xinyin025/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2026-07-05 20:24:19 +00:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity
Files
cb5235bc3f6fc04511b7bb99e2ef2f414cfc80d2
hello-algo/ru/docs/chapter_greedy/fractional_knapsack_problem.md
T
krahets e53a7f2498 build
2026-04-14 18:06:14 +08:00

558 lines
38 KiB
Markdown
Raw Blame History

---
comments: true
---
# 15.2   Задача о дробном рюкзаке
!!! question
Дано $n$ предметов. Вес предмета $i$ равен $wgt[i-1]$, ценность равна $val[i-1]$, также дан рюкзак вместимостью $cap$. Каждый предмет можно выбрать только один раз, **но разрешается взять лишь часть предмета, а ценность вычисляется пропорционально взятому весу**. Требуется найти максимальную ценность предметов в рюкзаке при ограниченной вместимости. Пример показан на рисунке 15-3.
![Пример данных для задачи о дробном рюкзаке](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_example.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> Рисунок 15-3 &nbsp; Пример данных для задачи о дробном рюкзаке </p>
Задача о дробном рюкзаке в целом очень похожа на задачу о рюкзаке 0-1: состояние включает текущий предмет $i$ и вместимость $c$, а цель состоит в нахождении максимальной ценности при заданной вместимости рюкзака.
Отличие в том, что здесь разрешено брать только часть предмета. Как показано на рисунке 15-4, **мы можем произвольно делить предмет и вычислять соответствующую ценность пропорционально весу**.
1. Для предмета $i$ его ценность на единицу веса равна $val[i-1] / wgt[i-1]$, сокращенно - удельная ценность.
2. Если взять часть предмета $i$ весом $w$, то ценность рюкзака увеличится на $w \times val[i-1] / wgt[i-1]$.
![Ценность предмета на единицу веса](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_unit_value.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> Рисунок 15-4 &nbsp; Ценность предмета на единицу веса </p>
### 1. &nbsp; Определение жадной стратегии
Максимизация общей ценности предметов в рюкзаке **по сути равносильна максимизации ценности на единицу веса**. Отсюда естественно выводится жадная стратегия, показанная на рисунке 15-5.
1. Отсортировать предметы по убыванию удельной ценности.
2. Перебирать все предметы и **на каждом шаге жадно выбирать предмет с наибольшей удельной ценностью**.
3. Если оставшейся вместимости рюкзака недостаточно, взять часть текущего предмета, чтобы заполнить рюкзак.
![Жадная стратегия для задачи о дробном рюкзаке](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_greedy_strategy.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> Рисунок 15-5 &nbsp; Жадная стратегия для задачи о дробном рюкзаке </p>
### 2. &nbsp; Код реализации
Мы вводим класс `Item`, чтобы можно было сортировать предметы по удельной ценности. Далее циклически выполняем жадный выбор и, когда рюкзак заполнен, выходим и возвращаем ответ:
=== "Python"
```python title="fractional_knapsack.py"
class Item:
"""Предмет"""
def __init__(self, w: int, v: int):
self.w = w # Вес предмета
self.v = v # Стоимость предмета
def fractional_knapsack(wgt: list[int], val: list[int], cap: int) -> int:
"""Дробный рюкзак: жадный алгоритм"""
# Создать список предметов с двумя свойствами: вес и стоимость
items = [Item(w, v) for w, v in zip(wgt, val)]
# Отсортировать по удельной стоимости item.v / item.w в порядке убывания
items.sort(key=lambda item: item.v / item.w, reverse=True)
# Циклический жадный выбор
res = 0
for item in items:
if item.w <= cap:
# Если оставшейся вместимости достаточно, положить в рюкзак текущий предмет целиком
res += item.v
cap -= item.w
else:
# Если оставшейся вместимости недостаточно, положить в рюкзак часть текущего предмета
res += (item.v / item.w) * cap
# Свободной вместимости больше не осталось, поэтому выйти из цикла
break
return res
```
=== "C++"
```cpp title="fractional_knapsack.cpp"
/* Предмет */
class Item {
public:
int w; // Вес предмета
int v; // Стоимость предмета
Item(int w, int v) : w(w), v(v) {
}
};
/* Дробный рюкзак: жадный алгоритм */
double fractionalKnapsack(vector<int> &wgt, vector<int> &val, int cap) {
// Создать список предметов с двумя свойствами: вес и стоимость
vector<Item> items;
for (int i = 0; i < wgt.size(); i++) {
items.push_back(Item(wgt[i], val[i]));
}
// Отсортировать по удельной стоимости item.v / item.w в порядке убывания
sort(items.begin(), items.end(), [](Item &a, Item &b) { return (double)a.v / a.w > (double)b.v / b.w; });
// Циклический жадный выбор
double res = 0;
for (auto &item : items) {
if (item.w <= cap) {
// Если оставшейся вместимости достаточно, положить в рюкзак текущий предмет целиком
res += item.v;
cap -= item.w;
} else {
// Если оставшейся вместимости недостаточно, положить в рюкзак часть текущего предмета
res += (double)item.v / item.w * cap;
// Свободной вместимости больше не осталось, поэтому выйти из цикла
break;
}
}
return res;
}
```
=== "Java"
```java title="fractional_knapsack.java"
/* Предмет */
class Item {
int w; // Вес предмета
int v; // Стоимость предмета
public Item(int w, int v) {
this.w = w;
this.v = v;
}
}
/* Дробный рюкзак: жадный алгоритм */
double fractionalKnapsack(int[] wgt, int[] val, int cap) {
// Создать список предметов с двумя свойствами: вес и стоимость
Item[] items = new Item[wgt.length];
for (int i = 0; i < wgt.length; i++) {
items[i] = new Item(wgt[i], val[i]);
}
// Отсортировать по удельной стоимости item.v / item.w в порядке убывания
Arrays.sort(items, Comparator.comparingDouble(item -> -((double) item.v / item.w)));
// Циклический жадный выбор
double res = 0;
for (Item item : items) {
if (item.w <= cap) {
// Если оставшейся вместимости достаточно, положить в рюкзак текущий предмет целиком
res += item.v;
cap -= item.w;
} else {
// Если оставшейся вместимости недостаточно, положить в рюкзак часть текущего предмета
res += (double) item.v / item.w * cap;
// Свободной вместимости больше не осталось, поэтому выйти из цикла
break;
}
}
return res;
}
```
=== "C#"
```csharp title="fractional_knapsack.cs"
/* Предмет */
class Item(int w, int v) {
public int w = w; // Вес предмета
public int v = v; // Стоимость предмета
}
/* Дробный рюкзак: жадный алгоритм */
double FractionalKnapsack(int[] wgt, int[] val, int cap) {
// Создать список предметов с двумя свойствами: вес и стоимость
Item[] items = new Item[wgt.Length];
for (int i = 0; i < wgt.Length; i++) {
items[i] = new Item(wgt[i], val[i]);
}
// Отсортировать по удельной стоимости item.v / item.w в порядке убывания
Array.Sort(items, (x, y) => (y.v / y.w).CompareTo(x.v / x.w));
// Циклический жадный выбор
double res = 0;
foreach (Item item in items) {
if (item.w <= cap) {
// Если оставшейся вместимости достаточно, положить в рюкзак текущий предмет целиком
res += item.v;
cap -= item.w;
} else {
// Если оставшейся вместимости недостаточно, положить в рюкзак часть текущего предмета
res += (double)item.v / item.w * cap;
// Свободной вместимости больше не осталось, поэтому выйти из цикла
break;
}
}
return res;
}
```
=== "Go"
```go title="fractional_knapsack.go"
/* Предмет */
type Item struct {
w int // Вес предмета
v int // Стоимость предмета
}
/* Дробный рюкзак: жадный алгоритм */
func fractionalKnapsack(wgt []int, val []int, cap int) float64 {
// Создать список предметов с двумя свойствами: вес и стоимость
items := make([]Item, len(wgt))
for i := 0; i < len(wgt); i++ {
items[i] = Item{wgt[i], val[i]}
}
// Отсортировать по удельной стоимости item.v / item.w в порядке убывания
sort.Slice(items, func(i, j int) bool {
return float64(items[i].v)/float64(items[i].w) > float64(items[j].v)/float64(items[j].w)
})
// Циклический жадный выбор
res := 0.0
for _, item := range items {
if item.w <= cap {
// Если оставшейся вместимости достаточно, положить в рюкзак текущий предмет целиком
res += float64(item.v)
cap -= item.w
} else {
// Если оставшейся вместимости недостаточно, положить в рюкзак часть текущего предмета
res += float64(item.v) / float64(item.w) * float64(cap)
// Свободной вместимости больше не осталось, поэтому выйти из цикла
break
}
}
return res
}
```
=== "Swift"
```swift title="fractional_knapsack.swift"
/* Предмет */
class Item {
var w: Int // Вес предмета
var v: Int // Стоимость предмета
init(w: Int, v: Int) {
self.w = w
self.v = v
}
}
/* Дробный рюкзак: жадный алгоритм */
func fractionalKnapsack(wgt: [Int], val: [Int], cap: Int) -> Double {
// Создать список предметов с двумя свойствами: вес и стоимость
var items = zip(wgt, val).map { Item(w: $0, v: $1) }
// Отсортировать по удельной стоимости item.v / item.w в порядке убывания
items.sort { -(Double($0.v) / Double($0.w)) < -(Double($1.v) / Double($1.w)) }
// Циклический жадный выбор
var res = 0.0
var cap = cap
for item in items {
if item.w <= cap {
// Если оставшейся вместимости достаточно, положить в рюкзак текущий предмет целиком
res += Double(item.v)
cap -= item.w
} else {
// Если оставшейся вместимости недостаточно, положить в рюкзак часть текущего предмета
res += Double(item.v) / Double(item.w) * Double(cap)
// Свободной вместимости больше не осталось, поэтому выйти из цикла
break
}
}
return res
}
```
=== "JS"
```javascript title="fractional_knapsack.js"
/* Предмет */
class Item {
constructor(w, v) {
this.w = w; // Вес предмета
this.v = v; // Стоимость предмета
}
}
/* Дробный рюкзак: жадный алгоритм */
function fractionalKnapsack(wgt, val, cap) {
// Создать список предметов с двумя свойствами: вес и стоимость
const items = wgt.map((w, i) => new Item(w, val[i]));
// Отсортировать по удельной стоимости item.v / item.w в порядке убывания
items.sort((a, b) => b.v / b.w - a.v / a.w);
// Циклический жадный выбор
let res = 0;
for (const item of items) {
if (item.w <= cap) {
// Если оставшейся вместимости достаточно, положить в рюкзак текущий предмет целиком
res += item.v;
cap -= item.w;
} else {
// Если оставшейся вместимости недостаточно, положить в рюкзак часть текущего предмета
res += (item.v / item.w) * cap;
// Свободной вместимости больше не осталось, поэтому выйти из цикла
break;
}
}
return res;
}
```
=== "TS"
```typescript title="fractional_knapsack.ts"
/* Предмет */
class Item {
w: number; // Вес предмета
v: number; // Стоимость предмета
constructor(w: number, v: number) {
this.w = w;
this.v = v;
}
}
/* Дробный рюкзак: жадный алгоритм */
function fractionalKnapsack(wgt: number[], val: number[], cap: number): number {
// Создать список предметов с двумя свойствами: вес и стоимость
const items: Item[] = wgt.map((w, i) => new Item(w, val[i]));
// Отсортировать по удельной стоимости item.v / item.w в порядке убывания
items.sort((a, b) => b.v / b.w - a.v / a.w);
// Циклический жадный выбор
let res = 0;
for (const item of items) {
if (item.w <= cap) {
// Если оставшейся вместимости достаточно, положить в рюкзак текущий предмет целиком
res += item.v;
cap -= item.w;
} else {
// Если оставшейся вместимости недостаточно, положить в рюкзак часть текущего предмета
res += (item.v / item.w) * cap;
// Свободной вместимости больше не осталось, поэтому выйти из цикла
break;
}
}
return res;
}
```
=== "Dart"
```dart title="fractional_knapsack.dart"
/* Предмет */
class Item {
int w; // Вес предмета
int v; // Стоимость предмета
Item(this.w, this.v);
}
/* Дробный рюкзак: жадный алгоритм */
double fractionalKnapsack(List<int> wgt, List<int> val, int cap) {
// Создать список предметов с двумя свойствами: вес и стоимость
List<Item> items = List.generate(wgt.length, (i) => Item(wgt[i], val[i]));
// Отсортировать по удельной стоимости item.v / item.w в порядке убывания
items.sort((a, b) => (b.v / b.w).compareTo(a.v / a.w));
// Циклический жадный выбор
double res = 0;
for (Item item in items) {
if (item.w <= cap) {
// Если оставшейся вместимости достаточно, положить в рюкзак текущий предмет целиком
res += item.v;
cap -= item.w;
} else {
// Если оставшейся вместимости недостаточно, положить в рюкзак часть текущего предмета
res += item.v / item.w * cap;
// Свободной вместимости больше не осталось, поэтому выйти из цикла
break;
}
}
return res;
}
```
=== "Rust"
```rust title="fractional_knapsack.rs"
/* Предмет */
struct Item {
w: i32, // Вес предмета
v: i32, // Стоимость предмета
}
impl Item {
fn new(w: i32, v: i32) -> Self {
Self { w, v }
}
}
/* Дробный рюкзак: жадный алгоритм */
fn fractional_knapsack(wgt: &[i32], val: &[i32], mut cap: i32) -> f64 {
// Создать список предметов с двумя свойствами: вес и стоимость
let mut items = wgt
.iter()
.zip(val.iter())
.map(|(&w, &v)| Item::new(w, v))
.collect::<Vec<Item>>();
// Отсортировать по удельной стоимости item.v / item.w в порядке убывания
items.sort_by(|a, b| {
(b.v as f64 / b.w as f64)
.partial_cmp(&(a.v as f64 / a.w as f64))
.unwrap()
});
// Циклический жадный выбор
let mut res = 0.0;
for item in &items {
if item.w <= cap {
// Если оставшейся вместимости достаточно, положить в рюкзак текущий предмет целиком
res += item.v as f64;
cap -= item.w;
} else {
// Если оставшейся вместимости недостаточно, положить в рюкзак часть текущего предмета
res += item.v as f64 / item.w as f64 * cap as f64;
// Свободной вместимости больше не осталось, поэтому выйти из цикла
break;
}
}
res
}
```
=== "C"
```c title="fractional_knapsack.c"
/* Предмет */
typedef struct {
int w; // Вес предмета
int v; // Стоимость предмета
} Item;
/* Дробный рюкзак: жадный алгоритм */
float fractionalKnapsack(int wgt[], int val[], int itemCount, int cap) {
// Создать список предметов с двумя свойствами: вес и стоимость
Item *items = malloc(sizeof(Item) * itemCount);
for (int i = 0; i < itemCount; i++) {
items[i] = (Item){.w = wgt[i], .v = val[i]};
}
// Отсортировать по удельной стоимости item.v / item.w в порядке убывания
qsort(items, (size_t)itemCount, sizeof(Item), sortByValueDensity);
// Циклический жадный выбор
float res = 0.0;
for (int i = 0; i < itemCount; i++) {
if (items[i].w <= cap) {
// Если оставшейся вместимости достаточно, положить в рюкзак текущий предмет целиком
res += items[i].v;
cap -= items[i].w;
} else {
// Если оставшейся вместимости недостаточно, положить в рюкзак часть текущего предмета
res += (float)cap / items[i].w * items[i].v;
cap = 0;
break;
}
}
free(items);
return res;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="fractional_knapsack.kt"
/* Предмет */
class Item(
val w: Int, // Предмет
val v: Int // Стоимость предмета
)
/* Дробный рюкзак: жадный алгоритм */
fun fractionalKnapsack(wgt: IntArray, _val: IntArray, c: Int): Double {
// Создать список предметов с двумя свойствами: вес и стоимость
var cap = c
val items = arrayOfNulls<Item>(wgt.size)
for (i in wgt.indices) {
items[i] = Item(wgt[i], _val[i])
}
// Отсортировать по удельной стоимости item.v / item.w в порядке убывания
items.sortBy { item: Item? -> -(item!!.v.toDouble() / item.w) }
// Циклический жадный выбор
var res = 0.0
for (item in items) {
if (item!!.w <= cap) {
// Если оставшейся вместимости достаточно, положить в рюкзак текущий предмет целиком
res += item.v
cap -= item.w
} else {
// Если оставшейся вместимости недостаточно, положить в рюкзак часть текущего предмета
res += item.v.toDouble() / item.w * cap
// Свободной вместимости больше не осталось, поэтому выйти из цикла
break
}
}
return res
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="fractional_knapsack.rb"
### Предмет ###
class Item
attr_accessor :w # Вес предмета
attr_accessor :v # Стоимость предмета
def initialize(w, v)
@w = w
@v = v
end
end
### Дробный рюкзак: жадный алгоритм ###
def fractional_knapsack(wgt, val, cap)
# Создать список предметов с двумя свойствами: вес и стоимость
items = wgt.each_with_index.map { |w, i| Item.new(w, val[i]) }
# Отсортировать по удельной стоимости item.v / item.w в порядке убывания
items.sort! { |a, b| (b.v.to_f / b.w) <=> (a.v.to_f / a.w) }
# Циклический жадный выбор
res = 0
for item in items
if item.w <= cap
# Если оставшейся вместимости достаточно, положить в рюкзак текущий предмет целиком
res += item.v
cap -= item.w
else
# Если оставшейся вместимости недостаточно, положить в рюкзак часть текущего предмета
res += (item.v.to_f / item.w) * cap
# Свободной вместимости больше не осталось, поэтому выйти из цикла
break
end
end
res
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20Item%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20w%3A%20int%2C%20v%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.w%20%3D%20w%20%20%23%20%D0%92%D0%B5%D1%81%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.v%20%3D%20v%20%20%23%20%D0%A1%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B0%0A%0Adef%20fractional_knapsack%28wgt%3A%20list%5Bint%5D%2C%20val%3A%20list%5Bint%5D%2C%20cap%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%94%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%3A%20%D0%B6%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A1%D0%BE%D0%B7%D0%B4%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%BE%D0%BA%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B2%20%D1%81%20%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F%20%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0%D0%BC%D0%B8%3A%20%D0%B2%D0%B5%D1%81%20%D0%B8%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%0A%20%20%20%20items%20%3D%20%5BItem%28w%2C%20v%29%20for%20w%2C%20v%20in%20zip%28wgt%2C%20val%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9E%D1%82%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D0%BE%20%D1%83%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20item.v%20%2F%20item.w%20%D0%B2%20%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B5%20%D1%83%D0%B1%D1%8B%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F%0A%20%20%20%20items.sort%28key%3Dlambda%20item%3A%20item.v%20%2F%20item.w%2C%20reverse%3DTrue%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A6%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B6%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%0A%20%20%20%20res%20%3D%200%0A%20%20%20%20for%20item%20in%20items%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20item.w%20%3C%3D%20cap%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D1%88%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%8F%20%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%D0%B4%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%2C%20%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%20%D1%82%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%89%D0%B8%D0%B9%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%20%D1%86%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%2B%3D%20item.v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cap%20-%3D%20item.w%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D1%88%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%8F%20%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%D0%BD%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%2C%20%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%20%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D1%82%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%89%D0%B5%D0%B3%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%2B%3D%20%28item.v%20%2F%20item.w%29%20%2A%20cap%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%A1%D0%B2%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B5%20%D0%BD%D0%B5%20%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D1%81%D1%8C%2C%20%D0%BF%D0%BE%D1%8D%D1%82%D0%BE%D0%BC%D1%83%20%D0%B2%D1%8B%D0%B9%D1%82%D0%B8%20%D0%B8%D0%B7%20%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10%2C%2020%2C%2030%2C%2040%2C%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50%2C%20120%2C%20150%2C%20210%2C%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%96%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%0A%20%20%20%20res%20%3D%20fractional_knapsack%28wgt%2C%20val%2C%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B2%20%D0%B1%D0%B5%D0%B7%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%B0%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=8&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20Item%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20w%3A%20int%2C%20v%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.w%20%3D%20w%20%20%23%20%D0%92%D0%B5%D1%81%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.v%20%3D%20v%20%20%23%20%D0%A1%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B0%0A%0Adef%20fractional_knapsack%28wgt%3A%20list%5Bint%5D%2C%20val%3A%20list%5Bint%5D%2C%20cap%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%94%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%3A%20%D0%B6%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A1%D0%BE%D0%B7%D0%B4%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%BE%D0%BA%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B2%20%D1%81%20%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F%20%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0%D0%BC%D0%B8%3A%20%D0%B2%D0%B5%D1%81%20%D0%B8%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%0A%20%20%20%20items%20%3D%20%5BItem%28w%2C%20v%29%20for%20w%2C%20v%20in%20zip%28wgt%2C%20val%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9E%D1%82%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D0%BE%20%D1%83%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20item.v%20%2F%20item.w%20%D0%B2%20%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B5%20%D1%83%D0%B1%D1%8B%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F%0A%20%20%20%20items.sort%28key%3Dlambda%20item%3A%20item.v%20%2F%20item.w%2C%20reverse%3DTrue%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%A6%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%20%D0%B6%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%0A%20%20%20%20res%20%3D%200%0A%20%20%20%20for%20item%20in%20items%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20item.w%20%3C%3D%20cap%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D1%88%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%8F%20%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%D0%B4%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%2C%20%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%20%D1%82%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%89%D0%B8%D0%B9%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%20%D1%86%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%2B%3D%20item.v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cap%20-%3D%20item.w%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D1%88%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%8F%20%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%D0%BD%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%2C%20%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%20%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D1%82%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%89%D0%B5%D0%B3%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%2B%3D%20%28item.v%20%2F%20item.w%29%20%2A%20cap%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%A1%D0%B2%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B5%20%D0%BD%D0%B5%20%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D1%81%D1%8C%2C%20%D0%BF%D0%BE%D1%8D%D1%82%D0%BE%D0%BC%D1%83%20%D0%B2%D1%8B%D0%B9%D1%82%D0%B8%20%D0%B8%D0%B7%20%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10%2C%2020%2C%2030%2C%2040%2C%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50%2C%20120%2C%20150%2C%20210%2C%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%96%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%0A%20%20%20%20res%20%3D%20fractional_knapsack%28wgt%2C%20val%2C%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B2%20%D0%B1%D0%B5%D0%B7%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%B0%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=8&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
Встроенный алгоритм сортировки обычно имеет временную сложность $O(n \log n)$, а пространственная сложность обычно равна $O(\log n)$ или $O(n)$, в зависимости от конкретной реализации в языке программирования.
Помимо сортировки, в худшем случае потребуется пройти весь список предметов, но это не меняет асимптотику, **поэтому итоговая временная сложность равна $O(n \log n)$**, где $n$ - число предметов.
Поскольку инициализируется список объектов `Item`, **пространственная сложность равна $O(n)$**.
### 3. &nbsp; Доказательство корректности
Используем доказательство от противного. Предположим, что предмет $x$ имеет наибольшую удельную ценность, некоторый алгоритм получил максимальную ценность `res`, но в найденном решении предмет $x$ отсутствует.
Теперь вынем из рюкзака произвольный предмет единичного веса и заменим его на предмет $x$ того же веса. Поскольку предмет $x$ имеет наибольшую удельную ценность, общая ценность после замены обязательно станет больше `res`. **Это противоречит тому, что `res` является оптимальным решением, а значит оптимальное решение обязательно содержит предмет $x$**.
Для других предметов в этом решении можно построить аналогичное противоречие. Иными словами, **предметы с большей удельной ценностью всегда являются более выгодным выбором**, а значит жадная стратегия корректна.
Как показано на рисунке 15-6, если рассматривать вес предметов и их удельную ценность как горизонтальную и вертикальную оси двумерной диаграммы, то задачу о дробном рюкзаке можно интерпретировать как «поиск максимальной площади, ограниченной конечным отрезком по горизонтали». Эта аналогия помогает понять корректность жадной стратегии с геометрической точки зрения.
![Геометрическая интерпретация задачи о дробном рюкзаке](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_area_chart.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> Рисунок 15-6 &nbsp; Геометрическая интерпретация задачи о дробном рюкзаке </p>
Reference in New Issue View Git Blame Copy Permalink