mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-07-22 19:36:06 +00:00
krahets
74 lines
7.5 KiB
Markdown
74 lines
7.5 KiB
Markdown
# Построение кучи
|
|
|
|
В некоторых случаях мы хотим использовать все элементы списка для построения кучи. Этот процесс называется "построением кучи".
|
|
|
|
## Реализация с помощью операции вставки
|
|
|
|
Сначала создается пустая куча, затем выполняется обход списка, и для каждого элемента выполняется "операция вставки в кучу", т. е. сначала элемент добавляется в основание кучи, а затем для этого элемента выполняется упорядочивание "снизу вверх".
|
|
|
|
Каждый раз, когда элемент вставляется в кучу, длина кучи увеличивается на единицу. Поскольку узлы добавляются в двоичное дерево последовательно сверху вниз, куча строится "сверху вниз".
|
|
|
|
Пусть количество элементов равно $n$, операция вставки каждого элемента занимает $O(\log{n})$ времени, следовательно, временная сложность этого метода построения кучи составляет $O(n \log n)$.
|
|
|
|
## Реализация через обход с упорядочиванием
|
|
|
|
На самом деле можно реализовать более эффективный метод построения кучи, который состоит из двух шагов.
|
|
|
|
1. Все элементы списка добавляются в кучу без изменений, при этом свойства кучи еще не выполняются.
|
|
2. Выполняется обратный обход кучи (обратный порядок обхода по уровням), и для каждого нелистового узла выполняется "упорядочивание сверху вниз".
|
|
|
|
**После упорядочивания каждого узла поддерево с корнем в этом узле становится корректной подкучей**. А поскольку используется обратный обход, куча строится "снизу вверх".
|
|
|
|
Причина выбора обратного обхода заключается в том, что это гарантирует, что поддерево под текущим узлом уже является корректной подкучей, что делает упорядочивание текущего узла эффективным.
|
|
|
|
Стоит отметить, что **поскольку листовые узлы не имеют дочерних узлов, они по своей природе являются корректными подкучами и не требуют упорядочивания**. Как показано в следующем коде, последний нелистовой узел является родительским узлом последнего узла, и мы начинаем обратный обход и выполняем упорядочивание с него:
|
|
|
|
```src
|
|
[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{__init__}
|
|
```
|
|
|
|
## Анализ сложности
|
|
|
|
Далее попытаемся вывести временную сложность второго метода построения кучи.
|
|
|
|
- Предположим, что количество узлов полного двоичного дерева равно $n$, тогда количество листовых узлов составляет $(n + 1) / 2$, где $/$ -- целочисленное деление вниз. Следовательно, количество узлов, требующих упорядочивания, составляет $(n - 1) / 2$.
|
|
- В процессе упорядочивания сверху вниз каждый узел может быть упорядочен максимум до листового узла, поэтому максимальное количество итераций равно высоте двоичного дерева $\log n$.
|
|
|
|
Перемножив эти два значения, получаем временную сложность процесса построения кучи $O(n \log n)$. **Но этот расчет неточен, поскольку мы не учли тот факт, что количество узлов на нижних уровнях двоичного дерева намного больше, чем на верхних**.
|
|
|
|
Далее выполним более точный расчет. Чтобы упростить вычисления, предположим, что дано "совершенное двоичное дерево" с количеством узлов $n$ и высотой $h$. Это предположение не повлияет на правильность результата вычислений.
|
|
|
|
|
|
|
|
Как показано на рисунке выше, максимальное количество итераций "упорядочивания узла сверху вниз" равно расстоянию от этого узла до листового узла, а это расстояние и есть "высота узла". Следовательно, можно просуммировать "количество узлов × высота узла" для каждого уровня, **получив общее количество итераций упорядочивания для всех узлов**.
|
|
|
|
$$
|
|
T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1
|
|
$$
|
|
|
|
Для упрощения этого выражения необходимо использовать знания о числовых последовательностях из средней школы. Сначала умножим $T(h)$ на $2$, получим:
|
|
|
|
$$
|
|
\begin{aligned}
|
|
T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{h-1}\times1 \newline
|
|
2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \dots + 2^{h}\times1 \newline
|
|
\end{aligned}
|
|
$$
|
|
|
|
Используя метод разностного вычитания, вычтем верхнее выражение $T(h)$ из нижнего $2 T(h)$, получим:
|
|
|
|
$$
|
|
2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{h-1} + 2^h
|
|
$$
|
|
|
|
Наблюдая за этим выражением, видим, что $T(h)$ является геометрической прогрессией, можно напрямую использовать формулу суммы, получив временную сложность:
|
|
|
|
$$
|
|
\begin{aligned}
|
|
T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
|
|
& = 2^{h+1} - h - 2 \newline
|
|
& = O(2^h)
|
|
\end{aligned}
|
|
$$
|
|
|
|
Далее, количество узлов совершенного двоичного дерева высотой $h$ равно $n = 2^{h+1} - 1$, легко получить сложность $O(2^h) = O(n)$. Приведенные выше вычисления показывают, что **временная сложность ввода списка и построения кучи составляет $O(n)$, что очень эффективно**. |