xinyin025/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2026-07-11 15:06:07 +00:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity
Files
cb5235bc3f6fc04511b7bb99e2ef2f414cfc80d2
hello-algo/ru/docs/chapter_heap/build_heap.md
T
krahets e53a7f2498 build
2026-04-14 18:06:14 +08:00

377 lines
24 KiB
Markdown
Raw Blame History

---
comments: true
---
# 8.2   Построение кучи
В некоторых случаях требуется построить кучу, используя сразу все элементы списка. Этот процесс называется построением кучи.
## 8.2.1   Реализация через операцию добавления в кучу
Сначала мы создаем пустую кучу, затем обходим список и для каждого элемента по очереди выполняем операцию добавления в кучу: сначала помещаем элемент в хвост кучи, а затем выполняем для него упорядочивание снизу вверх.
Каждый раз, когда элемент добавляется в кучу, ее длина увеличивается на единицу. Поскольку узлы последовательно добавляются в двоичное дерево сверху вниз, куча строится сверху вниз.
Пусть число элементов равно $n$. Так как каждая операция добавления требует $O(\log{n})$ времени, временная сложность такого построения кучи составляет $O(n \log n)$ .
## 8.2.2   Реализация через обход и упорядочивание
На самом деле можно реализовать и более эффективный способ построения кучи, который состоит из двух шагов.
1. Без изменений добавить все элементы списка в кучу. В этот момент свойства кучи еще не выполняются.
2. Обойти кучу в обратном порядке, то есть в порядке, обратном обходу по уровням, и по очереди выполнить упорядочивание сверху вниз для каждого нелистового узла.
**После того как некоторый узел был упорядочен, поддерево с этим узлом в качестве корня становится корректной подкучей**. А поскольку обход выполняется в обратном порядке, куча строится снизу вверх.
Причина выбора обратного обхода в том, что он гарантирует: поддеревья ниже текущего узла уже являются корректными подкучами, а значит, упорядочивание текущего узла действительно будет эффективным.
Стоит отметить, что **листовые узлы не имеют дочерних узлов, поэтому они естественным образом являются корректными подкучами и не требуют упорядочивания**. Как показано в коде ниже, последний нелистовой узел является родителем последнего узла, и именно с него мы начинаем обратный обход и упорядочивание:
=== "Python"
```python title="my_heap.py"
def __init__(self, nums: list[int]):
"""Конструктор, строящий кучу по входному списку"""
# Добавить элементы списка в кучу без изменений
self.max_heap = nums
# Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1):
self.sift_down(i)
```
=== "C++"
```cpp title="my_heap.cpp"
/* Конструктор, строящий кучу по входному списку */
MaxHeap(vector<int> nums) {
// Добавить элементы списка в кучу без изменений
maxHeap = nums;
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
}
```
=== "Java"
```java title="my_heap.java"
/* Конструктор, строящий кучу по входному списку */
MaxHeap(List<Integer> nums) {
// Добавить элементы списка в кучу без изменений
maxHeap = new ArrayList<>(nums);
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
}
```
=== "C#"
```csharp title="my_heap.cs"
/* Конструктор: построить кучу по входному списку */
MaxHeap(IEnumerable<int> nums) {
// Добавить элементы списка в кучу без изменений
maxHeap = new List<int>(nums);
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
var size = Parent(this.Size() - 1);
for (int i = size; i >= 0; i--) {
SiftDown(i);
}
}
```
=== "Go"
```go title="my_heap.go"
/* Конструктор, строящий кучу по срезу */
func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap {
// Добавить элементы списка в кучу без изменений
h := &maxHeap{data: nums}
for i := h.parent(len(h.data) - 1); i >= 0; i-- {
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
h.siftDown(i)
}
return h
}
```
=== "Swift"
```swift title="my_heap.swift"
/* Конструктор, строящий кучу по входному списку */
init(nums: [Int]) {
// Добавить элементы списка в кучу без изменений
maxHeap = nums
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
for i in (0 ... parent(i: size() - 1)).reversed() {
siftDown(i: i)
}
}
```
=== "JS"
```javascript title="my_heap.js"
/* Конструктор, создающий пустую кучу или строящий кучу по входному списку */
constructor(nums) {
// Добавить элементы списка в кучу без изменений
this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
this.#siftDown(i);
}
}
```
=== "TS"
```typescript title="my_heap.ts"
/* Конструктор, создающий пустую кучу или строящий кучу по входному списку */
constructor(nums?: number[]) {
// Добавить элементы списка в кучу без изменений
this.maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
for (let i = this.parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
this.siftDown(i);
}
}
```
=== "Dart"
```dart title="my_heap.dart"
/* Конструктор, строящий кучу по входному списку */
MaxHeap(List<int> nums) {
// Добавить элементы списка в кучу без изменений
_maxHeap = nums;
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
for (int i = _parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
}
```
=== "Rust"
```rust title="my_heap.rs"
/* Конструктор, строящий кучу по входному списку */
fn new(nums: Vec<i32>) -> Self {
// Добавить элементы списка в кучу без изменений
let mut heap = MaxHeap { max_heap: nums };
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
for i in (0..=Self::parent(heap.size() - 1)).rev() {
heap.sift_down(i);
}
heap
}
```
=== "C"
```c title="my_heap.c"
/* Конструктор, строящий кучу по срезу */
MaxHeap *newMaxHeap(int nums[], int size) {
// Поместить все элементы в кучу
MaxHeap *maxHeap = (MaxHeap *)malloc(sizeof(MaxHeap));
maxHeap->size = size;
memcpy(maxHeap->data, nums, size * sizeof(int));
for (int i = parent(maxHeap, size - 1); i >= 0; i--) {
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
siftDown(maxHeap, i);
}
return maxHeap;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="my_heap.kt"
/* Максимальная куча */
class MaxHeap(nums: MutableList<Int>?) {
// Использовать список вместо массива, чтобы не учитывать проблему расширения
private val maxHeap = mutableListOf<Int>()
/* Конструктор, строящий кучу по входному списку */
init {
// Добавить элементы списка в кучу без изменений
maxHeap.addAll(nums!!)
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
for (i in parent(size() - 1) downTo 0) {
siftDown(i)
}
}
/* Получить индекс левого дочернего узла */
private fun left(i: Int): Int {
return 2 * i + 1
}
/* Получить индекс правого дочернего узла */
private fun right(i: Int): Int {
return 2 * i + 2
}
/* Получить индекс родительского узла */
private fun parent(i: Int): Int {
return (i - 1) / 2 // Округление вниз при делении
}
/* Поменять элементы местами */
private fun swap(i: Int, j: Int) {
val temp = maxHeap[i]
maxHeap[i] = maxHeap[j]
maxHeap[j] = temp
}
/* Получение размера кучи */
fun size(): Int {
return maxHeap.size
}
/* Проверка, пуста ли куча */
fun isEmpty(): Boolean {
/* Проверка, пуста ли куча */
return size() == 0
}
/* Доступ к элементу на вершине кучи */
fun peek(): Int {
return maxHeap[0]
}
/* Добавление элемента в кучу */
fun push(_val: Int) {
// Добавление узла
maxHeap.add(_val)
// Просеивание снизу вверх
siftUp(size() - 1)
}
/* Начиная с узла i, выполнить просеивание снизу вверх */
private fun siftUp(it: Int) {
// Параметры функций в Kotlin неизменяемы, поэтому создается временная переменная
var i = it
while (true) {
// Получение родительского узла для узла i
val p = parent(i)
// Завершить heapify, когда «корневой узел уже пройден» или «узел не требует исправления»
if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p]) break
// Поменять два узла местами
swap(i, p)
// Циклическое просеивание вверх
i = p
}
}
/* Извлечение элемента из кучи */
fun pop(): Int {
// Обработка пустого случая
if (isEmpty()) throw IndexOutOfBoundsException()
// Поменять корневой узел с самым правым листом местами (поменять первый и последний элементы)
swap(0, size() - 1)
// Удаление узла
val _val = maxHeap.removeAt(size() - 1)
// Просеивание сверху вниз
siftDown(0)
// Вернуть элемент с вершины кучи
return _val
}
/* Начиная с узла i, выполнить просеивание сверху вниз */
private fun siftDown(it: Int) {
// Параметры функций в Kotlin неизменяемы, поэтому создается временная переменная
var i = it
while (true) {
// Определить узел с максимальным значением среди i, l и r и обозначить его как ma
val l = left(i)
val r = right(i)
var ma = i
if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma]) ma = l
if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma]) ma = r
// Если узел i уже максимален или индексы l и r вне границ, дальнейшее просеивание не требуется, выйти
if (ma == i) break
// Поменять два узла местами
swap(i, ma)
// Циклическое просеивание вниз
i = ma
}
}
/* Вывести кучу (двоичное дерево) */
fun print() {
val queue = PriorityQueue { a: Int, b: Int -> b - a }
queue.addAll(maxHeap)
printHeap(queue)
}
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="my_heap.rb"
### Конструктор, строящий кучу по входному списку ###
def initialize(nums)
# Добавить элементы списка в кучу без изменений
@max_heap = nums
# Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
parent(size - 1).downto(0) do |i|
sift_down(i)
end
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20MaxHeap%3A%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20nums%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%20%3D%20nums%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28self.parent%28self.size%28%29%20-%201%29%2C%20-1%2C%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.sift_down%28i%29%0A%0A%20%20%20%20def%20left%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%201%0A%0A%20%20%20%20def%20right%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%202%0A%0A%20%20%20%20def%20parent%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%28i%20-%201%29%20%2F%2F%202%0A%0A%20%20%20%20def%20swap%28self%2C%20i%3A%20int%2C%20j%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%28self.max_heap%5Bi%5D%2C%20self.max_heap%5Bj%5D%29%20%3D%20%28self.max_heap%5Bj%5D%2C%20self.max_heap%5Bi%5D%29%0A%0A%20%20%20%20def%20size%28self%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20len%28self.max_heap%29%0A%0A%20%20%20%20def%20sift_down%28self%2C%20i%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20True%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%28l%2C%20r%2C%20ma%29%20%3D%20%28self.left%28i%29%2C%20self.right%28i%29%2C%20i%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20l%20%3C%20self.size%28%29%20and%20self.max_heap%5Bl%5D%20%3E%20self.max_heap%5Bma%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ma%20%3D%20l%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20r%20%3C%20self.size%28%29%20and%20self.max_heap%5Br%5D%20%3E%20self.max_heap%5Bma%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ma%20%3D%20r%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20ma%20%3D%3D%20i%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.swap%28i%2C%20ma%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%3D%20ma%0A%27Driver%20Code%27%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%27__main__%27%3A%0A%20%20%20%20max_heap%20%3D%20MaxHeap%28%5B1%2C%202%2C%203%2C%204%2C%205%5D%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20MaxHeap%3A%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20nums%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%20%3D%20nums%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28self.parent%28self.size%28%29%20-%201%29%2C%20-1%2C%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.sift_down%28i%29%0A%0A%20%20%20%20def%20left%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%201%0A%0A%20%20%20%20def%20right%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%202%0A%0A%20%20%20%20def%20parent%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%28i%20-%201%29%20%2F%2F%202%0A%0A%20%20%20%20def%20swap%28self%2C%20i%3A%20int%2C%20j%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%28self.max_heap%5Bi%5D%2C%20self.max_heap%5Bj%5D%29%20%3D%20%28self.max_heap%5Bj%5D%2C%20self.max_heap%5Bi%5D%29%0A%0A%20%20%20%20def%20size%28self%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20len%28self.max_heap%29%0A%0A%20%20%20%20def%20sift_down%28self%2C%20i%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20True%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%28l%2C%20r%2C%20ma%29%20%3D%20%28self.left%28i%29%2C%20self.right%28i%29%2C%20i%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20l%20%3C%20self.size%28%29%20and%20self.max_heap%5Bl%5D%20%3E%20self.max_heap%5Bma%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ma%20%3D%20l%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20r%20%3C%20self.size%28%29%20and%20self.max_heap%5Br%5D%20%3E%20self.max_heap%5Bma%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ma%20%3D%20r%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20ma%20%3D%3D%20i%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.swap%28i%2C%20ma%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%3D%20ma%0A%27Driver%20Code%27%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%27__main__%27%3A%0A%20%20%20%20max_heap%20%3D%20MaxHeap%28%5B1%2C%202%2C%203%2C%204%2C%205%5D%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
## 8.2.3 &nbsp; Анализ сложности
Теперь попробуем оценить временную сложность второго способа построения кучи.
- Пусть число узлов полного двоичного дерева равно $n$ , тогда число листовых узлов равно $(n + 1) / 2$ , где $/$ означает целочисленное деление вниз. Следовательно, число узлов, которые нужно упорядочивать, равно $(n - 1) / 2$ .
- В процессе упорядочивания сверху вниз каждый узел в худшем случае может просеяться до листа, поэтому максимальное число итераций равно высоте двоичного дерева $\log n$ .
Перемножив эти два значения, можно получить временную сложность построения кучи $O(n \log n)$ . **Но эта оценка неточна, потому что мы не учли свойство двоичного дерева: на нижних уровнях узлов гораздо больше, чем на верхних**.
Далее выполним более точный расчет. Чтобы упростить вычисления, предположим, что дано «идеальное двоичное дерево» высоты $h$ с числом узлов $n$. Это предположение не повлияет на корректность результата.
![Число узлов на каждом уровне идеального двоичного дерева](build_heap.assets/heapify_operations_count.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> Рисунок 8-5 &nbsp; Число узлов на каждом уровне идеального двоичного дерева </p>
Как показано на рисунке 8-5, максимальное число итераций упорядочивания сверху вниз для некоторого узла равно расстоянию от этого узла до листового узла, а это расстояние как раз и есть высота узла. Поэтому мы можем просуммировать для каждого уровня выражение «число узлов $\times$ высота узла» и **получить суммарное число итераций упорядочивания для всех узлов**.
$$
T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1
$$
Чтобы упростить это выражение, воспользуемся школьными знаниями о последовательностях и сначала умножим $T(h)$ на $2$ :
$$
\begin{aligned}
T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{h-1}\times1 \newline
2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \dots + 2^{h}\times1 \newline
\end{aligned}
$$
Используя метод вычитания со сдвигом, вычтем из нижней строки $2 T(h)$ верхнюю строку $T(h)$ , тогда получим:
$$
2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{h-1} + 2^h
$$
Из этого выражения видно, что $T(h)$ представляет собой геометрическую прогрессию, поэтому можно напрямую применить формулу суммы и получить временную сложность:
$$
\begin{aligned}
T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
& = 2^{h+1} - h - 2 \newline
& = O(2^h)
\end{aligned}
$$
Далее, число узлов идеального двоичного дерева высоты $h$ равно $n = 2^{h+1} - 1$ , поэтому несложно получить сложность $O(2^h) = O(n)$ . Из этого вывода следует, что **построение кучи из входного списка имеет временную сложность $O(n)$ , то есть выполняется очень эффективно**.
Reference in New Issue View Git Blame Copy Permalink