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Yudong Jin
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# 연습 문제
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## 개념 확인
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### 언제 동적 계획법을 사용하는 것이 적합한가
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한 학생이 “점화식을 쓸 수만 있으면 동적 계획법을 사용해야 한다.”라고 말했다.
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다음 세 작업에 동적 계획법, 백트래킹, 또는 `dp` 테이블을 만들지 않는 반복문이나 수학 공식 중 어느 방법이 더 적합한지 판단하고, 핵심 이유를 하나씩 적어 보자.
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<!-- numbered-subquestions -->
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1. 액면가가 `[1, 3, 4]`인 동전으로 금액 6을 만들 때 필요한 동전의 최소 개수를 구한다. 각 동전은 반복해서 사용할 수 있다.
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2. `[1, 2, 3]`의 모든 순열을 출력한다.
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3. $1 + 2 + \dots + n$을 계산한다.
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동적 계획법이 적합하다고 판단한 작업에서는 `dp[i]`가 무엇을 나타내는지도 설명하라.
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??? success "참고 답안"
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1. 동적 계획법이 적합하다. `dp[i]`를 금액 `i`를 만드는 데 필요한 동전의 최소 개수로 정의한다.
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`i` 이하인 각 동전 `c`에 대해 `dp[i-c] + 1`을 후보 답으로 삼고,
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이 후보들 중 최솟값을 선택하면 된다. 서로 다른 선택에서 같은 금액을 반복해서 만나며, 더 큰 금액의 최적해도 더 작은 금액의 최적해로 구성할 수 있다.
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금액 6의 답은 2이며, `3 + 3`으로 만들 수 있다.
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2. 백트래킹을 사용해야 한다. 문제에서는 순열 6개를 모두 하나씩 생성해야 한다. 백트래킹은 하나를 선택하고 탐색을 이어 간 뒤,
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선택을 취소하고 다른 분기를 시도하는 과정을 체계적으로 수행할 수 있다. 어떤 방법을 쓰더라도 이 순열들을 실제로 출력하려면 열거 과정을 생략할 수 없다.
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3. 반복문이나 등차수열의 합 공식을 사용하면 된다. `S(i) = S(i-1) + i`라는 점화식을 쓸 수는 있지만, `S(i)`를 계산할 때는 더 작은 값 `S(i-1)` 하나에만 의존한다.
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각 부분합을 한 번만 계산하면 되고 중복되는 부분 문제가 없으므로 `dp` 테이블을 만들 필요가 없다. ‘점화식을 쓸 수 있다’고 해서 ‘동적 계획법이 필요하다’는 뜻은 아니다.
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### 배낭 테이블의 한 칸은 어떻게 계산하는가
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0-1 배낭 문제에서 물건의 무게는 `wgt = [1, 2, 3]`, 가치는 `val = [5, 11, 15]`이며, 배낭 용량은 4다.
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`dp[i][c]`는 앞의 물건 $i$개만 고려하고 배낭 용량의 상한이 $c$일 때 얻을 수 있는 최대 가치를 나타낸다.
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배낭을 반드시 가득 채울 필요는 없다.
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지금은 상태 `dp[3][4]`만 계산한다. `dp[2][4] = 16`, `dp[2][1] = 5`임을 알고 있다.
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<!-- numbered-subquestions -->
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1. 세 번째 물건을 선택하지 않을 때 후보 가치는 얼마인가?
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2. 세 번째 물건을 선택하면 용량이 얼마나 남으며, 후보 가치는 얼마인가?
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3. `dp[3][4]`는 얼마로 정해야 하는가? 이는 어떤 물건들을 선택한 결과인가?
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??? success "참고 답안"
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1. 세 번째 물건을 선택하지 않으면 앞의 두 물건에 대한 결과를 그대로 사용하므로 후보 가치는 `dp[2][4] = 16`이다.
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2. 세 번째 물건의 무게는 3이므로 넣은 뒤 남는 용량은 $4-3=1$이다. 후보 가치는
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`dp[2][1] + 15 = 5 + 15 = 20`이다.
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3. 16과 20을 비교하면 `dp[3][4] = 20`을 얻는다. 이는 첫 번째와 세 번째 물건을 선택한 결과로,
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총무게는 $1+3=4$, 총가치는 $5+15=20$이다.
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이 상태의 계산은 0-1 배낭 문제에서 한 번의 ‘선택하거나 선택하지 않거나’ 비교를 보여 준다.
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### 배낭 용량은 어떤 순서로 갱신해야 하는가
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0-1 배낭 문제에 물건이 하나뿐이며, 무게는 2, 가치는 5다. 배낭 용량은 4다.
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각 물건은 최대 한 번만 선택할 수 있고, 초기 일차원 배열은 `dp = [0, 0, 0, 0, 0]`이다.
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한 학생이 이 물건을 처리하면서 용량을 2부터 4까지 갱신했다.
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- `dp[2]`를 갱신한 뒤 5를 얻었다.
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- `dp[3]`을 갱신한 뒤에도 5를 얻었다.
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- `dp[4]`를 갱신할 때 방금 구한 `dp[2]`를 다시 사용하여 `dp[4] = 10`을 얻었다.
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<!-- numbered-subquestions -->
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1. `dp[4] = 10`이라는 결과가 올바른가? 이유는 무엇인가?
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2. ‘각 물건은 최대 한 번만 선택할 수 있다’는 조건에 따르면 `dp[4]`는 얼마여야 하는가?
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3. 각 물건을 처리할 때 용량을 큰 것부터 작은 것 순으로 갱신해야 하는가, 그 반대인가? 그렇게 하면 어떤 문제를 피할 수 있는가?
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??? success "참고 답안"
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1. 올바르지 않다. 가치 10은 가치가 5인 이 물건을 두 번 넣은 것과 같으므로,
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‘각 물건은 최대 한 번만 선택할 수 있다’는 조건에 어긋난다.
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2. 배낭에는 이 물건 하나만 넣을 수 있으므로 올바른 `dp[4]` 값은 5다.
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3. 용량을 큰 것부터 작은 것 순으로, 즉 4, 3, 2 순으로 갱신해야 한다.
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그러면 `dp[c]`를 계산할 때 읽는 `dp[c-2]`는 아직 현재 물건을 처리하기 전의 결과이므로,
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같은 회전에서 현재 물건을 반복해서 사용하지 않게 된다.
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## 프로그래밍 연습
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### 계단을 오르는 방법의 수
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계단은 총 `n`칸이다. 한 번에 1칸 또는 2칸만 올라갈 수 있으며, 정확히 `n`번째 칸에 도착해야 한다.
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서로 다른 방법이 모두 몇 가지인지 계산하라. `n >= 1`이며, 각 걸음에서 1칸을 오르는지 2칸을 오르는지에 따라서만 방법을 구분한다.
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일차원 동적 계획법 배열을 사용하라. 상태 두 개만 유지하는 공간 최적화 방식은 아직 사용하지 마라.
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??? tip "풀이 힌트"
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1. i번째 칸에 도착하는 마지막 걸음은 1칸 또는 2칸을 오르는 것뿐이다.
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2. 따라서 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]다.
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3. n이 1과 2인 경우를 먼저 처리한 뒤, 세 번째 칸부터 테이블을 채운다.
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[LeetCode](https://leetcode.com/problems/climbing-stairs/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }
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### 0-1 배낭 문제
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길이가 같은 배열 `wgt`와 `val`이 주어진다. `i`번째 물건의 무게 `wgt[i]`는 양의 정수이고, 가치 `val[i]`는 음이 아닌 정수다.
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배낭 용량 `cap`은 음이 아닌 정수다. 각 물건은 최대 한 번만 선택할 수 있다. 총무게가 `cap`을 넘지 않는 조건에서
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배낭에 넣을 수 있는 최대 총가치를 구하라. 일차원 동적 계획법으로 구현하라.
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??? tip "풀이 힌트"
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1. 길이가 cap + 1인 배열 dp를 초기화한다. dp[c]는 용량 상한이 c일 때의 최대 가치를 나타낸다.
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2. 물건 i를 처리할 때 ‘선택하지 않는 경우’의 dp[c]와 ‘선택하는 경우’의 dp[c-wgt[i]] + val[i]를 비교한다.
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3. 같은 회전에서 현재 물건을 반복해서 선택하지 않도록 용량을 반드시 큰 것부터 작은 것 순으로 갱신해야 한다.
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