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Yudong Jin
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# 練習
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## 知識鞏固
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### 哪些任務適合分治
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一位同學想用“先分成兩半，分別解決，再合併結果”的方法完成以下任務。
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請分別判斷它們是“適合分治”“可以分治，但不會減少總工作量”還是“兩半不能獨立解決”，並說明理由。
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<!-- numbered-subquestions -->
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1. 將一個無序陣列排序；
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2. 求一個陣列中的最大值；
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3. 按順序執行一串 `push(x)`、`pop()` 堆疊操作，並輸出每次 `pop()` 得到的元素。
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??? success "參考答案"
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1. 適合：對半分解、兩半獨立排序、$O(n)$ 合併——這正是合併排序。
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2. 可以分治，但不會減少總工作量：左右兩半仍需合計檢查全部 $n$ 個元素，
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和直接掃描一樣都是 $O(n)$ 時間。
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3. 兩半不能獨立解決：後半段開始時的堆疊內容取決於前半段執行結果，
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兩半不能在互不知道結果時獨立完成。
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### 快速冪是怎樣減少計算的
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下面的遞迴函式用分治計算 $x^n$：
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```python
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def fast_pow(x, n):
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if n == 0:
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return 1
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half = fast_pow(x, n // 2)
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if n % 2 == 0:
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return half * half
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return half * half * x
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```
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用它計算 `fast_pow(3, 5)`：
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<!-- numbered-subquestions -->
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1. 遞迴呼叫時，參數 `n` 依次變成哪些值？
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2. 從最深層開始返回時，各層依次返回什麼值？
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3. 為什麼要先儲存 `half`，而不是把 `fast_pow(x, n // 2)` 寫兩遍？
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??? success "參考答案"
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1. 參數依次為 `5 → 2 → 1 → 0`，每次都把指數減半，直到到達終止條件。
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2. `n = 0` 時返回 1；`n = 1` 時返回 $1×1×3=3$；
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`n = 2` 時返回 $3×3=9$；`n = 5` 時返回 $9×9×3=243$。
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3. 如果把 `fast_pow(x, n // 2)` 在乘法兩邊各寫一次，兩次遞迴會計算完全相同的子問題。
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先把結果儲存為 `half`，每層就只遞迴一次，遞迴深度約為 $\log n$；
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呼叫兩次會造成大量重複計算。
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### 從走訪序列拆分左右子樹
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一棵沒有重複節點的二元樹，其前序走訪和中序走訪分別為：
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- 前序走訪：`[A, B, D, E, C]`
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- 中序走訪：`[D, B, E, A, C]`
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只完成根節點這一層的拆分，不必繼續遞迴，也不必畫出整棵樹：
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<!-- numbered-subquestions -->
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1. 根節點是什麼？
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2. 左、右子樹在中序走訪中分別對應哪一段？
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3. 左、右子樹在前序走訪中分別對應哪一段？根節點有哪些直接孩子？
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??? success "參考答案"
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1. 前序走訪的第一個節點是根節點，因此根節點為 `A`。
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2. `A` 把中序走訪分成兩部分：左子樹為 `[D, B, E]`，右子樹為 `[C]`。
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3. 左子樹有 3 個節點，因此根節點 `A` 後面的 3 個前序元素屬於左子樹，
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即 `[B, D, E]`；剩餘的 `[C]` 屬於右子樹。
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所以根節點的左孩子是 `B`，右孩子是 `C`。
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## 程式設計練習
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### 快速冪
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給定實數 `x` 和整數 `n`，請計算 $x^n$，且不能呼叫語言內建的冪函式。
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要求使用遞迴分治：每次把指數縮小一半，並複用已經算出的子問題結果。
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本題規定 $x^0=1$，包括 `x = 0` 時；當 `n < 0` 時保證 `x != 0`，答案可轉化為 $(1/x)^{-n}$。
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??? tip "解題提示"
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1. n 等於 0 時答案是 1
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2. 算出 x 的 n // 2 次方後儲存為 half，不要遞迴呼叫第二次
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3. 當 n < 0 時，先把 x 改為 1 / x，再把 n 改為 -n；使用 C++ 或 Java 時，可先把 n 轉為 64 位整數，避免最小的 32 位整數取相反數時溢位
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[LeetCode](https://leetcode.cn/problems/powx-n/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" } [題目解析](https://leetcode.cn/problems/powx-n/solutions/241471/50-powx-n-kuai-su-mi-qing-xi-tu-jie-by-jyd/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }
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> **說明：** 連結中的題解使用迭代位運算，與本練習指定的遞迴分治方法不同；請根據本題的解題提示完成遞迴版本
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