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练习

知识巩固

用两种方式表示同一张图

一个无向图有 4 个顶点 A、B、C、D，边为 A-B、A-C、B-C、C-D。

1. 写出它的邻接表；
2. 填写只含 0 和 1 的邻接矩阵；
3. 如果要判断 A 和 D 是否直接相连，哪种图的表示方法只需查看一个存储条目？
4. 如果图的顶点很多但边很少，哪种表示通常更节省空间？

??? success "参考答案"

1. 邻接表为：

    ```text
    A: B, C
    B: A, C
    C: A, B, D
    D: C
    ```

2. 邻接矩阵为：

    | | A | B | C | D |
    | --- | --- | --- | --- | --- |
    | A | 0 | 1 | 1 | 0 |
    | B | 1 | 0 | 1 | 0 |
    | C | 1 | 1 | 0 | 1 |
    | D | 0 | 0 | 1 | 0 |

3. 邻接矩阵可直接查看第 `A` 行、第 `D` 列，因此很适合判断任意两点是否直接相连。

4. 顶点很多但边很少时，邻接表只记录实际存在的边，通常比为每一对顶点都预留位置的邻接矩阵更节省空间。

广度优先与深度优先访问顺序

一个无向图的顶点为 A、B、C、D、E，边为 A-B、A-C、B-D、C-D、D-E。

从 A 出发，并规定遇到多个未访问邻接顶点时按字母顺序选择：

1. 写出广度优先遍历（BFS）的访问顺序；
2. 写出递归深度优先遍历（DFS）的访问顺序；
3. 为什么两种遍历都需要记录已经访问过的顶点？

??? success "参考答案"

1. BFS 的访问顺序为 `A, B, C, D, E`。它先访问离 A 一条边的 B、C，
    再访问更远的 D、E。

2. DFS 的访问顺序为 `A, B, D, C, E`。它依次进入当前顶点的未访问邻接顶点，
    因此先走过 `A → B → D → C`；C 没有新的邻接顶点时回到 D，再访问 E。

3. 图中存在环，例如 `A-B-D-C-A`。如果不记录已访问顶点，
    遍历可能反复沿环访问同一批顶点，无法正常结束。

一次 BFS 能访问整张图吗

一个无向图有顶点 A、B、C、D、E、F，边只有 A-B、B-C、D-E。

1. 从 A 开始进行一次 BFS，可以访问哪些顶点？
2. 根据第 1 问，这一次 BFS 是否已经访问图中的所有顶点？为什么？
3. 若按字母顺序扫描所有顶点，每遇到一个未访问顶点就重新开始 BFS， 各次 BFS 的起点是什么？这个图被分成几个互不连通的部分（连通分量）？

??? success "参考答案"

1. 从 A 出发只能访问 `A、B、C`。

2. 没有访问所有顶点。`D、E` 组成另一个互相连通的部分，F 是单独的顶点；
    它们与 A 之间都没有路径，因此从 A 出发无法到达。

3. 三次 BFS 的起点依次为 `A、D、F`，分别访问
    `{A, B, C}`、`{D, E}` 和 `{F}`。因此这个图有 3 个连通分量。

编程练习

判断无向图中是否存在路径

给定一个含有 n 个顶点的无向图，顶点编号为 0 到 $n-1$。数组 edges 中的每一项 [u, v] 表示顶点 u 和 v 之间有一条无向边。

再给定起点 source 和终点 destination。请先根据 edges 建立邻接表，再使用 BFS 或 DFS 判断是否存在一条从 source 到 destination 的路径：存在则返回 true，否则返回 false。 图中可能有环，也可能不连通。

??? tip "解题提示"

1. 每条无向边需要同时加入两个方向
2. 图中可能有环，必须记录已经访问过的节点
3. 从 source 出发，遇到 destination 返回 true，遍历结束仍未遇到则返回 false

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