mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-07-22 03:16:08 +00:00
Yudong Jin
111 lines
7.3 KiB
Markdown
111 lines
7.3 KiB
Markdown
# Упражнения
|
||
|
||
## Вопросы для самопроверки
|
||
|
||
### Временная и пространственная сложность итерации и рекурсии
|
||
|
||
Обе функции ниже вычисляют $1 + 2 + \dots + n$ (считайте, что $n \ge 1$). Присвойте `n` значение 4,
|
||
ответьте на вопросы в порядке фактического выполнения программы, а затем сравните эффективность двух вариантов.
|
||
|
||
```python
|
||
def sum_iter(n):
|
||
s = 0
|
||
for i in range(1, n + 1):
|
||
s += i
|
||
return s
|
||
|
||
def sum_recur(n):
|
||
if n == 1:
|
||
return 1
|
||
return n + sum_recur(n - 1)
|
||
```
|
||
|
||
<!-- numbered-subquestions -->
|
||
|
||
1. Какие значения принимает переменная `s` после каждой итерации при выполнении `sum_iter(4)`?
|
||
2. Какие функции поочередно вызываются при выполнении `sum_recur(4)`? Как формируется результат при возврате, начиная с самого глубокого вызова?
|
||
3. Каковы временная и пространственная сложности каждого варианта? Обоснуйте ответ, опираясь на процессы выполнения из вопросов 1 и 2.
|
||
|
||
??? success "Ответ"
|
||
|
||
1. Переменная цикла `i` поочередно принимает значения `1, 2, 3, 4`, а `s` после каждой итерации становится равной
|
||
`1, 3, 6, 10`. Поэтому `sum_iter(4)` возвращает 10.
|
||
|
||
2. Функции вызываются в следующем порядке:
|
||
`sum_recur(4) → sum_recur(3) → sum_recur(2) → sum_recur(1)`.
|
||
`sum_recur(1)` возвращает 1, после чего следующие уровни поочередно получают `2 + 1 = 3`, `3 + 3 = 6` и `4 + 6 = 10`.
|
||
В самой глубокой точке все 4 вызова функции еще не завершены.
|
||
|
||
3. В обеих функциях число итераций или вызовов пропорционально $n$, поэтому их временная сложность равна $O(n)$.
|
||
Пространственная сложность различается: итеративный вариант использует постоянное число переменных, поэтому она равна $O(1)$;
|
||
в рекурсивном варианте предыдущие вызовы ожидают возврата результата до достижения условия завершения, поэтому в стеке вызовов одновременно хранится до $n$ вызовов.
|
||
Его пространственная сложность равна $O(n)$.
|
||
|
||
При анализе пространственной сложности нужно учитывать не только переменные в коде, но и память, занимаемую рекурсивными вызовами.
|
||
|
||
### Временная сложность трех фрагментов кода
|
||
|
||
Во всех трех фрагментах кода входные данные — положительное целое число $n$. Расположите фрагменты в порядке возрастания временной сложности и укажите сложность каждого из них.
|
||
|
||
```python
|
||
# Фрагмент 1
|
||
s = 0
|
||
for i in range(n):
|
||
s += i
|
||
|
||
# Фрагмент 2
|
||
s = 0
|
||
for i in range(n):
|
||
for j in range(i, n):
|
||
s += j
|
||
|
||
# Фрагмент 3
|
||
while n > 1:
|
||
n = n // 2
|
||
```
|
||
|
||
??? success "Ответ"
|
||
|
||
Порядок от меньшей сложности к большей: фрагмент 3 — $O(\log n)$, фрагмент 1 — $O(n)$, фрагмент 2 — $O(n^2)$.
|
||
В фрагменте 3 на каждой итерации $n$ уменьшается вдвое, поэтому цикл выполняется примерно $\log_2 n$ раз.
|
||
Цикл во фрагменте 1 выполняется ровно $n$ раз. Число итераций внутреннего цикла во фрагменте 2 последовательно равно
|
||
$n,n-1,\dots,1$, а их сумма — $n(n+1)/2$, поэтому сложность квадратичная.
|
||
|
||
### Какой способ разворота экономнее по памяти
|
||
|
||
Все элементы массива `nums` можно расположить в обратном порядке двумя способами:
|
||
|
||
<!-- numbered-subquestions -->
|
||
|
||
1. создать новый массив `res` той же длины, скопировать в него элементы в обратном порядке и вернуть его;
|
||
2. задать два индекса `i` и `j`, перемещать их от начала и конца массива к середине и попарно менять местами `nums[i]` и `nums[j]`.
|
||
|
||
Какова пространственная сложность каждого способа? Какой из них выполняет операцию «на месте»?
|
||
|
||
??? success "Ответ"
|
||
|
||
1. Требуется вспомогательный массив той же длины, что и входной, поэтому пространственная сложность равна $O(n)$.
|
||
|
||
2. Используются только две индексные переменные,
|
||
поэтому пространственная сложность равна $O(1)$, а операция выполняется на месте.
|
||
|
||
Обратите внимание: разворот на месте изменяет входной массив,
|
||
поэтому его следует предпочитать только тогда, когда менять входные данные разрешено. Если исходный массив нужно сохранить, затрат на копирование в способе 1 не избежать.
|
||
|
||
## Задачи по программированию
|
||
|
||
### Число Фибоначчи
|
||
|
||
Последовательность Фибоначчи задается так: $F(0)=0$, $F(1)=1$, а при $n\ge2$
|
||
выполняется $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$.
|
||
|
||
Дано неотрицательное целое число `n`. Вычислите и верните $F(n)$ с помощью цикла, не используя рекурсию.
|
||
|
||
??? tip "Подсказки"
|
||
|
||
1. Сначала отдельно обработайте случаи, когда n равно 0 или 1
|
||
2. Для вычисления следующего члена нужны только два предыдущих, поэтому хранить всю последовательность не требуется
|
||
3. Обновляя две переменные, не перезапишите слишком рано старое значение, которое еще понадобится
|
||
|
||
[LeetCode](https://leetcode.com/problems/fibonacci-number/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }
|