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Yudong Jin
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# 탐욕 알고리즘
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<u>탐욕 알고리즘(greedy algorithm)</u>은 최적화 문제를 푸는 대표적인 알고리즘이다. 매 결정 단계에서 현재 가장 좋아 보이는 선택, 즉 국소적으로 최적인 결정을 탐욕적으로 내려 전역 최적해를 얻으려는 것이 기본 아이디어다. 간결하고 효율적이어서 많은 실제 문제에 널리 쓰인다.
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탐욕 알고리즘과 동적 계획법은 모두 최적화 문제에 자주 사용한다. 최적 부분 구조에 의존한다는 공통점 등이 있지만 작동 원리는 다르다.
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- 동적 계획법은 이전 단계의 모든 결정을 바탕으로 현재 결정을 고려하고, 과거 부분 문제의 해로 현재 부분 문제의 해를 구성한다.
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- 탐욕 알고리즘은 과거 결정을 고려하지 않고 계속 앞으로 나아가며 탐욕적으로 선택한다. 문제의 범위를 점차 줄여 해결될 때까지 진행한다.
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먼저 '동전 교환' 예제로 탐욕 알고리즘의 원리를 알아보자. '무한 배낭 문제' 절에서 소개한 문제라 익숙할 것이다.
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!!! question "문제"
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동전 $n$ 종류가 주어지며 $i$ 번째 동전의 액면가는 $coins[i - 1]$이고 목표 금액은 $amt$다. 각 종류의 동전을 반복해서 선택할 수 있을 때 목표 금액을 만드는 최소 동전 수를 구하라. 만들 수 없다면 $-1$을 반환하라.
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이 문제에서 사용하는 탐욕 전략은 아래 그림과 같다. 주어진 목표 금액에 대해 **그 금액을 넘지 않으면서 가장 가까운 액면가의 동전을 탐욕적으로 고르고**, 목표 금액을 만들 때까지 반복한다.
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구현 코드는 다음과 같다.
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```src
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[file]{coin_change_greedy}-[class]{}-[func]{coin_change_greedy}
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```
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'정말 간결하다!'라는 감탄이 나올 만하다. 탐욕 알고리즘은 약 열 줄의 코드만으로 동전 교환 문제를 해결했다.
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## 탐욕 알고리즘의 장점과 한계
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**탐욕 알고리즘은 연산이 직접적이고 구현이 간단할 뿐 아니라 보통 효율도 매우 높다**. 위 코드에서 최소 액면가를 $\min(coins)$라고 하면 탐욕적 선택은 최대 $amt / \min(coins)$ 번 반복하므로 시간 복잡도는 $O(amt / \min(coins))$이다. 동적 계획법의 $O(n \times amt)$보다 한 차수 낮다.
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하지만 **일부 동전 액면가 조합에서는 최적해를 찾지 못한다**. 아래 그림은 두 예를 보여 준다.
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- **성립 예 $coins = [1, 5, 10, 20, 50, 100]$**: 이 동전 조합에서는 어떤 $amt$에 대해서도 탐욕 알고리즘이 최적해를 찾는다.
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- **반례 $coins = [1, 20, 50]$**: $amt = 60$이면 탐욕 알고리즘은 $50 + 1 \times 10$으로 동전 $11$ 개를 고른다. 하지만 동적 계획법은 $20 + 20 + 20$이라는 최적해를 찾아 $3$ 개만 사용한다.
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- **반례 $coins = [1, 49, 50]$**: $amt = 98$이면 탐욕 알고리즘은 $50 + 1 \times 48$로 동전 $49$ 개를 고른다. 하지만 동적 계획법은 $49 + 49$라는 최적해를 찾아 $2$ 개만 사용한다.
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즉, 동전 교환에서 탐욕 알고리즘은 전역 최적해를 보장하지 못하고 매우 나쁜 해를 찾을 수도 있다. 이 문제는 동적 계획법으로 푸는 편이 더 적합하다.
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일반적으로 탐욕 알고리즘을 적용하는 상황은 다음 두 가지다.
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1. **최적해를 보장할 수 있다**: 보통 백트래킹이나 동적 계획법보다 효율적이므로 이런 경우에는 탐욕 알고리즘이 가장 좋은 선택인 경우가 많다.
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2. **최적해에 가까운 해를 찾을 수 있다**: 이 경우에도 탐욕 알고리즘을 쓸 수 있다. 복잡한 문제에서는 전역 최적해를 찾기 매우 어려우므로, 효율적으로 차선의 해를 찾는 것만으로도 유용하다.
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## 탐욕 알고리즘의 특성
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그렇다면 어떤 문제가 탐욕 알고리즘에 적합할까? 다시 말해 어떤 경우에 최적해를 보장할 수 있을까?
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탐욕 알고리즘은 동적 계획법보다 적용 조건이 엄격하며, 주로 다음 두 성질에 주목한다.
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- **탐욕적 선택 속성**: 국소 최적 선택이 항상 전역 최적해로 이어져야만 탐욕 알고리즘이 최적해를 보장할 수 있다.
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- **최적 부분 구조**: 원래 문제의 최적해가 부분 문제의 최적해를 포함한다.
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최적 부분 구조는 '동적 계획법' 장에서 설명했으므로 반복하지 않는다. 일부 문제는 최적 부분 구조가 뚜렷하지 않아도 탐욕 알고리즘으로 해결할 수 있다는 점을 알아 두자.
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여기서는 탐욕적 선택 속성을 판단하는 방법을 주로 살펴본다. 설명은 간단해 보이지만 **많은 문제에서 이 속성을 증명하기는 쉽지 않다**.
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예를 들어 동전 교환에서는 반례로 탐욕적 선택 속성을 부정하기는 쉽지만 증명하기는 어렵다. **어떤 조건을 만족하는 동전 조합을 탐욕 알고리즘으로 풀 수 있는가**라는 질문에는 직관이나 사례를 바탕으로 애매한 답을 내놓기 쉽고, 엄밀한 수학적 증명을 제시하기는 어렵다.
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!!! quote "참고 문헌"
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어떤 동전 조합에 대해 탐욕 알고리즘이 모든 금액의 최적해를 찾을 수 있는지 판단하는 $O(n^3)$ 알고리즘을 제시한 논문이 있다.
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Pearson, D. A polynomial-time algorithm for the change-making problem[J]. Operations Research Letters, 2005, 33(3): 231-234.
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## 탐욕 알고리즘의 문제 해결 단계
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탐욕 문제의 풀이 과정은 대체로 다음 세 단계다.
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1. **문제 분석**: 상태 정의, 최적화 목표, 제약 조건 등 문제의 특성을 정리하고 이해한다. 백트래킹과 동적 계획법에서도 필요한 단계다.
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2. **탐욕 전략 결정**: 매 단계에서 어떻게 탐욕적으로 선택할지 정한다. 각 단계에서 문제 크기를 줄여 최종적으로 전체 문제를 해결할 수 있어야 한다.
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3. **정확성 증명**: 보통 탐욕적 선택 속성과 최적 부분 구조를 증명해야 한다. 귀납법이나 귀류법 같은 수학적 증명이 필요할 수 있다.
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탐욕 전략을 정하는 것이 핵심 단계지만, 다음 이유로 쉽지 않을 수 있다.
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- **문제마다 탐욕 전략이 크게 다르다**. 많은 문제는 전략이 비교적 명확하여 대략적인 생각과 시도만으로 찾을 수 있다. 반면 복잡한 문제에서는 전략이 잘 드러나지 않아 문제 풀이 경험과 알고리즘 역량이 크게 요구된다.
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- **일부 탐욕 전략은 그럴듯해 보이지만 함정이 있다**. 자신 있게 전략을 설계하고 코드를 작성해 제출해도 일부 테스트를 통과하지 못할 수 있다. 전략이 '부분적으로만 옳기' 때문이다. 앞에서 본 동전 교환이 대표적인 사례다.
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정확성을 보장하려면 탐욕 전략을 엄밀히 증명해야 하며, **보통 귀류법이나 수학적 귀납법을 사용한다**.
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하지만 정확성 증명 자체도 쉽지 않을 수 있다. 실마리가 없으면 보통 테스트 사례로 코드를 디버깅하면서 탐욕 전략을 조금씩 수정하고 검증한다.
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## 대표적인 탐욕 알고리즘 문제
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탐욕 알고리즘은 탐욕적 선택 속성과 최적 부분 구조를 만족하는 최적화 문제에 자주 사용한다. 대표적인 예는 다음과 같다.
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- **동전 거스름돈 문제**: 일부 동전 조합에서는 탐욕 알고리즘이 항상 최적해를 얻는다.
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- **구간 스케줄링 문제**: 각 작업이 일정 시간 구간에 걸쳐 진행될 때 가능한 한 많은 작업을 완료하는 것이 목표다. 매번 가장 일찍 끝나는 작업을 고르면 최적해를 얻을 수 있다.
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- **분할 가능한 배낭 문제**: 물건들과 적재 용량이 주어졌을 때 총무게가 용량을 넘지 않으면서 총가치가 최대가 되도록 물건을 고른다. 매번 무게 대비 가치의 비율(가치 / 무게)이 가장 높은 물건을 고르면 일부 경우에 최적해를 얻을 수 있다.
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- **주식 매매 문제**: 주가의 과거 기록이 주어졌을 때 여러 번 매매하여 최대 이익을 구한다. 단, 이미 주식을 보유하고 있으면 팔기 전에는 다시 살 수 없다.
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- **허프먼 코딩**: 무손실 데이터 압축에 쓰이는 탐욕 알고리즘이다. 매번 빈도가 가장 낮은 두 노드를 합쳐 허프먼 트리를 만들면, 최종 트리의 가중 경로 길이(부호 길이)가 최소가 된다.
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- **Dijkstra 알고리즘**: 모든 간선 가중치가 음이 아닌 그래프에서 주어진 시작 정점부터 나머지 정점까지의 최단 경로를 구하는 탐욕 알고리즘이다.
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