hello-algo/ru/docs/chapter_computational_complexity/exercises.md

Упражнения

Вопросы для самопроверки

Временная и пространственная сложность итерации и рекурсии

Обе функции ниже вычисляют 1 + 2 + \dots + n (считайте, что n \ge 1). Присвойте n значение 4, ответьте на вопросы в порядке фактического выполнения программы, а затем сравните эффективность двух вариантов.

def sum_iter(n):
    s = 0
    for i in range(1, n + 1):
        s += i
    return s

def sum_recur(n):
    if n == 1:
        return 1
    return n + sum_recur(n - 1)

1. Какие значения принимает переменная s после каждой итерации при выполнении sum_iter(4)?
2. Какие функции поочередно вызываются при выполнении sum_recur(4)? Как формируется результат при возврате, начиная с самого глубокого вызова?
3. Каковы временная и пространственная сложности каждого варианта? Обоснуйте ответ, опираясь на процессы выполнения из вопросов 1 и 2.

??? success "Ответ"

1. Переменная цикла `i` поочередно принимает значения `1, 2, 3, 4`, а `s` после каждой итерации становится равной
    `1, 3, 6, 10`. Поэтому `sum_iter(4)` возвращает 10.

2. Функции вызываются в следующем порядке:
    `sum_recur(4) → sum_recur(3) → sum_recur(2) → sum_recur(1)`.
    `sum_recur(1)` возвращает 1, после чего следующие уровни поочередно получают `2 + 1 = 3`, `3 + 3 = 6` и `4 + 6 = 10`.
    В самой глубокой точке все 4 вызова функции еще не завершены.

3. В обеих функциях число итераций или вызовов пропорционально $n$, поэтому их временная сложность равна $O(n)$.
    Пространственная сложность различается: итеративный вариант использует постоянное число переменных, поэтому она равна $O(1)$;
    в рекурсивном варианте предыдущие вызовы ожидают возврата результата до достижения условия завершения, поэтому в стеке вызовов одновременно хранится до $n$ вызовов.
    Его пространственная сложность равна $O(n)$.

    При анализе пространственной сложности нужно учитывать не только переменные в коде, но и память, занимаемую рекурсивными вызовами.

Временная сложность трех фрагментов кода

Во всех трех фрагментах кода входные данные — положительное целое число n. Расположите фрагменты в порядке возрастания временной сложности и укажите сложность каждого из них.

# Фрагмент 1
s = 0
for i in range(n):
    s += i

# Фрагмент 2
s = 0
for i in range(n):
    for j in range(i, n):
        s += j

# Фрагмент 3
while n > 1:
    n = n // 2

??? success "Ответ"

Порядок от меньшей сложности к большей: фрагмент 3 — $O(\log n)$, фрагмент 1 — $O(n)$, фрагмент 2 — $O(n^2)$.
В фрагменте 3 на каждой итерации $n$ уменьшается вдвое, поэтому цикл выполняется примерно $\log_2 n$ раз.
Цикл во фрагменте 1 выполняется ровно $n$ раз. Число итераций внутреннего цикла во фрагменте 2 последовательно равно
$n,n-1,\dots,1$, а их сумма — $n(n+1)/2$, поэтому сложность квадратичная.

Какой способ разворота экономнее по памяти

Все элементы массива nums можно расположить в обратном порядке двумя способами:

1. создать новый массив res той же длины, скопировать в него элементы в обратном порядке и вернуть его;

2. задать два индекса i и j, перемещать их от начала и конца массива к середине и попарно менять местами nums[i] и nums[j].

   Какова пространственная сложность каждого способа? Какой из них выполняет операцию «на месте»?

??? success "Ответ"

1. Требуется вспомогательный массив той же длины, что и входной, поэтому пространственная сложность равна $O(n)$.

2. Используются только две индексные переменные,
    поэтому пространственная сложность равна $O(1)$, а операция выполняется на месте.

    Обратите внимание: разворот на месте изменяет входной массив,
    поэтому его следует предпочитать только тогда, когда менять входные данные разрешено. Если исходный массив нужно сохранить, затрат на копирование в способе 1 не избежать.

Задачи по программированию

Число Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи задается так: F(0)=0, F(1)=1, а при n\ge2 выполняется F(n)=F(n-1)+F(n-2).

Дано неотрицательное целое число n. Вычислите и верните F(n) с помощью цикла, не используя рекурсию.

??? tip "Подсказки"

1. Сначала отдельно обработайте случаи, когда n равно 0 или 1
2. Для вычисления следующего члена нужны только два предыдущих, поэтому хранить всю последовательность не требуется
3. Обновляя две переменные, не перезапишите слишком рано старое значение, которое еще понадобится

LeetCode{ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }