hello-algo/ru/docs/chapter_graph/exercises.md

Упражнения

Вопросы для самопроверки

Два представления одного графа

Неориентированный граф содержит 4 вершины A, B, C, D и ребра A-B, A-C, B-C, C-D.

1. Запишите его список смежности.
2. Заполните матрицу смежности, содержащую только 0 и 1.
3. Какое представление графа позволяет определить, соединены ли напрямую A и D, просмотрев лишь один элемент хранилища?
4. Какое представление обычно экономнее по памяти, если в графе много вершин, но мало ребер?

??? success "Ответ"

1. Список смежности:

    ```text
    A: B, C
    B: A, C
    C: A, B, D
    D: C
    ```

2. Матрица смежности:

    | | A | B | C | D |
    | --- | --- | --- | --- | --- |
    | A | 0 | 1 | 1 | 0 |
    | B | 1 | 0 | 1 | 0 |
    | C | 1 | 1 | 0 | 1 |
    | D | 0 | 0 | 1 | 0 |

3. В матрице смежности достаточно посмотреть ячейку на пересечении строки `A` и столбца `D`, поэтому она удобна для проверки прямой связи любой пары вершин.

4. Если вершин много, а ребер мало, список смежности хранит только существующие ребра и обычно занимает меньше памяти, чем матрица, в которой место отводится каждой паре вершин.

Порядок обхода в ширину и в глубину

Неориентированный граф содержит вершины A, B, C, D, E и ребра A-B, A-C, B-D, C-D, D-E.

Начните с A и при наличии нескольких непосещенных смежных вершин выбирайте их в алфавитном порядке.

1. Запишите порядок обхода в ширину (BFS).
2. Запишите порядок рекурсивного обхода в глубину (DFS).
3. Почему при обоих обходах необходимо отмечать уже посещенные вершины?

??? success "Ответ"

1. Порядок BFS: `A, B, C, D, E`. Сначала посещаются B и C, отстоящие от A на одно ребро,
    а затем более далекие D и E.

2. Порядок DFS: `A, B, D, C, E`. Обход последовательно переходит в непосещенную смежную вершину текущей вершины,
    поэтому сначала проходит путь `A → B → D → C`. Когда у C не остается новых смежных вершин, обход возвращается к D и посещает E.

3. В графе есть цикл, например `A-B-D-C-A`. Если не отмечать посещенные вершины,
    обход может снова и снова проходить по циклу через одни и те же вершины и не завершиться.

Можно ли посетить весь граф за один BFS

Неориентированный граф содержит вершины A, B, C, D, E, F и только ребра A-B, B-C, D-E.

1. Какие вершины можно посетить за один BFS, начав с A?
2. Посещены ли после этого все вершины графа? Почему?
3. Если перебирать все вершины в алфавитном порядке и запускать новый BFS при каждой непосещенной вершине, какие вершины станут начальными для отдельных запусков? На сколько несвязанных частей (компонент связности) разделен граф?

??? success "Ответ"

1. Из A можно посетить только `A, B, C`.

2. Не все вершины посещены. `D, E` образуют другую связную часть, а F — отдельная вершина;
    путей от A до них нет, поэтому из A они недостижимы.

3. Начальными вершинами трех запусков BFS будут последовательно `A, D, F`; они посетят
    `{A, B, C}`, `{D, E}` и `{F}` соответственно. Следовательно, граф содержит 3 компоненты связности.

Задачи по программированию

Проверка существования пути в неориентированном графе

Дан неориентированный граф из n вершин, пронумерованных от 0 до n-1. Каждый элемент [u, v] массива edges обозначает неориентированное ребро между вершинами u и v.

Также даны начальная вершина source и конечная вершина destination. Сначала постройте по edges список смежности, а затем с помощью BFS или DFS определите, существует ли путь от source до destination: если существует, верните true, иначе — false. Граф может содержать циклы и быть несвязным.

??? tip "Подсказки"

1. Каждое неориентированное ребро нужно добавить в обоих направлениях
2. Граф может содержать циклы, поэтому обязательно отмечайте уже посещенные вершины
3. Начните с source: встретив destination, верните true; если обход завершился без нее, верните false

LeetCode{ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }