mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-07-21 19:06:11 +00:00
Yudong Jin
104 lines
6.5 KiB
Markdown
104 lines
6.5 KiB
Markdown
# Упражнения
|
|
|
|
## Вопросы для самопроверки
|
|
|
|
### Два представления одного графа
|
|
|
|
Неориентированный граф содержит 4 вершины `A, B, C, D` и ребра
|
|
`A-B, A-C, B-C, C-D`.
|
|
|
|
<!-- numbered-subquestions -->
|
|
|
|
1. Запишите его список смежности.
|
|
2. Заполните матрицу смежности, содержащую только 0 и 1.
|
|
3. Какое представление графа позволяет определить, соединены ли напрямую `A` и `D`, просмотрев лишь один элемент хранилища?
|
|
4. Какое представление обычно экономнее по памяти, если в графе много вершин, но мало ребер?
|
|
|
|
??? success "Ответ"
|
|
|
|
1. Список смежности:
|
|
|
|
```text
|
|
A: B, C
|
|
B: A, C
|
|
C: A, B, D
|
|
D: C
|
|
```
|
|
|
|
2. Матрица смежности:
|
|
|
|
| | A | B | C | D |
|
|
| --- | --- | --- | --- | --- |
|
|
| A | 0 | 1 | 1 | 0 |
|
|
| B | 1 | 0 | 1 | 0 |
|
|
| C | 1 | 1 | 0 | 1 |
|
|
| D | 0 | 0 | 1 | 0 |
|
|
|
|
3. В матрице смежности достаточно посмотреть ячейку на пересечении строки `A` и столбца `D`, поэтому она удобна для проверки прямой связи любой пары вершин.
|
|
|
|
4. Если вершин много, а ребер мало, список смежности хранит только существующие ребра и обычно занимает меньше памяти, чем матрица, в которой место отводится каждой паре вершин.
|
|
|
|
### Порядок обхода в ширину и в глубину
|
|
|
|
Неориентированный граф содержит вершины `A, B, C, D, E` и ребра
|
|
`A-B, A-C, B-D, C-D, D-E`.
|
|
|
|
Начните с A и при наличии нескольких непосещенных смежных вершин выбирайте их в алфавитном порядке.
|
|
|
|
<!-- numbered-subquestions -->
|
|
|
|
1. Запишите порядок обхода в ширину (BFS).
|
|
2. Запишите порядок рекурсивного обхода в глубину (DFS).
|
|
3. Почему при обоих обходах необходимо отмечать уже посещенные вершины?
|
|
|
|
??? success "Ответ"
|
|
|
|
1. Порядок BFS: `A, B, C, D, E`. Сначала посещаются B и C, отстоящие от A на одно ребро,
|
|
а затем более далекие D и E.
|
|
|
|
2. Порядок DFS: `A, B, D, C, E`. Обход последовательно переходит в непосещенную смежную вершину текущей вершины,
|
|
поэтому сначала проходит путь `A → B → D → C`. Когда у C не остается новых смежных вершин, обход возвращается к D и посещает E.
|
|
|
|
3. В графе есть цикл, например `A-B-D-C-A`. Если не отмечать посещенные вершины,
|
|
обход может снова и снова проходить по циклу через одни и те же вершины и не завершиться.
|
|
|
|
### Можно ли посетить весь граф за один BFS
|
|
|
|
Неориентированный граф содержит вершины `A, B, C, D, E, F` и только ребра
|
|
`A-B, B-C, D-E`.
|
|
|
|
<!-- numbered-subquestions -->
|
|
|
|
1. Какие вершины можно посетить за один BFS, начав с A?
|
|
2. Посещены ли после этого все вершины графа? Почему?
|
|
3. Если перебирать все вершины в алфавитном порядке и запускать новый BFS при каждой непосещенной вершине,
|
|
какие вершины станут начальными для отдельных запусков? На сколько несвязанных частей (компонент связности) разделен граф?
|
|
|
|
??? success "Ответ"
|
|
|
|
1. Из A можно посетить только `A, B, C`.
|
|
|
|
2. Не все вершины посещены. `D, E` образуют другую связную часть, а F — отдельная вершина;
|
|
путей от A до них нет, поэтому из A они недостижимы.
|
|
|
|
3. Начальными вершинами трех запусков BFS будут последовательно `A, D, F`; они посетят
|
|
`{A, B, C}`, `{D, E}` и `{F}` соответственно. Следовательно, граф содержит 3 компоненты связности.
|
|
|
|
## Задачи по программированию
|
|
|
|
### Проверка существования пути в неориентированном графе
|
|
|
|
Дан неориентированный граф из $n$ вершин, пронумерованных от $0$ до $n-1$. Каждый элемент `[u, v]` массива `edges` обозначает неориентированное ребро между вершинами `u` и `v`.
|
|
|
|
Также даны начальная вершина `source` и конечная вершина `destination`. Сначала постройте по `edges` список смежности, а затем с помощью BFS или DFS
|
|
определите, существует ли путь от `source` до `destination`: если существует, верните `true`, иначе — `false`.
|
|
Граф может содержать циклы и быть несвязным.
|
|
|
|
??? tip "Подсказки"
|
|
|
|
1. Каждое неориентированное ребро нужно добавить в обоих направлениях
|
|
2. Граф может содержать циклы, поэтому обязательно отмечайте уже посещенные вершины
|
|
3. Начните с source: встретив destination, верните true; если обход завершился без нее, верните false
|
|
|
|
[LeetCode](https://leetcode.com/problems/find-if-path-exists-in-graph/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }
|