xinyin025/hello-algo
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hello-algo/ja/docs/chapter_tree/avl_tree.md
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2026-04-03 18:46:15 +08:00

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# 7.5   AVL 木 *
「二分探索木」章で述べたように、挿入と削除を何度も繰り返すと、二分探索木は連結リストへ退化する可能性があります。この場合、すべての操作の時間計算量は $O(\log n)$ から $O(n)$ へ劣化します。
以下の図に示すように、ノード削除を 2 回行うと、この二分探索木は連結リストへ退化します。
![AVL 木がノード削除後に退化する](avl_tree.assets/avltree_degradation_from_removing_node.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 図 7-24 &nbsp; AVL 木がノード削除後に退化する </p>
別の例として、以下の図に示す完全二分木に 2 つのノードを挿入すると、木は大きく左に傾き、探索操作の時間計算量もそれに伴って劣化します。
![AVL 木がノード挿入後に退化する](avl_tree.assets/avltree_degradation_from_inserting_node.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 図 7-25 &nbsp; AVL 木がノード挿入後に退化する </p>
1962 年、G. M. Adelson-Velsky と E. M. Landis は論文“An algorithm for the organization of information”の中で <u>AVL 木</u> を提案しました。論文では一連の操作が詳しく説明されており、ノードの追加と削除を続けても AVL 木が退化しないようにして、各種操作の時間計算量を $O(\log n)$ の水準に保ちます。言い換えると、追加・削除・探索・更新を頻繁に行う場面でも、AVL 木は常に高いデータ操作性能を維持でき、実用価値の高い構造です。
## 7.5.1 &nbsp; AVL 木の基本用語
AVL 木は二分探索木であると同時に平衡二分木でもあり、これら 2 種類の二分木の性質をすべて満たします。したがって、<u>平衡二分探索木（balanced binary search tree）</u>の一種です。
### 1. &nbsp; ノードの高さ
AVL 木の操作ではノードの高さを取得する必要があるため、ノードクラスに `height` 変数を追加します：
=== "Python"
```python title=""
class TreeNode:
"""AVL 木ノードクラス"""
def __init__(self, val: int):
self.val: int = val # ノード値
self.height: int = 0 # ノードの高さ
self.left: TreeNode | None = None # 左の子ノード参照
self.right: TreeNode | None = None # 右の子ノード参照
```
=== "C++"
```cpp title=""
/* AVL 木ノードクラス */
struct TreeNode {
int val{}; // ノード値
int height = 0; // ノードの高さ
TreeNode *left{}; // 左の子ノード
TreeNode *right{}; // 右の子ノード
TreeNode() = default;
explicit TreeNode(int x) : val(x){}
};
```
=== "Java"
```java title=""
/* AVL 木ノードクラス */
class TreeNode {
public int val; // ノード値
public int height; // ノードの高さ
public TreeNode left; // 左の子ノード
public TreeNode right; // 右の子ノード
public TreeNode(int x) { val = x; }
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
/* AVL 木ノードクラス */
class TreeNode(int? x) {
public int? val = x; // ノード値
public int height; // ノードの高さ
public TreeNode? left; // 左の子ノード参照
public TreeNode? right; // 右の子ノード参照
}
```
=== "Go"
```go title=""
/* AVL 木ノード構造体 */
type TreeNode struct {
Val int // ノード値
Height int // ノードの高さ
Left *TreeNode // 左の子ノード参照
Right *TreeNode // 右の子ノード参照
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
/* AVL 木ノードクラス */
class TreeNode {
var val: Int // ノード値
var height: Int // ノードの高さ
var left: TreeNode? // 左の子ノード
var right: TreeNode? // 右の子ノード
init(x: Int) {
val = x
height = 0
}
}
```
=== "JS"
```javascript title=""
/* AVL 木ノードクラス */
class TreeNode {
val; // ノード値
height; //ノードの高さ
left; // 左の子ノードポインタ
right; // 右の子ノードポインタ
constructor(val, left, right, height) {
this.val = val === undefined ? 0 : val;
this.height = height === undefined ? 0 : height;
this.left = left === undefined ? null : left;
this.right = right === undefined ? null : right;
}
}
```
=== "TS"
```typescript title=""
/* AVL 木ノードクラス */
class TreeNode {
val: number; // ノード値
height: number; // ノードの高さ
left: TreeNode | null; // 左の子ノードポインタ
right: TreeNode | null; // 右の子ノードポインタ
constructor(val?: number, height?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
this.val = val === undefined ? 0 : val;
this.height = height === undefined ? 0 : height;
this.left = left === undefined ? null : left;
this.right = right === undefined ? null : right;
}
}
```
=== "Dart"
```dart title=""
/* AVL 木ノードクラス */
class TreeNode {
int val; // ノード値
int height; // ノードの高さ
TreeNode? left; // 左の子ノード
TreeNode? right; // 右の子ノード
TreeNode(this.val, [this.height = 0, this.left, this.right]);
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
use std::rc::Rc;
use std::cell::RefCell;
/* AVL 木ノード構造体 */
struct TreeNode {
val: i32, // ノード値
height: i32, // ノードの高さ
left: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>, // 左の子ノード
right: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>, // 右の子ノード
}
impl TreeNode {
/* コンストラクタ */
fn new(val: i32) -> Rc<RefCell<Self>> {
Rc::new(RefCell::new(Self {
val,
height: 0,
left: None,
right: None
}))
}
}
```
=== "C"
```c title=""
/* AVL 木ノード構造体 */
typedef struct TreeNode {
int val;
int height;
struct TreeNode *left;
struct TreeNode *right;
} TreeNode;
/* コンストラクタ */
TreeNode *newTreeNode(int val) {
TreeNode *node;
node = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));
node->val = val;
node->height = 0;
node->left = NULL;
node->right = NULL;
return node;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title=""
/* AVL 木ノードクラス */
class TreeNode(val _val: Int) { // ノード値
val height: Int = 0 // ノードの高さ
val left: TreeNode? = null // 左の子ノード
val right: TreeNode? = null // 右の子ノード
}
```
=== "Ruby"
```ruby title=""
### AVL 木ノードクラス ###
class TreeNode
attr_accessor :val # ノード値
attr_accessor :height # ノードの高さ
attr_accessor :left # 左の子ノード参照
attr_accessor :right # 右の子ノード参照
def initialize(val)
@val = val
@height = 0
end
end
```
「ノードの高さ」とは、そのノードから最も遠い葉ノードまでの距離、すなわち通過する「辺」の本数を指します。特に、葉ノードの高さは $0$、空ノードの高さは $-1$ です。ここでは、ノードの高さを取得・更新するための 2 つの補助関数を用意します：
=== "Python"
```python title="avl_tree.py"
def height(self, node: TreeNode | None) -> int:
"""ノードの高さを取得"""
# 空ノードの高さは -1、葉ノードの高さは 0
if node is not None:
return node.height
return -1
def update_height(self, node: TreeNode | None):
"""ノードの高さを更新する"""
# ノードの高さは最も高い部分木の高さ + 1 に等しい
node.height = max([self.height(node.left), self.height(node.right)]) + 1
```
=== "C++"
```cpp title="avl_tree.cpp"
/* ノードの高さを取得 */
int height(TreeNode *node) {
// 空ノードの高さは -1、葉ノードの高さは 0
return node == nullptr ? -1 : node->height;
}
/* ノードの高さを更新する */
void updateHeight(TreeNode *node) {
// ノードの高さは最も高い部分木の高さ + 1 に等しい
node->height = max(height(node->left), height(node->right)) + 1;
}
```
=== "Java"
```java title="avl_tree.java"
/* ノードの高さを取得 */
int height(TreeNode node) {
// 空ノードの高さは -1、葉ノードの高さは 0
return node == null ? -1 : node.height;
}
/* ノードの高さを更新する */
void updateHeight(TreeNode node) {
// ノードの高さは最も高い部分木の高さ + 1 に等しい
node.height = Math.max(height(node.left), height(node.right)) + 1;
}
```
=== "C#"
```csharp title="avl_tree.cs"
/* ノードの高さを取得 */
int Height(TreeNode? node) {
// 空ノードの高さは -1、葉ノードの高さは 0
return node == null ? -1 : node.height;
}
/* ノードの高さを更新する */
void UpdateHeight(TreeNode node) {
// ノードの高さは最も高い部分木の高さ + 1 に等しい
node.height = Math.Max(Height(node.left), Height(node.right)) + 1;
}
```
=== "Go"
```go title="avl_tree.go"
/* ノードの高さを取得 */
func (t *aVLTree) height(node *TreeNode) int {
// 空ノードの高さは -1、葉ノードの高さは 0
if node != nil {
return node.Height
}
return -1
}
/* ノードの高さを更新する */
func (t *aVLTree) updateHeight(node *TreeNode) {
lh := t.height(node.Left)
rh := t.height(node.Right)
// ノードの高さは最も高い部分木の高さ + 1 に等しい
if lh > rh {
node.Height = lh + 1
} else {
node.Height = rh + 1
}
}
```
=== "Swift"
```swift title="avl_tree.swift"
/* ノードの高さを取得 */
func height(node: TreeNode?) -> Int {
// 空ノードの高さは -1、葉ノードの高さは 0
node?.height ?? -1
}
/* ノードの高さを更新する */
func updateHeight(node: TreeNode?) {
// ノードの高さは最も高い部分木の高さ + 1 に等しい
node?.height = max(height(node: node?.left), height(node: node?.right)) + 1
}
```
=== "JS"
```javascript title="avl_tree.js"
/* ノードの高さを取得 */
height(node) {
// 空ノードの高さは -1、葉ノードの高さは 0
return node === null ? -1 : node.height;
}
/* ノードの高さを更新する */
#updateHeight(node) {
// ノードの高さは最も高い部分木の高さ + 1 に等しい
node.height =
Math.max(this.height(node.left), this.height(node.right)) + 1;
}
```
=== "TS"
```typescript title="avl_tree.ts"
/* ノードの高さを取得 */
height(node: TreeNode): number {
// 空ノードの高さは -1、葉ノードの高さは 0
return node === null ? -1 : node.height;
}
/* ノードの高さを更新する */
updateHeight(node: TreeNode): void {
// ノードの高さは最も高い部分木の高さ + 1 に等しい
node.height =
Math.max(this.height(node.left), this.height(node.right)) + 1;
}
```
=== "Dart"
```dart title="avl_tree.dart"
/* ノードの高さを取得 */
int height(TreeNode? node) {
// 空ノードの高さは -1、葉ノードの高さは 0
return node == null ? -1 : node.height;
}
/* ノードの高さを更新する */
void updateHeight(TreeNode? node) {
// ノードの高さは最も高い部分木の高さ + 1 に等しい
node!.height = max(height(node.left), height(node.right)) + 1;
}
```
=== "Rust"
```rust title="avl_tree.rs"
/* ノードの高さを取得 */
fn height(node: OptionTreeNodeRc) -> i32 {
// 空ノードの高さは -1、葉ノードの高さは 0
match node {
Some(node) => node.borrow().height,
None => -1,
}
}
/* ノードの高さを更新する */
fn update_height(node: OptionTreeNodeRc) {
if let Some(node) = node {
let left = node.borrow().left.clone();
let right = node.borrow().right.clone();
// ノードの高さは最も高い部分木の高さ + 1 に等しい
node.borrow_mut().height = std::cmp::max(Self::height(left), Self::height(right)) + 1;
}
}
```
=== "C"
```c title="avl_tree.c"
/* ノードの高さを取得 */
int height(TreeNode *node) {
// 空ノードの高さは -1、葉ノードの高さは 0
if (node != NULL) {
return node->height;
}
return -1;
}
/* ノードの高さを更新する */
void updateHeight(TreeNode *node) {
int lh = height(node->left);
int rh = height(node->right);
// ノードの高さは最も高い部分木の高さ + 1 に等しい
if (lh > rh) {
node->height = lh + 1;
} else {
node->height = rh + 1;
}
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="avl_tree.kt"
/* ノードの高さを取得 */
fun height(node: TreeNode?): Int {
// 空ノードの高さは -1、葉ノードの高さは 0
return node?.height ?: -1
}
/* ノードの高さを更新する */
fun updateHeight(node: TreeNode?) {
// ノードの高さは最も高い部分木の高さ + 1 に等しい
node?.height = max(height(node?.left), height(node?.right)) + 1
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="avl_tree.rb"
### ノードの高さを取得 ###
def height(node)
# 空ノードの高さは -1、葉ノードの高さは 0
return node.height unless node.nil?
-1
end
### ノードの高さを更新 ###
def update_height(node)
# ノードの高さは最も高い部分木の高さ + 1 に等しい
node.height = [height(node.left), height(node.right)].max + 1
end
```
### 2. &nbsp; ノードの平衡係数
ノードの<u>平衡係数（balance factor）</u>は、左部分木の高さから右部分木の高さを引いた値と定義し、空ノードの平衡係数は $0$ とします。同様に、ノードの平衡係数を取得する機能も関数にカプセル化して、後続で使いやすくします：
=== "Python"
```python title="avl_tree.py"
def balance_factor(self, node: TreeNode | None) -> int:
"""平衡係数を取得"""
# 空ノードの平衡係数は 0
if node is None:
return 0
# ノードの平衡係数 = 左部分木の高さ - 右部分木の高さ
return self.height(node.left) - self.height(node.right)
```
=== "C++"
```cpp title="avl_tree.cpp"
/* 平衡係数を取得 */
int balanceFactor(TreeNode *node) {
// 空ノードの平衡係数は 0
if (node == nullptr)
return 0;
// ノードの平衡係数 = 左部分木の高さ - 右部分木の高さ
return height(node->left) - height(node->right);
}
```
=== "Java"
```java title="avl_tree.java"
/* 平衡係数を取得 */
int balanceFactor(TreeNode node) {
// 空ノードの平衡係数は 0
if (node == null)
return 0;
// ノードの平衡係数 = 左部分木の高さ - 右部分木の高さ
return height(node.left) - height(node.right);
}
```
=== "C#"
```csharp title="avl_tree.cs"
/* 平衡係数を取得 */
int BalanceFactor(TreeNode? node) {
// 空ノードの平衡係数は 0
if (node == null) return 0;
// ノードの平衡係数 = 左部分木の高さ - 右部分木の高さ
return Height(node.left) - Height(node.right);
}
```
=== "Go"
```go title="avl_tree.go"
/* 平衡係数を取得 */
func (t *aVLTree) balanceFactor(node *TreeNode) int {
// 空ノードの平衡係数は 0
if node == nil {
return 0
}
// ノードの平衡係数 = 左部分木の高さ - 右部分木の高さ
return t.height(node.Left) - t.height(node.Right)
}
```
=== "Swift"
```swift title="avl_tree.swift"
/* 平衡係数を取得 */
func balanceFactor(node: TreeNode?) -> Int {
// 空ノードの平衡係数は 0
guard let node = node else { return 0 }
// ノードの平衡係数 = 左部分木の高さ - 右部分木の高さ
return height(node: node.left) - height(node: node.right)
}
```
=== "JS"
```javascript title="avl_tree.js"
/* 平衡係数を取得 */
balanceFactor(node) {
// 空ノードの平衡係数は 0
if (node === null) return 0;
// ノードの平衡係数 = 左部分木の高さ - 右部分木の高さ
return this.height(node.left) - this.height(node.right);
}
```
=== "TS"
```typescript title="avl_tree.ts"
/* 平衡係数を取得 */
balanceFactor(node: TreeNode): number {
// 空ノードの平衡係数は 0
if (node === null) return 0;
// ノードの平衡係数 = 左部分木の高さ - 右部分木の高さ
return this.height(node.left) - this.height(node.right);
}
```
=== "Dart"
```dart title="avl_tree.dart"
/* 平衡係数を取得 */
int balanceFactor(TreeNode? node) {
// 空ノードの平衡係数は 0
if (node == null) return 0;
// ノードの平衡係数 = 左部分木の高さ - 右部分木の高さ
return height(node.left) - height(node.right);
}
```
=== "Rust"
```rust title="avl_tree.rs"
/* 平衡係数を取得 */
fn balance_factor(node: OptionTreeNodeRc) -> i32 {
match node {
// 空ノードの平衡係数は 0
None => 0,
// ノードの平衡係数 = 左部分木の高さ - 右部分木の高さ
Some(node) => {
Self::height(node.borrow().left.clone()) - Self::height(node.borrow().right.clone())
}
}
}
```
=== "C"
```c title="avl_tree.c"
/* 平衡係数を取得 */
int balanceFactor(TreeNode *node) {
// 空ノードの平衡係数は 0
if (node == NULL) {
return 0;
}
// ノードの平衡係数 = 左部分木の高さ - 右部分木の高さ
return height(node->left) - height(node->right);
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="avl_tree.kt"
/* 平衡係数を取得 */
fun balanceFactor(node: TreeNode?): Int {
// 空ノードの平衡係数は 0
if (node == null) return 0
// ノードの平衡係数 = 左部分木の高さ - 右部分木の高さ
return height(node.left) - height(node.right)
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="avl_tree.rb"
### 平衡係数を取得 ###
def balance_factor(node)
# 空ノードの平衡係数は 0
return 0 if node.nil?
# ノードの平衡係数 = 左部分木の高さ - 右部分木の高さ
height(node.left) - height(node.right)
end
```
!!! tip
平衡係数を $f$ とすると、AVL 木の任意のノードの平衡係数は常に $-1 \le f \le 1$ を満たします。
## 7.5.2 &nbsp; AVL 木の回転
AVL 木の特徴は「回転」操作にあり、二分木の中順走査列を変えずに、不平衡ノードを再び平衡に戻せます。言い換えると、**回転操作は「二分探索木」の性質を保ちながら、木を再び「平衡二分木」に戻すことができます**。
平衡係数の絶対値が $> 1$ のノードを「不平衡ノード」と呼びます。ノードの不平衡の形に応じて、回転操作は 4 種類に分かれます。右回転、左回転、右回転してから左回転、左回転してから右回転です。以下でこれらを順に説明します。
### 1. &nbsp; 右回転
以下の図では、ノードの下に平衡係数を示しています。下から上へ見ると、二分木で最初に不平衡になるのは「ノード 3」です。この不平衡ノードを根とする部分木に注目し、そのノードを `node`、左の子ノードを `child` として、「右回転」を行います。右回転後、部分木は平衡を回復し、なおかつ二分探索木の性質も保たれます。
=== "<1>"
![右回転の手順](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step1.png){ class="animation-figure" }
=== "<2>"
![avltree_right_rotate_step2](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step2.png){ class="animation-figure" }
=== "<3>"
![avltree_right_rotate_step3](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step3.png){ class="animation-figure" }
=== "<4>"
![avltree_right_rotate_step4](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step4.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 図 7-26 &nbsp; 右回転の手順 </p>
以下の図に示すように、ノード `child` に右の子ノード（`grand_child` と記す）がある場合、右回転には 1 ステップ追加する必要があります。すなわち、`grand_child` を `node` の左の子ノードにします。
![grand_child を持つ右回転](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_with_grandchild.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 図 7-27 &nbsp; grand_child を持つ右回転 </p>
「右に回転する」というのはあくまでイメージしやすい表現であり、実際にはノードポインタを変更して実現します。コードは次のとおりです：
=== "Python"
```python title="avl_tree.py"
def right_rotate(self, node: TreeNode | None) -> TreeNode | None:
"""右回転"""
child = node.left
grand_child = child.right
# child を支点として node を右回転させる
child.right = node
node.left = grand_child
# ノードの高さを更新する
self.update_height(node)
self.update_height(child)
# 回転後の部分木の根ノードを返す
return child
```
=== "C++"
```cpp title="avl_tree.cpp"
/* 右回転 */
TreeNode *rightRotate(TreeNode *node) {
TreeNode *child = node->left;
TreeNode *grandChild = child->right;
// child を支点として node を右回転させる
child->right = node;
node->left = grandChild;
// ノードの高さを更新する
updateHeight(node);
updateHeight(child);
// 回転後の部分木の根ノードを返す
return child;
}
```
=== "Java"
```java title="avl_tree.java"
/* 右回転 */
TreeNode rightRotate(TreeNode node) {
TreeNode child = node.left;
TreeNode grandChild = child.right;
// child を支点として node を右回転させる
child.right = node;
node.left = grandChild;
// ノードの高さを更新する
updateHeight(node);
updateHeight(child);
// 回転後の部分木の根ノードを返す
return child;
}
```
=== "C#"
```csharp title="avl_tree.cs"
/* 右回転 */
TreeNode? RightRotate(TreeNode? node) {
TreeNode? child = node?.left;
TreeNode? grandChild = child?.right;
// child を支点として node を右回転させる
child.right = node;
node.left = grandChild;
// ノードの高さを更新する
UpdateHeight(node);
UpdateHeight(child);
// 回転後の部分木の根ノードを返す
return child;
}
```
=== "Go"
```go title="avl_tree.go"
/* 右回転 */
func (t *aVLTree) rightRotate(node *TreeNode) *TreeNode {
child := node.Left
grandChild := child.Right
// child を支点として node を右回転させる
child.Right = node
node.Left = grandChild
// ノードの高さを更新する
t.updateHeight(node)
t.updateHeight(child)
// 回転後の部分木の根ノードを返す
return child
}
```
=== "Swift"
```swift title="avl_tree.swift"
/* 右回転 */
func rightRotate(node: TreeNode?) -> TreeNode? {
let child = node?.left
let grandChild = child?.right
// child を支点として node を右回転させる
child?.right = node
node?.left = grandChild
// ノードの高さを更新する
updateHeight(node: node)
updateHeight(node: child)
// 回転後の部分木の根ノードを返す
return child
}
```
=== "JS"
```javascript title="avl_tree.js"
/* 右回転 */
#rightRotate(node) {
const child = node.left;
const grandChild = child.right;
// child を支点として node を右回転させる
child.right = node;
node.left = grandChild;
// ノードの高さを更新する
this.#updateHeight(node);
this.#updateHeight(child);
// 回転後の部分木の根ノードを返す
return child;
}
```
=== "TS"
```typescript title="avl_tree.ts"
/* 右回転 */
rightRotate(node: TreeNode): TreeNode {
const child = node.left;
const grandChild = child.right;
// child を支点として node を右回転させる
child.right = node;
node.left = grandChild;
// ノードの高さを更新する
this.updateHeight(node);
this.updateHeight(child);
// 回転後の部分木の根ノードを返す
return child;
}
```
=== "Dart"
```dart title="avl_tree.dart"
/* 右回転 */
TreeNode? rightRotate(TreeNode? node) {
TreeNode? child = node!.left;
TreeNode? grandChild = child!.right;
// child を支点として node を右回転させる
child.right = node;
node.left = grandChild;
// ノードの高さを更新する
updateHeight(node);
updateHeight(child);
// 回転後の部分木の根ノードを返す
return child;
}
```
=== "Rust"
```rust title="avl_tree.rs"
/* 右回転 */
fn right_rotate(node: OptionTreeNodeRc) -> OptionTreeNodeRc {
match node {
Some(node) => {
let child = node.borrow().left.clone().unwrap();
let grand_child = child.borrow().right.clone();
// child を支点として node を右回転させる
child.borrow_mut().right = Some(node.clone());
node.borrow_mut().left = grand_child;
// ノードの高さを更新する
Self::update_height(Some(node));
Self::update_height(Some(child.clone()));
// 回転後の部分木の根ノードを返す
Some(child)
}
None => None,
}
}
```
=== "C"
```c title="avl_tree.c"
/* 右回転 */
TreeNode *rightRotate(TreeNode *node) {
TreeNode *child, *grandChild;
child = node->left;
grandChild = child->right;
// child を支点として node を右回転させる
child->right = node;
node->left = grandChild;
// ノードの高さを更新する
updateHeight(node);
updateHeight(child);
// 回転後の部分木の根ノードを返す
return child;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="avl_tree.kt"
/* 右回転 */
fun rightRotate(node: TreeNode?): TreeNode {
val child = node!!.left
val grandChild = child!!.right
// child を支点として node を右回転させる
child.right = node
node.left = grandChild
// ノードの高さを更新する
updateHeight(node)
updateHeight(child)
// 回転後の部分木の根ノードを返す
return child
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="avl_tree.rb"
### 右回転操作 ###
def right_rotate(node)
child = node.left
grand_child = child.right
# child を支点として node を右回転させる
child.right = node
node.left = grand_child
# ノードの高さを更新する
update_height(node)
update_height(child)
# 回転後の部分木の根ノードを返す
child
end
```
### 2. &nbsp; 左回転
対応する鏡像として、上記の不平衡二分木を左右反転して考えると、以下の図に示す「左回転」が必要になります。
![左回転](avl_tree.assets/avltree_left_rotate.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 図 7-28 &nbsp; 左回転 </p>
同様に、以下の図に示すように、ノード `child` に左の子ノード（`grand_child` と記す）がある場合、左回転にも 1 ステップ追加する必要があります。すなわち、`grand_child` を `node` の右の子ノードにします。
![grand_child を持つ左回転](avl_tree.assets/avltree_left_rotate_with_grandchild.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 図 7-29 &nbsp; grand_child を持つ左回転 </p>
分かるように、**右回転と左回転は論理的に鏡像対称であり、それぞれが解決する 2 種類の不平衡も対称です**。この対称性に基づけば、右回転の実装コードにあるすべての `left` を `right` に、すべての `right` を `left` に置き換えるだけで、左回転の実装コードが得られます：
=== "Python"
```python title="avl_tree.py"
def left_rotate(self, node: TreeNode | None) -> TreeNode | None:
"""左回転"""
child = node.right
grand_child = child.left
# child を支点として node を左回転させる
child.left = node
node.right = grand_child
# ノードの高さを更新する
self.update_height(node)
self.update_height(child)
# 回転後の部分木の根ノードを返す
return child
```
=== "C++"
```cpp title="avl_tree.cpp"
/* 左回転 */
TreeNode *leftRotate(TreeNode *node) {
TreeNode *child = node->right;
TreeNode *grandChild = child->left;
// child を支点として node を左回転させる
child->left = node;
node->right = grandChild;
// ノードの高さを更新する
updateHeight(node);
updateHeight(child);
// 回転後の部分木の根ノードを返す
return child;
}
```
=== "Java"
```java title="avl_tree.java"
/* 左回転 */
TreeNode leftRotate(TreeNode node) {
TreeNode child = node.right;
TreeNode grandChild = child.left;
// child を支点として node を左回転させる
child.left = node;
node.right = grandChild;
// ノードの高さを更新する
updateHeight(node);
updateHeight(child);
// 回転後の部分木の根ノードを返す
return child;
}
```
=== "C#"
```csharp title="avl_tree.cs"
/* 左回転 */
TreeNode? LeftRotate(TreeNode? node) {
TreeNode? child = node?.right;
TreeNode? grandChild = child?.left;
// child を支点として node を左回転させる
child.left = node;
node.right = grandChild;
// ノードの高さを更新する
UpdateHeight(node);
UpdateHeight(child);
// 回転後の部分木の根ノードを返す
return child;
}
```
=== "Go"
```go title="avl_tree.go"
/* 左回転 */
func (t *aVLTree) leftRotate(node *TreeNode) *TreeNode {
child := node.Right
grandChild := child.Left
// child を支点として node を左回転させる
child.Left = node
node.Right = grandChild
// ノードの高さを更新する
t.updateHeight(node)
t.updateHeight(child)
// 回転後の部分木の根ノードを返す
return child
}
```
=== "Swift"
```swift title="avl_tree.swift"
/* 左回転 */
func leftRotate(node: TreeNode?) -> TreeNode? {
let child = node?.right
let grandChild = child?.left
// child を支点として node を左回転させる
child?.left = node
node?.right = grandChild
// ノードの高さを更新する
updateHeight(node: node)
updateHeight(node: child)
// 回転後の部分木の根ノードを返す
return child
}
```
=== "JS"
```javascript title="avl_tree.js"
/* 左回転 */
#leftRotate(node) {
const child = node.right;
const grandChild = child.left;
// child を支点として node を左回転させる
child.left = node;
node.right = grandChild;
// ノードの高さを更新する
this.#updateHeight(node);
this.#updateHeight(child);
// 回転後の部分木の根ノードを返す
return child;
}
```
=== "TS"
```typescript title="avl_tree.ts"
/* 左回転 */
leftRotate(node: TreeNode): TreeNode {
const child = node.right;
const grandChild = child.left;
// child を支点として node を左回転させる
child.left = node;
node.right = grandChild;
// ノードの高さを更新する
this.updateHeight(node);
this.updateHeight(child);
// 回転後の部分木の根ノードを返す
return child;
}
```
=== "Dart"
```dart title="avl_tree.dart"
/* 左回転 */
TreeNode? leftRotate(TreeNode? node) {
TreeNode? child = node!.right;
TreeNode? grandChild = child!.left;
// child を支点として node を左回転させる
child.left = node;
node.right = grandChild;
// ノードの高さを更新する
updateHeight(node);
updateHeight(child);
// 回転後の部分木の根ノードを返す
return child;
}
```
=== "Rust"
```rust title="avl_tree.rs"
/* 左回転 */
fn left_rotate(node: OptionTreeNodeRc) -> OptionTreeNodeRc {
match node {
Some(node) => {
let child = node.borrow().right.clone().unwrap();
let grand_child = child.borrow().left.clone();
// child を支点として node を左回転させる
child.borrow_mut().left = Some(node.clone());
node.borrow_mut().right = grand_child;
// ノードの高さを更新する
Self::update_height(Some(node));
Self::update_height(Some(child.clone()));
// 回転後の部分木の根ノードを返す
Some(child)
}
None => None,
}
}
```
=== "C"
```c title="avl_tree.c"
/* 左回転 */
TreeNode *leftRotate(TreeNode *node) {
TreeNode *child, *grandChild;
child = node->right;
grandChild = child->left;
// child を支点として node を左回転させる
child->left = node;
node->right = grandChild;
// ノードの高さを更新する
updateHeight(node);
updateHeight(child);
// 回転後の部分木の根ノードを返す
return child;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="avl_tree.kt"
/* 左回転 */
fun leftRotate(node: TreeNode?): TreeNode {
val child = node!!.right
val grandChild = child!!.left
// child を支点として node を左回転させる
child.left = node
node.right = grandChild
// ノードの高さを更新する
updateHeight(node)
updateHeight(child)
// 回転後の部分木の根ノードを返す
return child
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="avl_tree.rb"
### 左回転操作 ###
def left_rotate(node)
child = node.right
grand_child = child.left
# child を支点として node を左回転させる
child.left = node
node.right = grand_child
# ノードの高さを更新する
update_height(node)
update_height(child)
# 回転後の部分木の根ノードを返す
child
end
```
### 3. &nbsp; 左回転してから右回転
以下の図の不平衡ノード 3 では、左回転だけでも右回転だけでも部分木を平衡に戻せません。この場合は、まず `child` に「左回転」を行い、次に `node` に「右回転」を行います。
![左回転してから右回転](avl_tree.assets/avltree_left_right_rotate.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 図 7-30 &nbsp; 左回転してから右回転 </p>
### 4. &nbsp; 右回転してから左回転
以下の図に示すように、上記の不平衡二分木の鏡像のケースでは、まず `child` に「右回転」を行い、次に `node` に「左回転」を行います。
![右回転してから左回転](avl_tree.assets/avltree_right_left_rotate.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 図 7-31 &nbsp; 右回転してから左回転 </p>
### 5. &nbsp; 回転の選択
以下の図に示す 4 種類の不平衡は、上の各ケースにそれぞれ対応しており、必要な操作は順に右回転、左回転してから右回転、右回転してから左回転、左回転です。
![AVL 木の 4 つの回転ケース](avl_tree.assets/avltree_rotation_cases.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 図 7-32 &nbsp; AVL 木の 4 つの回転ケース </p>
以下の表に示すように、不平衡ノードの平衡係数と、高い側の子ノードの平衡係数の符号を判定することで、その不平衡ノードが上図のどのケースに属するかを判断できます。
<p align="center"> 表 7-3 &nbsp; 4 種類の回転ケースの選択条件 </p>
<div class="center-table" markdown>
| 不平衡ノードの平衡係数 | 子ノードの平衡係数 | 採用すべき回転方法 |
| ------------------ | ---------------- | ---------------- |
| $> 1$ （左に偏った木） | $\geq 0$ | 右回転 |
| $> 1$ （左に偏った木） | $<0$ | 左回転してから右回転 |
| $< -1$ （右に偏った木） | $\leq 0$ | 左回転 |
| $< -1$ （右に偏った木） | $>0$ | 右回転してから左回転 |
</div>
使いやすくするために、回転操作を 1 つの関数にカプセル化します。**この関数があれば、さまざまな不平衡ケースに対して回転を行い、不平衡ノードを再び平衡に戻せます**。コードは次のとおりです：
=== "Python"
```python title="avl_tree.py"
def rotate(self, node: TreeNode | None) -> TreeNode | None:
"""回転操作を行い、この部分木の平衡を回復する"""
# ノード node の平衡係数を取得
balance_factor = self.balance_factor(node)
# 左に偏った木
if balance_factor > 1:
if self.balance_factor(node.left) >= 0:
# 右回転
return self.right_rotate(node)
else:
# 左回転してから右回転
node.left = self.left_rotate(node.left)
return self.right_rotate(node)
# 右に偏った木
elif balance_factor < -1:
if self.balance_factor(node.right) <= 0:
# 左回転
return self.left_rotate(node)
else:
# 右回転してから左回転
node.right = self.right_rotate(node.right)
return self.left_rotate(node)
# 平衡木なので回転不要、そのまま返す
return node
```
=== "C++"
```cpp title="avl_tree.cpp"
/* 回転操作を行い、この部分木の平衡を回復する */
TreeNode *rotate(TreeNode *node) {
// ノード node の平衡係数を取得
int _balanceFactor = balanceFactor(node);
// 左に偏った木
if (_balanceFactor > 1) {
if (balanceFactor(node->left) >= 0) {
// 右回転
return rightRotate(node);
} else {
// 左回転してから右回転
node->left = leftRotate(node->left);
return rightRotate(node);
}
}
// 右に偏った木
if (_balanceFactor < -1) {
if (balanceFactor(node->right) <= 0) {
// 左回転
return leftRotate(node);
} else {
// 右回転してから左回転
node->right = rightRotate(node->right);
return leftRotate(node);
}
}
// 平衡木なので回転不要、そのまま返す
return node;
}
```
=== "Java"
```java title="avl_tree.java"
/* 回転操作を行い、この部分木の平衡を回復する */
TreeNode rotate(TreeNode node) {
// ノード node の平衡係数を取得
int balanceFactor = balanceFactor(node);
// 左に偏った木
if (balanceFactor > 1) {
if (balanceFactor(node.left) >= 0) {
// 右回転
return rightRotate(node);
} else {
// 左回転してから右回転
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
}
// 右に偏った木
if (balanceFactor < -1) {
if (balanceFactor(node.right) <= 0) {
// 左回転
return leftRotate(node);
} else {
// 右回転してから左回転
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
}
// 平衡木なので回転不要、そのまま返す
return node;
}
```
=== "C#"
```csharp title="avl_tree.cs"
/* 回転操作を行い、この部分木の平衡を回復する */
TreeNode? Rotate(TreeNode? node) {
// ノード node の平衡係数を取得
int balanceFactorInt = BalanceFactor(node);
// 左に偏った木
if (balanceFactorInt > 1) {
if (BalanceFactor(node?.left) >= 0) {
// 右回転
return RightRotate(node);
} else {
// 左回転してから右回転
node!.left = LeftRotate(node!.left);
return RightRotate(node);
}
}
// 右に偏った木
if (balanceFactorInt < -1) {
if (BalanceFactor(node?.right) <= 0) {
// 左回転
return LeftRotate(node);
} else {
// 右回転してから左回転
node!.right = RightRotate(node!.right);
return LeftRotate(node);
}
}
// 平衡木なので回転不要、そのまま返す
return node;
}
```
=== "Go"
```go title="avl_tree.go"
/* 回転操作を行い、この部分木の平衡を回復する */
func (t *aVLTree) rotate(node *TreeNode) *TreeNode {
// ノード `node` の平衡係数を取得する
// Go では短い変数名が推奨されるため、ここで `bf` は `t.balanceFactor` を表す
bf := t.balanceFactor(node)
// 左に偏った木
if bf > 1 {
if t.balanceFactor(node.Left) >= 0 {
// 右回転
return t.rightRotate(node)
} else {
// 左回転してから右回転
node.Left = t.leftRotate(node.Left)
return t.rightRotate(node)
}
}
// 右に偏った木
if bf < -1 {
if t.balanceFactor(node.Right) <= 0 {
// 左回転
return t.leftRotate(node)
} else {
// 右回転してから左回転
node.Right = t.rightRotate(node.Right)
return t.leftRotate(node)
}
}
// 平衡木なので回転不要、そのまま返す
return node
}
```
=== "Swift"
```swift title="avl_tree.swift"
/* 回転操作を行い、この部分木の平衡を回復する */
func rotate(node: TreeNode?) -> TreeNode? {
// ノード node の平衡係数を取得
let balanceFactor = balanceFactor(node: node)
// 左に偏った木
if balanceFactor > 1 {
if self.balanceFactor(node: node?.left) >= 0 {
// 右回転
return rightRotate(node: node)
} else {
// 左回転してから右回転
node?.left = leftRotate(node: node?.left)
return rightRotate(node: node)
}
}
// 右に偏った木
if balanceFactor < -1 {
if self.balanceFactor(node: node?.right) <= 0 {
// 左回転
return leftRotate(node: node)
} else {
// 右回転してから左回転
node?.right = rightRotate(node: node?.right)
return leftRotate(node: node)
}
}
// 平衡木なので回転不要、そのまま返す
return node
}
```
=== "JS"
```javascript title="avl_tree.js"
/* 回転操作を行い、この部分木の平衡を回復する */
#rotate(node) {
// ノード node の平衡係数を取得
const balanceFactor = this.balanceFactor(node);
// 左に偏った木
if (balanceFactor > 1) {
if (this.balanceFactor(node.left) >= 0) {
// 右回転
return this.#rightRotate(node);
} else {
// 左回転してから右回転
node.left = this.#leftRotate(node.left);
return this.#rightRotate(node);
}
}
// 右に偏った木
if (balanceFactor < -1) {
if (this.balanceFactor(node.right) <= 0) {
// 左回転
return this.#leftRotate(node);
} else {
// 右回転してから左回転
node.right = this.#rightRotate(node.right);
return this.#leftRotate(node);
}
}
// 平衡木なので回転不要、そのまま返す
return node;
}
```
=== "TS"
```typescript title="avl_tree.ts"
/* 回転操作を行い、この部分木の平衡を回復する */
rotate(node: TreeNode): TreeNode {
// ノード node の平衡係数を取得
const balanceFactor = this.balanceFactor(node);
// 左に偏った木
if (balanceFactor > 1) {
if (this.balanceFactor(node.left) >= 0) {
// 右回転
return this.rightRotate(node);
} else {
// 左回転してから右回転
node.left = this.leftRotate(node.left);
return this.rightRotate(node);
}
}
// 右に偏った木
if (balanceFactor < -1) {
if (this.balanceFactor(node.right) <= 0) {
// 左回転
return this.leftRotate(node);
} else {
// 右回転してから左回転
node.right = this.rightRotate(node.right);
return this.leftRotate(node);
}
}
// 平衡木なので回転不要、そのまま返す
return node;
}
```
=== "Dart"
```dart title="avl_tree.dart"
/* 回転操作を行い、この部分木の平衡を回復する */
TreeNode? rotate(TreeNode? node) {
// ノード node の平衡係数を取得
int factor = balanceFactor(node);
// 左に偏った木
if (factor > 1) {
if (balanceFactor(node!.left) >= 0) {
// 右回転
return rightRotate(node);
} else {
// 左回転してから右回転
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
}
// 右に偏った木
if (factor < -1) {
if (balanceFactor(node!.right) <= 0) {
// 左回転
return leftRotate(node);
} else {
// 右回転してから左回転
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
}
// 平衡木なので回転不要、そのまま返す
return node;
}
```
=== "Rust"
```rust title="avl_tree.rs"
/* 回転操作を行い、この部分木の平衡を回復する */
fn rotate(node: OptionTreeNodeRc) -> OptionTreeNodeRc {
// ノード node の平衡係数を取得
let balance_factor = Self::balance_factor(node.clone());
// 左に偏った木
if balance_factor > 1 {
let node = node.unwrap();
if Self::balance_factor(node.borrow().left.clone()) >= 0 {
// 右回転
Self::right_rotate(Some(node))
} else {
// 左回転してから右回転
let left = node.borrow().left.clone();
node.borrow_mut().left = Self::left_rotate(left);
Self::right_rotate(Some(node))
}
}
// 右に偏った木
else if balance_factor < -1 {
let node = node.unwrap();
if Self::balance_factor(node.borrow().right.clone()) <= 0 {
// 左回転
Self::left_rotate(Some(node))
} else {
// 右回転してから左回転
let right = node.borrow().right.clone();
node.borrow_mut().right = Self::right_rotate(right);
Self::left_rotate(Some(node))
}
} else {
// 平衡木なので回転不要、そのまま返す
node
}
}
```
=== "C"
```c title="avl_tree.c"
/* 回転操作を行い、この部分木の平衡を回復する */
TreeNode *rotate(TreeNode *node) {
// ノード node の平衡係数を取得
int bf = balanceFactor(node);
// 左に偏った木
if (bf > 1) {
if (balanceFactor(node->left) >= 0) {
// 右回転
return rightRotate(node);
} else {
// 左回転してから右回転
node->left = leftRotate(node->left);
return rightRotate(node);
}
}
// 右に偏った木
if (bf < -1) {
if (balanceFactor(node->right) <= 0) {
// 左回転
return leftRotate(node);
} else {
// 右回転してから左回転
node->right = rightRotate(node->right);
return leftRotate(node);
}
}
// 平衡木なので回転不要、そのまま返す
return node;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="avl_tree.kt"
/* 回転操作を行い、この部分木の平衡を回復する */
fun rotate(node: TreeNode): TreeNode {
// ノード node の平衡係数を取得
val balanceFactor = balanceFactor(node)
// 左に偏った木
if (balanceFactor > 1) {
if (balanceFactor(node.left) >= 0) {
// 右回転
return rightRotate(node)
} else {
// 左回転してから右回転
node.left = leftRotate(node.left)
return rightRotate(node)
}
}
// 右に偏った木
if (balanceFactor < -1) {
if (balanceFactor(node.right) <= 0) {
// 左回転
return leftRotate(node)
} else {
// 右回転してから左回転
node.right = rightRotate(node.right)
return leftRotate(node)
}
}
// 平衡木なので回転不要、そのまま返す
return node
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="avl_tree.rb"
### 回転操作を行い、この部分木の平衡を回復する ###
def rotate(node)
# ノード node の平衡係数を取得
balance_factor = balance_factor(node)
# 左部分木をたどる
if balance_factor > 1
if balance_factor(node.left) >= 0
# 右回転
return right_rotate(node)
else
# 左回転してから右回転
node.left = left_rotate(node.left)
return right_rotate(node)
end
# 右に偏った木
elsif balance_factor < -1
if balance_factor(node.right) <= 0
# 左回転
return left_rotate(node)
else
# 右回転してから左回転
node.right = right_rotate(node.right)
return left_rotate(node)
end
end
# 平衡木なので回転不要、そのまま返す
node
end
```
## 7.5.3 &nbsp; AVL 木の基本操作
### 1. &nbsp; ノードの挿入
AVL 木のノード挿入は、基本的には二分探索木と同じです。唯一の違いは、AVL 木ではノード挿入後に、そのノードから根ノードまでの経路上に複数の不平衡ノードが現れる可能性があることです。したがって、**このノードから開始して、下から上へ回転操作を行い、すべての不平衡ノードを平衡に戻す必要があります**。コードは次のとおりです：
=== "Python"
```python title="avl_tree.py"
def insert(self, val):
"""ノードを挿入"""
self._root = self.insert_helper(self._root, val)
def insert_helper(self, node: TreeNode | None, val: int) -> TreeNode:
"""ノードを再帰的に挿入する（補助メソッド）"""
if node is None:
return TreeNode(val)
# 1. 挿入位置を探索してノードを挿入
if val < node.val:
node.left = self.insert_helper(node.left, val)
elif val > node.val:
node.right = self.insert_helper(node.right, val)
else:
# 重複ノードは挿入せず、そのまま返す
return node
# ノードの高さを更新する
self.update_height(node)
# 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する
return self.rotate(node)
```
=== "C++"
```cpp title="avl_tree.cpp"
/* ノードを挿入 */
void insert(int val) {
root = insertHelper(root, val);
}
/* ノードを再帰的に挿入する（補助メソッド） */
TreeNode *insertHelper(TreeNode *node, int val) {
if (node == nullptr)
return new TreeNode(val);
/* 1. 挿入位置を探索してノードを挿入 */
if (val < node->val)
node->left = insertHelper(node->left, val);
else if (val > node->val)
node->right = insertHelper(node->right, val);
else
return node; // 重複ノードは挿入せず、そのまま返す
updateHeight(node); // ノードの高さを更新する
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = rotate(node);
// 部分木の根ノードを返す
return node;
}
```
=== "Java"
```java title="avl_tree.java"
/* ノードを挿入 */
void insert(int val) {
root = insertHelper(root, val);
}
/* ノードを再帰的に挿入する（補助メソッド） */
TreeNode insertHelper(TreeNode node, int val) {
if (node == null)
return new TreeNode(val);
/* 1. 挿入位置を探索してノードを挿入 */
if (val < node.val)
node.left = insertHelper(node.left, val);
else if (val > node.val)
node.right = insertHelper(node.right, val);
else
return node; // 重複ノードは挿入せず、そのまま返す
updateHeight(node); // ノードの高さを更新する
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = rotate(node);
// 部分木の根ノードを返す
return node;
}
```
=== "C#"
```csharp title="avl_tree.cs"
/* ノードを挿入 */
void Insert(int val) {
root = InsertHelper(root, val);
}
/* ノードを再帰的に挿入する（補助メソッド） */
TreeNode? InsertHelper(TreeNode? node, int val) {
if (node == null) return new TreeNode(val);
/* 1. 挿入位置を探索してノードを挿入 */
if (val < node.val)
node.left = InsertHelper(node.left, val);
else if (val > node.val)
node.right = InsertHelper(node.right, val);
else
return node; // 重複ノードは挿入せず、そのまま返す
UpdateHeight(node); // ノードの高さを更新する
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = Rotate(node);
// 部分木の根ノードを返す
return node;
}
```
=== "Go"
```go title="avl_tree.go"
/* ノードを挿入 */
func (t *aVLTree) insert(val int) {
t.root = t.insertHelper(t.root, val)
}
/* ノードを再帰的に挿入する（補助関数） */
func (t *aVLTree) insertHelper(node *TreeNode, val int) *TreeNode {
if node == nil {
return NewTreeNode(val)
}
/* 1. 挿入位置を探索してノードを挿入 */
if val < node.Val.(int) {
node.Left = t.insertHelper(node.Left, val)
} else if val > node.Val.(int) {
node.Right = t.insertHelper(node.Right, val)
} else {
// 重複ノードは挿入せず、そのまま返す
return node
}
// ノードの高さを更新する
t.updateHeight(node)
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = t.rotate(node)
// 部分木の根ノードを返す
return node
}
```
=== "Swift"
```swift title="avl_tree.swift"
/* ノードを挿入 */
func insert(val: Int) {
root = insertHelper(node: root, val: val)
}
/* ノードを再帰的に挿入する（補助メソッド） */
func insertHelper(node: TreeNode?, val: Int) -> TreeNode? {
var node = node
if node == nil {
return TreeNode(x: val)
}
/* 1. 挿入位置を探索してノードを挿入 */
if val < node!.val {
node?.left = insertHelper(node: node?.left, val: val)
} else if val > node!.val {
node?.right = insertHelper(node: node?.right, val: val)
} else {
return node // 重複ノードは挿入せず、そのまま返す
}
updateHeight(node: node) // ノードの高さを更新する
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = rotate(node: node)
// 部分木の根ノードを返す
return node
}
```
=== "JS"
```javascript title="avl_tree.js"
/* ノードを挿入 */
insert(val) {
this.root = this.#insertHelper(this.root, val);
}
/* ノードを再帰的に挿入する（補助メソッド） */
#insertHelper(node, val) {
if (node === null) return new TreeNode(val);
/* 1. 挿入位置を探索してノードを挿入 */
if (val < node.val) node.left = this.#insertHelper(node.left, val);
else if (val > node.val)
node.right = this.#insertHelper(node.right, val);
else return node; // 重複ノードは挿入せず、そのまま返す
this.#updateHeight(node); // ノードの高さを更新する
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = this.#rotate(node);
// 部分木の根ノードを返す
return node;
}
```
=== "TS"
```typescript title="avl_tree.ts"
/* ノードを挿入 */
insert(val: number): void {
this.root = this.insertHelper(this.root, val);
}
/* ノードを再帰的に挿入する（補助メソッド） */
insertHelper(node: TreeNode, val: number): TreeNode {
if (node === null) return new TreeNode(val);
/* 1. 挿入位置を探索してノードを挿入 */
if (val < node.val) {
node.left = this.insertHelper(node.left, val);
} else if (val > node.val) {
node.right = this.insertHelper(node.right, val);
} else {
return node; // 重複ノードは挿入せず、そのまま返す
}
this.updateHeight(node); // ノードの高さを更新する
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = this.rotate(node);
// 部分木の根ノードを返す
return node;
}
```
=== "Dart"
```dart title="avl_tree.dart"
/* ノードを挿入 */
void insert(int val) {
root = insertHelper(root, val);
}
/* ノードを再帰的に挿入する（補助メソッド） */
TreeNode? insertHelper(TreeNode? node, int val) {
if (node == null) return TreeNode(val);
/* 1. 挿入位置を探索してノードを挿入 */
if (val < node.val)
node.left = insertHelper(node.left, val);
else if (val > node.val)
node.right = insertHelper(node.right, val);
else
return node; // 重複ノードは挿入せず、そのまま返す
updateHeight(node); // ノードの高さを更新する
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = rotate(node);
// 部分木の根ノードを返す
return node;
}
```
=== "Rust"
```rust title="avl_tree.rs"
/* ノードを挿入 */
fn insert(&mut self, val: i32) {
self.root = Self::insert_helper(self.root.clone(), val);
}
/* ノードを再帰的に挿入する（補助メソッド） */
fn insert_helper(node: OptionTreeNodeRc, val: i32) -> OptionTreeNodeRc {
match node {
Some(mut node) => {
/* 1. 挿入位置を探索してノードを挿入 */
match {
let node_val = node.borrow().val;
node_val
}
.cmp(&val)
{
Ordering::Greater => {
let left = node.borrow().left.clone();
node.borrow_mut().left = Self::insert_helper(left, val);
}
Ordering::Less => {
let right = node.borrow().right.clone();
node.borrow_mut().right = Self::insert_helper(right, val);
}
Ordering::Equal => {
return Some(node); // 重複ノードは挿入せず、そのまま返す
}
}
Self::update_height(Some(node.clone())); // ノードの高さを更新する
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = Self::rotate(Some(node)).unwrap();
// 部分木の根ノードを返す
Some(node)
}
None => Some(TreeNode::new(val)),
}
}
```
=== "C"
```c title="avl_tree.c"
/* ノードを挿入 */
void insert(AVLTree *tree, int val) {
tree->root = insertHelper(tree->root, val);
}
/* ノードを再帰的に挿入する（補助関数） */
TreeNode *insertHelper(TreeNode *node, int val) {
if (node == NULL) {
return newTreeNode(val);
}
/* 1. 挿入位置を探索してノードを挿入 */
if (val < node->val) {
node->left = insertHelper(node->left, val);
} else if (val > node->val) {
node->right = insertHelper(node->right, val);
} else {
// 重複ノードは挿入せず、そのまま返す
return node;
}
// ノードの高さを更新する
updateHeight(node);
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = rotate(node);
// 部分木の根ノードを返す
return node;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="avl_tree.kt"
/* ノードを挿入 */
fun insert(_val: Int) {
root = insertHelper(root, _val)
}
/* ノードを再帰的に挿入する（補助メソッド） */
fun insertHelper(n: TreeNode?, _val: Int): TreeNode {
if (n == null)
return TreeNode(_val)
var node = n
/* 1. 挿入位置を探索してノードを挿入 */
if (_val < node._val)
node.left = insertHelper(node.left, _val)
else if (_val > node._val)
node.right = insertHelper(node.right, _val)
else
return node // 重複ノードは挿入せず、そのまま返す
updateHeight(node) // ノードの高さを更新する
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = rotate(node)
// 部分木の根ノードを返す
return node
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="avl_tree.rb"
### ノードを挿入 ###
def insert(val)
@root = insert_helper(@root, val)
end
### ノードを挿入 ###
def insert(val)
@root = insert_helper(@root, val)
end
# ## ノードを再帰的に挿入（補助メソッド）###
def insert_helper(node, val)
return TreeNode.new(val) if node.nil?
# 1. 挿入位置を探索してノードを挿入
if val < node.val
node.left = insert_helper(node.left, val)
elsif val > node.val
node.right = insert_helper(node.right, val)
else
# 重複ノードは挿入せず、そのまま返す
return node
end
# ノードの高さを更新する
update_height(node)
# 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する
rotate(node)
end
```
### 2. &nbsp; ノードの削除
同様に、二分探索木のノード削除メソッドを土台として、下から上へ回転操作を行い、すべての不平衡ノードを平衡に戻す必要があります。コードは次のとおりです：
=== "Python"
```python title="avl_tree.py"
def remove(self, val: int):
"""ノードを削除"""
self._root = self.remove_helper(self._root, val)
def remove_helper(self, node: TreeNode | None, val: int) -> TreeNode | None:
"""ノードを再帰的に削除する（補助メソッド）"""
if node is None:
return None
# 1. ノードを探索して削除
if val < node.val:
node.left = self.remove_helper(node.left, val)
elif val > node.val:
node.right = self.remove_helper(node.right, val)
else:
if node.left is None or node.right is None:
child = node.left or node.right
# 子ノード数 = 0 の場合、node をそのまま削除して返す
if child is None:
return None
# 子ノード数 = 1 の場合、node をそのまま削除する
else:
node = child
else:
# 子ノード数 = 2 の場合、中順走査の次のノードを削除し、そのノードで現在のノードを置き換える
temp = node.right
while temp.left is not None:
temp = temp.left
node.right = self.remove_helper(node.right, temp.val)
node.val = temp.val
# ノードの高さを更新する
self.update_height(node)
# 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する
return self.rotate(node)
```
=== "C++"
```cpp title="avl_tree.cpp"
/* ノードを削除 */
void remove(int val) {
root = removeHelper(root, val);
}
/* ノードを再帰的に削除する（補助メソッド） */
TreeNode *removeHelper(TreeNode *node, int val) {
if (node == nullptr)
return nullptr;
/* 1. ノードを探索して削除 */
if (val < node->val)
node->left = removeHelper(node->left, val);
else if (val > node->val)
node->right = removeHelper(node->right, val);
else {
if (node->left == nullptr || node->right == nullptr) {
TreeNode *child = node->left != nullptr ? node->left : node->right;
// 子ノード数 = 0 の場合、node をそのまま削除して返す
if (child == nullptr) {
delete node;
return nullptr;
}
// 子ノード数 = 1 の場合、node をそのまま削除する
else {
delete node;
node = child;
}
} else {
// 子ノード数 = 2 の場合、中順走査の次のノードを削除し、そのノードで現在のノードを置き換える
TreeNode *temp = node->right;
while (temp->left != nullptr) {
temp = temp->left;
}
int tempVal = temp->val;
node->right = removeHelper(node->right, temp->val);
node->val = tempVal;
}
}
updateHeight(node); // ノードの高さを更新する
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = rotate(node);
// 部分木の根ノードを返す
return node;
}
```
=== "Java"
```java title="avl_tree.java"
/* ノードを削除 */
void remove(int val) {
root = removeHelper(root, val);
}
/* ノードを再帰的に削除する（補助メソッド） */
TreeNode removeHelper(TreeNode node, int val) {
if (node == null)
return null;
/* 1. ノードを探索して削除 */
if (val < node.val)
node.left = removeHelper(node.left, val);
else if (val > node.val)
node.right = removeHelper(node.right, val);
else {
if (node.left == null || node.right == null) {
TreeNode child = node.left != null ? node.left : node.right;
// 子ノード数 = 0 の場合、node をそのまま削除して返す
if (child == null)
return null;
// 子ノード数 = 1 の場合、node をそのまま削除する
else
node = child;
} else {
// 子ノード数 = 2 の場合、中順走査の次のノードを削除し、そのノードで現在のノードを置き換える
TreeNode temp = node.right;
while (temp.left != null) {
temp = temp.left;
}
node.right = removeHelper(node.right, temp.val);
node.val = temp.val;
}
}
updateHeight(node); // ノードの高さを更新する
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = rotate(node);
// 部分木の根ノードを返す
return node;
}
```
=== "C#"
```csharp title="avl_tree.cs"
/* ノードを削除 */
void Remove(int val) {
root = RemoveHelper(root, val);
}
/* ノードを再帰的に削除する（補助メソッド） */
TreeNode? RemoveHelper(TreeNode? node, int val) {
if (node == null) return null;
/* 1. ノードを探索して削除 */
if (val < node.val)
node.left = RemoveHelper(node.left, val);
else if (val > node.val)
node.right = RemoveHelper(node.right, val);
else {
if (node.left == null || node.right == null) {
TreeNode? child = node.left ?? node.right;
// 子ノード数 = 0 の場合、node をそのまま削除して返す
if (child == null)
return null;
// 子ノード数 = 1 の場合、node をそのまま削除する
else
node = child;
} else {
// 子ノード数 = 2 の場合、中順走査の次のノードを削除し、そのノードで現在のノードを置き換える
TreeNode? temp = node.right;
while (temp.left != null) {
temp = temp.left;
}
node.right = RemoveHelper(node.right, temp.val!.Value);
node.val = temp.val;
}
}
UpdateHeight(node); // ノードの高さを更新する
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = Rotate(node);
// 部分木の根ノードを返す
return node;
}
```
=== "Go"
```go title="avl_tree.go"
/* ノードを削除 */
func (t *aVLTree) remove(val int) {
t.root = t.removeHelper(t.root, val)
}
/* ノードを再帰的に削除する（補助関数） */
func (t *aVLTree) removeHelper(node *TreeNode, val int) *TreeNode {
if node == nil {
return nil
}
/* 1. ノードを探索して削除 */
if val < node.Val.(int) {
node.Left = t.removeHelper(node.Left, val)
} else if val > node.Val.(int) {
node.Right = t.removeHelper(node.Right, val)
} else {
if node.Left == nil || node.Right == nil {
child := node.Left
if node.Right != nil {
child = node.Right
}
if child == nil {
// 子ノード数 = 0 の場合、node をそのまま削除して返す
return nil
} else {
// 子ノード数 = 1 の場合、node をそのまま削除する
node = child
}
} else {
// 子ノード数 = 2 の場合、中順走査の次のノードを削除し、そのノードで現在のノードを置き換える
temp := node.Right
for temp.Left != nil {
temp = temp.Left
}
node.Right = t.removeHelper(node.Right, temp.Val.(int))
node.Val = temp.Val
}
}
// ノードの高さを更新する
t.updateHeight(node)
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = t.rotate(node)
// 部分木の根ノードを返す
return node
}
```
=== "Swift"
```swift title="avl_tree.swift"
/* ノードを削除 */
func remove(val: Int) {
root = removeHelper(node: root, val: val)
}
/* ノードを再帰的に削除する（補助メソッド） */
func removeHelper(node: TreeNode?, val: Int) -> TreeNode? {
var node = node
if node == nil {
return nil
}
/* 1. ノードを探索して削除 */
if val < node!.val {
node?.left = removeHelper(node: node?.left, val: val)
} else if val > node!.val {
node?.right = removeHelper(node: node?.right, val: val)
} else {
if node?.left == nil || node?.right == nil {
let child = node?.left ?? node?.right
// 子ノード数 = 0 の場合、node をそのまま削除して返す
if child == nil {
return nil
}
// 子ノード数 = 1 の場合、node をそのまま削除する
else {
node = child
}
} else {
// 子ノード数 = 2 の場合、中順走査の次のノードを削除し、そのノードで現在のノードを置き換える
var temp = node?.right
while temp?.left != nil {
temp = temp?.left
}
node?.right = removeHelper(node: node?.right, val: temp!.val)
node?.val = temp!.val
}
}
updateHeight(node: node) // ノードの高さを更新する
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = rotate(node: node)
// 部分木の根ノードを返す
return node
}
```
=== "JS"
```javascript title="avl_tree.js"
/* ノードを削除 */
remove(val) {
this.root = this.#removeHelper(this.root, val);
}
/* ノードを再帰的に削除する（補助メソッド） */
#removeHelper(node, val) {
if (node === null) return null;
/* 1. ノードを探索して削除 */
if (val < node.val) node.left = this.#removeHelper(node.left, val);
else if (val > node.val)
node.right = this.#removeHelper(node.right, val);
else {
if (node.left === null || node.right === null) {
const child = node.left !== null ? node.left : node.right;
// 子ノード数 = 0 の場合、node をそのまま削除して返す
if (child === null) return null;
// 子ノード数 = 1 の場合、node をそのまま削除する
else node = child;
} else {
// 子ノード数 = 2 の場合、中順走査の次のノードを削除し、そのノードで現在のノードを置き換える
let temp = node.right;
while (temp.left !== null) {
temp = temp.left;
}
node.right = this.#removeHelper(node.right, temp.val);
node.val = temp.val;
}
}
this.#updateHeight(node); // ノードの高さを更新する
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = this.#rotate(node);
// 部分木の根ノードを返す
return node;
}
```
=== "TS"
```typescript title="avl_tree.ts"
/* ノードを削除 */
remove(val: number): void {
this.root = this.removeHelper(this.root, val);
}
/* ノードを再帰的に削除する（補助メソッド） */
removeHelper(node: TreeNode, val: number): TreeNode {
if (node === null) return null;
/* 1. ノードを探索して削除 */
if (val < node.val) {
node.left = this.removeHelper(node.left, val);
} else if (val > node.val) {
node.right = this.removeHelper(node.right, val);
} else {
if (node.left === null || node.right === null) {
const child = node.left !== null ? node.left : node.right;
// 子ノード数 = 0 の場合、node をそのまま削除して返す
if (child === null) {
return null;
} else {
// 子ノード数 = 1 の場合、node をそのまま削除する
node = child;
}
} else {
// 子ノード数 = 2 の場合、中順走査の次のノードを削除し、そのノードで現在のノードを置き換える
let temp = node.right;
while (temp.left !== null) {
temp = temp.left;
}
node.right = this.removeHelper(node.right, temp.val);
node.val = temp.val;
}
}
this.updateHeight(node); // ノードの高さを更新する
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = this.rotate(node);
// 部分木の根ノードを返す
return node;
}
```
=== "Dart"
```dart title="avl_tree.dart"
/* ノードを削除 */
void remove(int val) {
root = removeHelper(root, val);
}
/* ノードを再帰的に削除する（補助メソッド） */
TreeNode? removeHelper(TreeNode? node, int val) {
if (node == null) return null;
/* 1. ノードを探索して削除 */
if (val < node.val)
node.left = removeHelper(node.left, val);
else if (val > node.val)
node.right = removeHelper(node.right, val);
else {
if (node.left == null || node.right == null) {
TreeNode? child = node.left ?? node.right;
// 子ノード数 = 0 の場合、node をそのまま削除して返す
if (child == null)
return null;
// 子ノード数 = 1 の場合、node をそのまま削除する
else
node = child;
} else {
// 子ノード数 = 2 の場合、中順走査の次のノードを削除し、そのノードで現在のノードを置き換える
TreeNode? temp = node.right;
while (temp!.left != null) {
temp = temp.left;
}
node.right = removeHelper(node.right, temp.val);
node.val = temp.val;
}
}
updateHeight(node); // ノードの高さを更新する
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = rotate(node);
// 部分木の根ノードを返す
return node;
}
```
=== "Rust"
```rust title="avl_tree.rs"
/* ノードを削除 */
fn remove(&self, val: i32) {
Self::remove_helper(self.root.clone(), val);
}
/* ノードを再帰的に削除する（補助メソッド） */
fn remove_helper(node: OptionTreeNodeRc, val: i32) -> OptionTreeNodeRc {
match node {
Some(mut node) => {
/* 1. ノードを探索して削除 */
if val < node.borrow().val {
let left = node.borrow().left.clone();
node.borrow_mut().left = Self::remove_helper(left, val);
} else if val > node.borrow().val {
let right = node.borrow().right.clone();
node.borrow_mut().right = Self::remove_helper(right, val);
} else if node.borrow().left.is_none() || node.borrow().right.is_none() {
let child = if node.borrow().left.is_some() {
node.borrow().left.clone()
} else {
node.borrow().right.clone()
};
match child {
// 子ノード数 = 0 の場合、node をそのまま削除して返す
None => {
return None;
}
// 子ノード数 = 1 の場合、node をそのまま削除する
Some(child) => node = child,
}
} else {
// 子ノード数 = 2 の場合、中順走査の次のノードを削除し、そのノードで現在のノードを置き換える
let mut temp = node.borrow().right.clone().unwrap();
loop {
let temp_left = temp.borrow().left.clone();
if temp_left.is_none() {
break;
}
temp = temp_left.unwrap();
}
let right = node.borrow().right.clone();
node.borrow_mut().right = Self::remove_helper(right, temp.borrow().val);
node.borrow_mut().val = temp.borrow().val;
}
Self::update_height(Some(node.clone())); // ノードの高さを更新する
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = Self::rotate(Some(node)).unwrap();
// 部分木の根ノードを返す
Some(node)
}
None => None,
}
}
```
=== "C"
```c title="avl_tree.c"
/* ノードを削除 */
// stdio.h を導入しているため、ここでは remove 識別子を使えない
void removeItem(AVLTree *tree, int val) {
TreeNode *root = removeHelper(tree->root, val);
}
/* ノードを再帰的に削除する（補助関数） */
TreeNode *removeHelper(TreeNode *node, int val) {
TreeNode *child, *grandChild;
if (node == NULL) {
return NULL;
}
/* 1. ノードを探索して削除 */
if (val < node->val) {
node->left = removeHelper(node->left, val);
} else if (val > node->val) {
node->right = removeHelper(node->right, val);
} else {
if (node->left == NULL || node->right == NULL) {
child = node->left;
if (node->right != NULL) {
child = node->right;
}
// 子ノード数 = 0 の場合、node をそのまま削除して返す
if (child == NULL) {
return NULL;
} else {
// 子ノード数 = 1 の場合、node をそのまま削除する
node = child;
}
} else {
// 子ノード数 = 2 の場合、中順走査の次のノードを削除し、そのノードで現在のノードを置き換える
TreeNode *temp = node->right;
while (temp->left != NULL) {
temp = temp->left;
}
int tempVal = temp->val;
node->right = removeHelper(node->right, temp->val);
node->val = tempVal;
}
}
// ノードの高さを更新する
updateHeight(node);
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = rotate(node);
// 部分木の根ノードを返す
return node;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="avl_tree.kt"
/* ノードを削除 */
fun remove(_val: Int) {
root = removeHelper(root, _val)
}
/* ノードを再帰的に削除する（補助メソッド） */
fun removeHelper(n: TreeNode?, _val: Int): TreeNode? {
var node = n ?: return null
/* 1. ノードを探索して削除 */
if (_val < node._val)
node.left = removeHelper(node.left, _val)
else if (_val > node._val)
node.right = removeHelper(node.right, _val)
else {
if (node.left == null || node.right == null) {
val child = if (node.left != null)
node.left
else
node.right
// 子ノード数 = 0 の場合、node をそのまま削除して返す
if (child == null)
return null
// 子ノード数 = 1 の場合、node をそのまま削除する
else
node = child
} else {
// 子ノード数 = 2 の場合、中順走査の次のノードを削除し、そのノードで現在のノードを置き換える
var temp = node.right
while (temp!!.left != null) {
temp = temp.left
}
node.right = removeHelper(node.right, temp._val)
node._val = temp._val
}
}
updateHeight(node) // ノードの高さを更新する
/* 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する */
node = rotate(node)
// 部分木の根ノードを返す
return node
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="avl_tree.rb"
### ノードを削除 ###
def remove(val)
@root = remove_helper(@root, val)
end
### ノードを削除 ###
def remove(val)
@root = remove_helper(@root, val)
end
# ## ノードを再帰的に削除（補助メソッド）###
def remove_helper(node, val)
return if node.nil?
# 1. ノードを探索して削除
if val < node.val
node.left = remove_helper(node.left, val)
elsif val > node.val
node.right = remove_helper(node.right, val)
else
if node.left.nil? || node.right.nil?
child = node.left || node.right
# 子ノード数 = 0 の場合、node をそのまま削除して返す
return if child.nil?
# 子ノード数 = 1 の場合、node をそのまま削除する
node = child
else
# 子ノード数 = 2 の場合、中順走査の次のノードを削除し、そのノードで現在のノードを置き換える
temp = node.right
while !temp.left.nil?
temp = temp.left
end
node.right = remove_helper(node.right, temp.val)
node.val = temp.val
end
end
# ノードの高さを更新する
update_height(node)
# 2. 回転操作を行い、部分木の平衡を回復する
rotate(node)
end
```
### 3. &nbsp; ノードの探索
AVL 木のノード探索操作は二分探索木と同じなので、ここでは繰り返しません。
## 7.5.4 &nbsp; AVL 木の代表的な応用
- 大規模データの整理・格納に用いられ、高頻度の探索と低頻度の追加・削除に適しています。
- データベースのインデックスシステムの構築に使われます。
- 赤黒木も代表的な平衡二分探索木の一つです。AVL 木と比べると、赤黒木は平衡条件がより緩く、ノードの挿入・削除に必要な回転操作が少ないため、平均的な更新効率はより高くなります。
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