + |E|)$ .
**Пространственная сложность**: список `res` , хеш-множество `visited` и очередь `que` в худшем случае могут содержать до $|V|$ вершин, поэтому требуется $O(|V|)$ памяти.
## 9.3.2 &nbsp; Обход в глубину
**Обход в глубину - это способ обхода, при котором сначала идут до самого конца, а когда дальше идти нельзя, возвращаются назад**. Как показано на рисунке 9-11, начиная с вершины в левом верхнем углу, мы выбираем некоторую смежную вершину текущей вершины, идем до упора, затем возвращаемся назад, снова идем до упора и так далее, пока не будут посещены все вершины.
![Обход графа в глубину](graph_traversal.assets/graph_dfs.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> Рисунок 9-11 &nbsp; Обход графа в глубину </p>
### 1. &nbsp; Реализация алгоритма
Такой алгоритмический шаблон «дойти до конца и вернуться» обычно реализуется через рекурсию. Подобно обходу в ширину, в обходе в глубину мы также используем хеш-множество `visited` для записи уже посещенных вершин и тем самым избегаем повторного посещения.
=== "Python"
```python title="graph_dfs.py"
def dfs(graph: GraphAdjList, visited: set[Vertex], res: list[Vertex], vet: Vertex):
"""Вспомогательная функция обхода в глубину"""
res.append(vet) # Отметить посещенную вершину
visited.add(vet) # Отметить эту вершину как посещенную
# Обойти все смежные вершины данной вершины
for adjVet in graph.adj_list[vet]:
if adjVet in visited:
continue # Пропустить уже посещенную вершину
# Рекурсивно обходить смежные вершины
dfs(graph, visited, res, adjVet)
def graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
"""Обход в глубину"""
# Использовать список смежности для представления графа, чтобы получать все смежные вершины заданной вершины
# Последовательность обхода вершин
res = []
# Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
visited = set[Vertex]()
dfs(graph, visited, res, start_vet)
return res
```
=== "C++"
```cpp title="graph_dfs.cpp"
/* Вспомогательная функция обхода в глубину */
void dfs(GraphAdjList &graph, unordered_set<Vertex *> &visited, vector<Vertex *> &res, Vertex *vet) {
res.push_back(vet); // Отметить посещенную вершину
visited.emplace(vet); // Отметить эту вершину как посещенную
// Обойти все смежные вершины данной вершины
for (Vertex *adjVet : graph.adjList[vet]) {
if (visited.count(adjVet))
continue; // Пропустить уже посещенную вершину
// Рекурсивно обходить смежные вершины
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
}
/* Обход в глубину */
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получить все смежные вершины заданной вершины
vector<Vertex *> graphDFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {
// Последовательность обхода вершин
vector<Vertex *> res;
// Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
unordered_set<Vertex *> visited;
dfs(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
```
=== "Java"
```java title="graph_dfs.java"
/* Вспомогательная функция обхода в глубину */
void dfs(GraphAdjList graph, Set<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
res.add(vet); // Отметить посещенную вершину
visited.add(vet); // Отметить эту вершину как посещенную
// Обойти все смежные вершины данной вершины
for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.contains(adjVet))
continue; // Пропустить уже посещенную вершину
// Рекурсивно обходить смежные вершины
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
}
/* Обход в глубину */
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получить все смежные вершины заданной вершины
List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
// Последовательность обхода вершин
List<Vertex> res = new ArrayList<>();
// Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
dfs(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
```
=== "C#"
```csharp title="graph_dfs.cs"
/* Вспомогательная функция обхода в глубину */
void DFS(GraphAdjList graph, HashSet<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
res.Add(vet); // Отметить посещенную вершину
visited.Add(vet); // Отметить эту вершину как посещенную
// Обойти все смежные вершины данной вершины
foreach (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]) {
if (visited.Contains(adjVet)) {
continue; // Пропустить уже посещенную вершину
}
// Рекурсивно обходить смежные вершины
DFS(graph, visited, res, adjVet);
}
}
/* Обход в глубину */
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получить все смежные вершины заданной вершины
List<Vertex> GraphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
// Последовательность обхода вершин
List<Vertex> res = [];
// Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
HashSet<Vertex> visited = [];
DFS(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
```
=== "Go"
```go title="graph_dfs.go"
/* Вспомогательная функция обхода в глубину */
func dfs(g *graphAdjList, visited map[Vertex]struct{}, res *[]Vertex, vet Vertex) {
// Операция append возвращает новую ссылку, поэтому исходную ссылку нужно заново присвоить новому срезу
*res = append(*res, vet)
visited[vet] = struct{}{}
// Обойти все смежные вершины данной вершины
for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
_, isExist := visited[adjVet]
// Рекурсивно обходить смежные вершины
if !isExist {
dfs(g, visited, res, adjVet)
}
}
}
/* Обход в глубину */
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получить все смежные вершины заданной вершины
func graphDFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
// Последовательность обхода вершин
res := make([]Vertex, 0)
// Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
visited := make(map[Vertex]struct{})
dfs(g, visited, &res, startVet)
// Вернуть последовательность обхода вершин
return res
}
```
=== "Swift"
```swift title="graph_dfs.swift"
/* Вспомогательная функция обхода в глубину */
func dfs(graph: GraphAdjList, visited: inout Set<Vertex>, res: inout [Vertex], vet: Vertex) {
res.append(vet) // Отметить посещенную вершину
visited.insert(vet) // Отметить эту вершину как посещенную
// Обойти все смежные вершины данной вершины
for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
if visited.contains(adjVet) {
continue // Пропустить уже посещенную вершину
}
// Рекурсивно обходить смежные вершины
dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: adjVet)
}
}
/* Обход в глубину */
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получить все смежные вершины заданной вершины
func graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
// Последовательность обхода вершин
var res: [Vertex] = []
// Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
var visited: Set<Vertex> = []
dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: startVet)
return res
}
```
=== "JS"
```javascript title="graph_dfs.js"
/* Обход в глубину */
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получить все смежные вершины заданной вершины
function dfs(graph, visited, res, vet) {
res.push(vet); // Отметить посещенную вершину
visited.add(vet); // Отметить эту вершину как посещенную
// Обойти все смежные вершины данной вершины
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.has(adjVet)) {
continue; // Пропустить уже посещенную вершину
}
// Рекурсивно обходить смежные вершины
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
}
/* Обход в глубину */
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получить все смежные вершины заданной вершины
function graphDFS(graph, startVet) {
// Последовательность обхода вершин
const res = [];
// Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
const visited = new Set();
dfs(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
```
=== "TS"
```typescript title="graph_dfs.ts"
/* Вспомогательная функция обхода в глубину */
function dfs(
graph: GraphAdjList,
visited: Set<Vertex>,
res: Vertex[],
vet: Vertex
): void {
res.push(vet); // Отметить посещенную вершину
visited.add(vet); // Отметить эту вершину как посещенную
// Обойти все смежные вершины данной вершины
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.has(adjVet)) {
continue; // Пропустить уже посещенную вершину
}
// Рекурсивно обходить смежные вершины
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
}
/* Обход в глубину */
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получить все смежные вершины заданной вершины
function graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
// Последовательность обхода вершин
const res: Vertex[] = [];
// Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
const visited: Set<Vertex> = new Set();
dfs(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
```
=== "Dart"
```dart title="graph_dfs.dart"
/* Вспомогательная функция обхода в глубину */
void dfs(
GraphAdjList graph,
Set<Vertex> visited,
List<Vertex> res,
Vertex vet,
) {
res.add(vet); // Отметить посещенную вершину
visited.add(vet); // Отметить эту вершину как посещенную
// Обойти все смежные вершины данной вершины
for (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]!) {
if (visited.contains(adjVet)) {
continue; // Пропустить уже посещенную вершину
}
// Рекурсивно обходить смежные вершины
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
}
/* Обход в глубину */
List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
// Последовательность обхода вершин
List<Vertex> res = [];
// Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
Set<Vertex> visited = {};
dfs(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
```
=== "Rust"
```rust title="graph_dfs.rs"
/* Вспомогательная функция обхода в глубину */
fn dfs(graph: &GraphAdjList, visited: &mut HashSet<Vertex>, res: &mut Vec<Vertex>, vet: Vertex) {
res.push(vet); // Отметить посещенную вершину
visited.insert(vet); // Отметить эту вершину как посещенную
// Обойти все смежные вершины данной вершины
if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) {
for &adj_vet in adj_vets {
if visited.contains(&adj_vet) {
continue; // Пропустить уже посещенную вершину
}
// Рекурсивно обходить смежные вершины
dfs(graph, visited, res, adj_vet);
}
}
}
/* Обход в глубину */
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получить все смежные вершины заданной вершины
fn graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> Vec<Vertex> {
// Последовательность обхода вершин
let mut res = vec![];
// Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
let mut visited = HashSet::new();
dfs(&graph, &mut visited, &mut res, start_vet);
res
}
```
=== "C"
```c title="graph_dfs.c"
/* Проверить, была ли вершина уже посещена */
int isVisited(Vertex **res, int size, Vertex *vet) {
// Искать узел обходом за O(n) времени
for (int i = 0; i < size; i++) {
if (res[i] == vet) {
return 1;
}
}
return 0;
}
/* Вспомогательная функция обхода в глубину */
void dfs(GraphAdjList *graph, Vertex **res, int *resSize, Vertex *vet) {
// Отметить посещенную вершину
res[(*resSize)++] = vet;
// Обойти все смежные вершины данной вершины
AdjListNode *node = findNode(graph, vet);
while (node != NULL) {
// Пропустить уже посещенную вершину
if (!isVisited(res, *resSize, node->vertex)) {
// Рекурсивно обходить смежные вершины
dfs(graph, res, resSize, node->vertex);
}
node = node->next;
}
}
/* Обход в глубину */
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получить все смежные вершины заданной вершины
void graphDFS(GraphAdjList *graph, Vertex *startVet, Vertex **res, int *resSize) {
dfs(graph, res, resSize, startVet);
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="graph_dfs.kt"
/* Вспомогательная функция обхода в глубину */
fun dfs(
graph: GraphAdjList,
visited: MutableSet<Vertex?>,
res: MutableList<Vertex?>,
vet: Vertex?
) {
res.add(vet) // Отметить посещенную вершину
visited.add(vet) // Отметить эту вершину как посещенную
// Обойти все смежные вершины данной вершины
for (adjVet in graph.adjList[vet]!!) {
if (visited.contains(adjVet))
continue // Пропустить уже посещенную вершину
// Рекурсивно обходить смежные вершины
dfs(graph, visited, res, adjVet)
}
}
/* Обход в глубину */
// Использовать список смежности для представления графа, чтобы получить все смежные вершины заданной вершины
fun graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex?): MutableList<Vertex?> {
// Последовательность обхода вершин
val res = mutableListOf<Vertex?>()
// Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
val visited = HashSet<Vertex?>()
dfs(graph, visited, res, startVet)
return res
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="graph_dfs.rb"
### Вспомогательная функция обхода в глубину ###
def dfs(graph, visited, res, vet)
res << vet # Отметить посещенную вершину
visited.add(vet) # Отметить эту вершину как посещенную
# Обойти все смежные вершины данной вершины
for adj_vet in graph.adj_list[vet]
next if visited.include?(adj_vet) # Пропустить уже посещенную вершину
# Рекурсивно обходить смежные вершины
dfs(graph, visited, res, adj_vet)
end
end
### Обход в глубину ###
def graph_dfs(graph, start_vet)
# Использовать список смежности для представления графа, чтобы получать все смежные вершины заданной вершины
# Последовательность обхода вершин
res = []
# Хеш-множество для хранения уже посещенных вершин
visited = Set.new
dfs(graph, visited, res, start_vet)
res
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20Vertex%3A%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%0Adef%20vals_to_vets%28vals%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5B%27Vertex%27%5D%3A%0A%20%20%20%20return%20%5BVertex%28val%29%20for%20val%20in%20vals%5D%0A%0Aclass%20GraphAdjList%3A%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20edges%3A%20list%5Blist%5BVertex%5D%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%20%3D%20dict%5BVertex%2C%20list%5BVertex%5D%5D%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20edge%20in%20edges%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B1%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_edge%28edge%5B0%5D%2C%20edge%5B1%5D%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_edge%28self%2C%20vet1%3A%20Vertex%2C%20vet2%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet1%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet2%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet1%20%3D%3D%20vet2%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet1%5D.append%28vet2%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet2%5D.append%28vet1%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_vertex%28self%2C%20vet%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet%20in%20self.adj_list%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet%5D%20%3D%20%5B%5D%0A%0Adef%20dfs%28graph%3A%20GraphAdjList%2C%20visited%3A%20set%5BVertex%5D%2C%20res%3A%20list%5BVertex%5D%2C%20vet%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20res.append%28vet%29%0A%20%20%20%20visited.add%28vet%29%0A%20%20%20%20for%20adjVet%20in%20graph.adj_list%5Bvet%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20adjVet%20in%20visited%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dfs%28graph%2C%20visited%2C%20res%2C%20adjVet%29%0A%0Adef%20graph_dfs%28graph%3A%20GraphAdjList%2C%20start_vet%3A%20Vertex%29%20-%3E%20list%5BVertex%5D%3A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20visited%20%3D%20set%5BVertex%5D%28%29%0A%20%20%20%20dfs%28graph%2C%20visited%2C%20res%2C%20start_vet%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%27Driver%20Code%27%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%27__main__%27%3A%0A%20%20%20%20v%20%3D%20vals_to_vets%28%5B0%2C%201%2C%202%2C%203%2C%204%5D%29%0A%20%20%20%20edges%20%3D%20%5B%5Bv%5B0%5D%2C%20v%5B1%5D%5D%2C%20%5Bv%5B0%5D%2C%20v%5B3%5D%5D%2C%20%5Bv%5B1%5D%2C%20v%5B2%5D%5D%2C%20%5Bv%5B1%5D%2C%20v%5B4%5D%5D%2C%20%5Bv%5B3%5D%2C%20v%5B4%5D%5D%5D%0A%20%20%20%20graph%20%3D%20GraphAdjList%28edges%29%0A%20%20%20%20res%20%3D%20graph_dfs%28graph%2C%20v%5B0%5D%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=130&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20Vertex%3A%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%0Adef%20vals_to_vets%28vals%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5B%27Vertex%27%5D%3A%0A%20%20%20%20return%20%5BVertex%28val%29%20for%20val%20in%20vals%5D%0A%0Aclass%20GraphAdjList%3A%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20edges%3A%20list%5Blist%5BVertex%5D%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%20%3D%20dict%5BVertex%2C%20list%5BVertex%5D%5D%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20edge%20in%20edges%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B1%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_edge%28edge%5B0%5D%2C%20edge%5B1%5D%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_edge%28self%2C%20vet1%3A%20Vertex%2C%20vet2%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet1%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet2%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet1%20%3D%3D%20vet2%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet1%5D.append%28vet2%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet2%5D.append%28vet1%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_vertex%28self%2C%20vet%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet%20in%20self.adj_list%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet%5D%20%3D%20%5B%5D%0A%0Adef%20dfs%28graph%3A%20GraphAdjList%2C%20visited%3A%20set%5BVertex%5D%2C%20res%3A%20list%5BVertex%5D%2C%20vet%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20res.append%28vet%29%0A%20%20%20%20visited.add%28vet%29%0A%20%20%20%20for%20adjVet%20in%20graph.adj_list%5Bvet%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20adjVet%20in%20visited%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dfs%28graph%2C%20visited%2C%20res%2C%20adjVet%29%0A%0Adef%20graph_dfs%28graph%3A%20GraphAdjList%2C%20start_vet%3A%20Vertex%29%20-%3E%20list%5BVertex%5D%3A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20visited%20%3D%20set%5BVertex%5D%28%29%0A%20%20%20%20dfs%28graph%2C%20visited%2C%20res%2C%20start_vet%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%27Driver%20Code%27%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%27__main__%27%3A%0A%20%20%20%20v%20%3D%20vals_to_vets%28%5B0%2C%201%2C%202%2C%203%2C%204%5D%29%0A%20%20%20%20edges%20%3D%20%5B%5Bv%5B0%5D%2C%20v%5B1%5D%5D%2C%20%5Bv%5B0%5D%2C%20v%5B3%5D%5D%2C%20%5Bv%5B1%5D%2C%20v%5B2%5D%5D%2C%20%5Bv%5B1%5D%2C%20v%5B4%5D%5D%2C%20%5Bv%5B3%5D%2C%20v%5B4%5D%5D%5D%0A%20%20%20%20graph%20%3D%20GraphAdjList%28edges%29%0A%20%20%20%20res%20%3D%20graph_dfs%28graph%2C%20v%5B0%5D%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=130&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
Алгоритмический процесс обхода в глубину показан на рисунке 9-12.
- **Прямая пунктирная линия обозначает нисходящую рекурсию** , то есть запуск нового рекурсивного метода для посещения новой вершины.
- **Изогнутая пунктирная линия обозначает восходящую рекурсию** , то есть данный рекурсивный метод завершился и управление вернулось туда, откуда он был вызван.
Чтобы лучше понять алгоритм, рекомендуется сопоставить код с тем, что показано на рисунке 9-12, и мысленно проследить весь процесс DFS, включая моменты запуска и возврата каждого рекурсивного вызова.
=== "<1>"
![Шаги обхода графа в глубину](graph_traversal.assets/graph_dfs_step1.png){ class="animation-figure" }
=== "<2>"
![graph_dfs_step2](graph_traversal.assets/graph_dfs_step2.png){ class="animation-figure" }
=== "<3>"
![graph_dfs_step3](graph_traversal.assets/graph_dfs_step3.png){ class="animation-figure" }
=== "<4>"
![graph_dfs_step4](graph_traversal.assets/graph_dfs_step4.png){ class="animation-figure" }
=== "<5>"
![graph_dfs_step5](graph_traversal.assets/graph_dfs_step5.png){ class="animation-figure" }
=== "<6>"
![graph_dfs_step6](graph_traversal.assets/graph_dfs_step6.png){ class="animation-figure" }
=== "<7>"
![graph_dfs_step7](graph_traversal.assets/graph_dfs_step7.png){ class="animation-figure" }
=== "<8>"
![graph_dfs_step8](graph_traversal.assets/graph_dfs_step8.png){ class="animation-figure" }
=== "<9>"
![graph_dfs_step9](graph_traversal.assets/graph_dfs_step9.png){ class="animation-figure" }
=== "<10>"
![graph_dfs_step10](graph_traversal.assets/graph_dfs_step10.png){ class="animation-figure" }
=== "<11>"
![graph_dfs_step11](graph_traversal.assets/graph_dfs_step11.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> Рисунок 9-12 &nbsp; Шаги обхода графа в глубину </p>
!!! question "Является ли последовательность обхода в глубину единственной?"
Как и в случае обхода в ширину, последовательность DFS тоже не является единственной. Для заданной вершины допустимо сначала углубиться в любое направление, то есть порядок смежных вершин может быть произвольным, и все такие варианты будут корректными обходами в глубину.
Если взять в качестве примера обход дерева, то варианты «корень $\rightarrow$ лево $\rightarrow$ право», «лево $\rightarrow$ корень $\rightarrow$ право» и «лево $\rightarrow$ право $\rightarrow$ корень» соответствуют прямому, симметричному и обратному обходам соответственно. Они показывают три разных приоритета обхода, но все они относятся к обходу в глубину.
### 2. &nbsp; Анализ сложности
**Временная сложность**: все вершины будут посещены по $1$ разу, что требует $O(|V|)$ времени. Все ребра будут посещены по $2$ раза, что требует $O(2|E|)$ времени. Суммарно получается $O(|V| + |E|)$ .
**Пространственная сложность**: число вершин в списке `res` и хеш-множестве `visited` в худшем случае достигает $|V|$ , максимальная глубина рекурсии тоже равна $|V|$ , поэтому требуется $O(|V|)$ памяти.
Reference in New Issue View Git Blame Copy Permalink