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Yudong Jin
104 lines
3.8 KiB
Markdown
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# 练习
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## 知识巩固
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### 用两种方式表示同一张图
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一个无向图有 4 个顶点 `A、B、C、D`，边为
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`A-B、A-C、B-C、C-D`。
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<!-- numbered-subquestions -->
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1. 写出它的邻接表；
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2. 填写只含 0 和 1 的邻接矩阵；
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3. 如果要判断 `A` 和 `D` 是否直接相连，哪种图的表示方法只需查看一个存储条目？
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4. 如果图的顶点很多但边很少，哪种表示通常更节省空间？
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??? success "参考答案"
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1. 邻接表为：
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```text
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A: B, C
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B: A, C
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C: A, B, D
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D: C
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```
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2. 邻接矩阵为：
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| | A | B | C | D |
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| --- | --- | --- | --- | --- |
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| A | 0 | 1 | 1 | 0 |
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| B | 1 | 0 | 1 | 0 |
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| C | 1 | 1 | 0 | 1 |
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| D | 0 | 0 | 1 | 0 |
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3. 邻接矩阵可直接查看第 `A` 行、第 `D` 列，因此很适合判断任意两点是否直接相连。
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4. 顶点很多但边很少时，邻接表只记录实际存在的边，通常比为每一对顶点都预留位置的邻接矩阵更节省空间。
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### 广度优先与深度优先访问顺序
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一个无向图的顶点为 `A、B、C、D、E`，边为
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`A-B、A-C、B-D、C-D、D-E`。
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从 A 出发，并规定遇到多个未访问邻接顶点时按字母顺序选择：
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<!-- numbered-subquestions -->
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1. 写出广度优先遍历（BFS）的访问顺序；
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2. 写出递归深度优先遍历（DFS）的访问顺序；
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3. 为什么两种遍历都需要记录已经访问过的顶点？
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??? success "参考答案"
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1. BFS 的访问顺序为 `A, B, C, D, E`。它先访问离 A 一条边的 B、C，
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再访问更远的 D、E。
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2. DFS 的访问顺序为 `A, B, D, C, E`。它依次进入当前顶点的未访问邻接顶点，
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因此先走过 `A → B → D → C`；C 没有新的邻接顶点时回到 D，再访问 E。
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3. 图中存在环，例如 `A-B-D-C-A`。如果不记录已访问顶点，
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遍历可能反复沿环访问同一批顶点，无法正常结束。
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### 一次 BFS 能访问整张图吗
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一个无向图有顶点 `A、B、C、D、E、F`，边只有
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`A-B、B-C、D-E`。
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<!-- numbered-subquestions -->
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1. 从 A 开始进行一次 BFS，可以访问哪些顶点？
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2. 根据第 1 问，这一次 BFS 是否已经访问图中的所有顶点？为什么？
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3. 若按字母顺序扫描所有顶点，每遇到一个未访问顶点就重新开始 BFS，
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各次 BFS 的起点是什么？这个图被分成几个互不连通的部分（连通分量）？
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??? success "参考答案"
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1. 从 A 出发只能访问 `A、B、C`。
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2. 没有访问所有顶点。`D、E` 组成另一个互相连通的部分，F 是单独的顶点；
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它们与 A 之间都没有路径，因此从 A 出发无法到达。
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3. 三次 BFS 的起点依次为 `A、D、F`，分别访问
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`{A, B, C}`、`{D, E}` 和 `{F}`。因此这个图有 3 个连通分量。
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## 编程练习
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### 判断无向图中是否存在路径
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给定一个含有 $n$ 个顶点的无向图，顶点编号为 $0$ 到 $n-1$。数组 `edges` 中的每一项 `[u, v]` 表示顶点 `u` 和 `v` 之间有一条无向边。
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再给定起点 `source` 和终点 `destination`。请先根据 `edges` 建立邻接表，再使用 BFS 或 DFS
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判断是否存在一条从 `source` 到 `destination` 的路径：存在则返回 `true`，否则返回 `false`。
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图中可能有环，也可能不连通。
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??? tip "解题提示"
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1. 每条无向边需要同时加入两个方向
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2. 图中可能有环，必须记录已经访问过的节点
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3. 从 source 出发，遇到 destination 返回 true，遍历结束仍未遇到则返回 false
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[LeetCode](https://leetcode.cn/problems/find-if-path-exists-in-graph/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }
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